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2.3 直线的参数方程 课件(人教A版选修4-4)




直线的参数方程

课 1.掌握直线的参数方程 标 及参数的几何意义. 解 2.能用直线的参数方程 读 解决简单问题.

直线的参数方程 π 经过点 M0(x0,y0),倾斜角为 α(α≠ )的直线 l 的参数方 2
? ?x= 程为? ? ?y=

x0+tcos α

y0+tsin α

(t 为参数), 其中参数 t 的几

何意义是: |t |是直线 l 上任一点 M(x, y)到点 M0(x0, y0)的距离, → 即|t |= |M0M|.

1. 若直线 l 的倾斜角 α=0, 则直线 l 的参数方程是什么?
【提示】
? ?x=x0+t, 参数方程为? ? ?y=y0.

(t 为参数)

2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义?

【提示】 过定点 M0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参
?x=x +tcos α, ? 0 ? 数方程为 ? ?y=y0+tsin α,

(t 为参数), 其中 t 表示直线 l 上以

定点 M0 为起点,任意一点 M(x,y)为终点的有向线段 M0M 的 长度,即|t |= | M0M | ①当 t>0 时, M0M 的方向向上; ②当 t<0 时, M0M 的方向向下; ③当 t=0 时,点 M 与点 M0 重合.

直线的参数方程

? 3 ?x=- 3+ 2 t, 已知直线 l:? ?y=2+1t, 2 ? (1)求直线 l 的倾斜角;

(t 为参数).

(2)若点 M(-3 3,0)在直线 l 上,求 t,并说明 t 的几何 意义. 【思路探究】 将直线 l 的参数方程化为标准形式,求
得倾斜角,利用参数的几何意义求得 t.

【自主解答】

(1)由于直线 l:

π ? ?x=- 3+tcos6, ? ?y=2+t sinπ 6 ? π 斜率为 tan 6的直线,

(t 为参数)表示过点 M0(- 3,2)且

π 故直线 l 的倾斜角 α=6.

(2)由(1)知,直线 l 的单位方向向量 π π 3 1 e=(cos ,sin )=( , ). 6 6 2 2 ∵M0(- 3,2),M(-3 3,0), 3 1 → ∴M0M=(-2 3,-2)=-4( , )=-4e, 2 2 ∴点 M 对应的参数 t=-4, → → 几何意义为|M0M|=4, 且 M0M与 e 方向相反(即点 M 在直 线 l 上点 M0 的左下方).

1.一条直线可以由定点 M0(x0,y0),倾斜角 α(0≤α<π) 惟 一 确 定 , 直 线 上 的 动 点 M(x , y) 的 参 数 方 程 为
?x=x +tcos α, ? 0 ? ? ?y=y0+tsin α

(t 为参数),这是直线参数方程的标准形式.

2. 直线参数方程的形式不同, 参数 t 的几何意义也不同,
? ?x=x0+at, b 过定点 M0(x0, y0), 斜率为 的直线的参数方程是? a ? ?y=y0+bt

(a、b 为常数,t 为参数).

5π 设直线 l 过点 P(-3,3),且倾斜角为 6 . (1)写出直线 l 的参数方程; (2)设此直线与曲线
?x=2cos θ, ? C:? ? ?y=4sin θ

(θ 为参数)交于 A,

B 两点,求|PA |· |PB |. 【解】 (1)直线 l 的参数方程为

? 5 3 ?x=-3+tcos6π=-3- 2 t, ? ?y=3+t sin5π=3+ t . 6 2 ?

(t 为参数)

(2)把曲线 C 的参数方程中参数 θ 消去,得 4x2+y2-16 =0. 把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程中,得 3 2 1 2 4(-3- t) +(3+ t) -16=0. 2 2 即 13t2+4(3+12 3)t+116=0. 由 t 的几何意义,知 |PA |· |PB |=|t1· t2|, 116 故|PA |· |PB |= |t1· t2|= 13 .

直线参数方程的简单应用
?x=1+2t, ? 已知直线的参数方程为 ? ? ?y=2+t

(t 为参

数),则该直线被圆 x2+y2=9 截得的弦长是多少?

【思路探究】 考虑参数方程标准形式中参数 t 的几何 意义,所以首先要把原参数方程转化为标准形式 ? ?x=1+ ? ? ?y=2+ ? ? 2 t′, 5 1 t′, 5

再把此式代入圆的方程, 整理得到一

个关于 t 的一元二次方程,弦长即为方程两根之差的绝对值.

【自主解答】

?x=1+2t, ? 将参数方程? ? ?y=2+t

(t 为参数)转化

为直线参数方程的标准形式为 ? ?x=1+ ? ? ?y=2+ ? ? 2 t′, 5 1 t′ 5

(t′为参数)

代入圆方程 x2+y2=9, 2 1 2 得(1+ t′) +(2+ t′)2=9, 5 5 整理,有 5t′2+8t′-4 5=0.

8 由根与系数的关系,t′1+t′2=- , 5 t′1· t′2=-4. 根据参数 t′的几何意义. 12 5 |t′1-t2′|= ?t′1+t′2? -4t′1t′2= 5 . 12 5 故直线被圆截得的弦长为 5 .
2

1.在直线参数方程的标准形式下,直线上两点之间的距 离可用|t1-t2|来求.本题易错的地方是:将题目所给参数方程 直接代入圆的方程求解,忽视了参数 t 的几何意义. 2.根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义,有如 下常用结论: (1)直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为 t1,t2, 则弦长 l=|t1-t2|; (2)定点 M0 是弦 M1M2 的中点?t1+t2=0; t1+t2 (3)设弦 M1M2 中点为 M, 则点 M 对应的参数值 tM= 2 (由此可求|M2M|及中点坐标).

π 若将条件改为“直线 l 经过点 A(1,2),倾斜角为3,圆 x2 +y2=9 不变”,试求: (1)直线 l 的参数方程; (2)直线 l 和圆 x2+y2=9 的两个交点到点 A 的距离之积.

t ? ?x=1+2, 【解】 (1)直线 l 的参数方程为? ?y=2+ 3t 2 ? t ? ?x=1+ 2, (2)将? ?y=2+ 3t 2 ?

(t 为参数).

代入 x2+y2=9,得

t2+(1+2 3)t-4=0,∴t1t2=-4. 由参数 t 的几何意义,得直线 l 和圆 x2+y2=9 的两个交 点到点 A 的距离之积为|t1t2|=4.

参数方程与极坐标的综合问题
在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?x=3- 2t, 2 ? ? ?y= 5+ 2t ? 2 ?

(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy

取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极 轴)中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B.若点 P 的坐标为(3, 5), 求|PA |+ |PB |.

【思路探究】 (1)利用公式可求. (2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为普通方程,求交 点 A、B 的坐标,也可考虑利用 t 的几何意义求解.
【自主解答】 (1)由 ρ=2 5sin θ, 得 ρ2=2 5ρsin θ. ∴x2+y2-2 5y=0,即 x2+(y- 5)2=5.

(2)法一 直线 l 的普通方程为 y=-x+3+ 5. 与圆 C: x2+(y- 5)2=5 联立, 消去 y, 得 x2-3x+2=0,
? ?x=1 解之得? ? ?y=2+ ? ?x=2, 或? ? ?y=1+

5

5.

不妨设 A(1,2+ 5),B(2,1+ 5). 又点 P 的坐标为(3, 5), 故|PA |+ |PB |= 8+ 2=3 2.

2 2 法二 将 l 的参数方程代入 x +(y- 5) =5, 得(3- 2 t)
2 2

2 2 +( t) =5, 2 即 t2-3 2t+4=0, 由于 Δ=(3 2)2-4×4=2>0. 故可设 t1,t2 是(*)式的两个实根. ∴t1+t2=3 2,且 t1t2=4. ∴t1>0,t2>0. 又直线 l 过点 P(3, 5), ∴由 t 的几何意义,得|PA |+ |PB |=|t1 |+ |t2 |=3 2. (*)

1.第(2)问中,法二主要运用直线参数方程中参数 t 的几 何意义,简化了计算. 2.本题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程,然后 去解决问题,这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交 织问题时的一个重要的思路.

(2012· 课 标 全 国 卷 ) 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 是
? ?x=2cos φ ? ? ?y=3sin φ

(φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列, π 点 A 的极坐标为(2, ). 3 (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA |2+ |PB |2+ |PC|2 +|PD|2 的取值范围.

π π 【解】 (1)由已知可得 A(2cos ,2sin ), 3 3 π π π π B(2cos ( + ),2sin( + )), 3 2 3 2 π π C(2cos ( +π),2sin( +π)), 3 3 π 3π π 3π D(2cos ( 3+ 2 ),2sin( 3+ 2 )), 即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1).

(2)设 P(2cos φ, 3sin φ), 令 S=|PA |2+|PB |2+|PC|2 +|PD|2, 则 S=(2cos φ-1)2+( 3-3sin φ)2+(- 3-2cos φ)2+(1- 3sin φ)2+(-1-2cos φ)2+(- 3-3sin φ)2+( 3-2cos φ)2+ (-1-3sin φ)2=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ. ∵0≤sin2φ≤1,∴S 的取值范围是[32,52].

(教材第 39 页习题 2.3 第 1 题) π 设直线 l 经过点 M0(1,5)、倾斜角为 . 3 (1)求直线 l 的参数方程; (2)求直线 l 和直线 x-y-2 3=0 的交点到点 M0 的距离.

(2013· 湖南高考)在平面直角坐标系 xOy 中, 若 直线
?x=2s+1, ? ? l1 : ? ?y=s

(s 为参数)和直线

?x=at, ? ? l2 : ? ?y=2t-1

(t 为参

数)平行,则常数 a 的值为________.

【命题意图】

考查参数方程的理解、两直线的位置关

系.将参数方程消去参数后得到平面直角坐标系下的方程是 考查转化与化归的能力,由平面直角坐标系下的方程及两直 线平行得到 a 的值是考查运算求解能力.

【解析】

? ?x=2s+1, 由? ? ?y=s

消去参数 s,得 x=2y+1.

?x=at, ? 由? ? ?y=2t-1

消去参数 t,得 2x=ay+a.

∵l1∥l2, 2 1 ∴ =2,∴a=4. a
【答案】 4

?x=-2+tcos 60° , ? 1.直线? ? ?y=3+t sin 60°

(t 为参数)的倾斜角 α 等于 ( )

A.30° C.-45°

B.60° D.135°

【解析】 由直线的参数方程知倾斜角 α 等于 60° , 故选 B.
【答案】 B

?x=1+tcos α ? 2.直线? ? ?y=-2+t sin α

(α 为参数,0≤a<π)必过点 ( )

A.(1,-2) C.(-2,1)

B.(-1,2) D.(2,-1)

【解析】 直线表示过点(1,-2)的直线. 【答案】 A

? ?x=-1- 2t 2 ? 3.已知直线 l 的参数方程为? ?y=2+ 2t ? 2 ? 则直线 l 的斜率为( A.1 ) B.-1

(t 为参数),

2 2 C. 2 D.- 2 【解析】 消去参数 t,得方程 x+y-1=0,
∴直线 l 的斜率 k=-1.
【答案】 B

?x=1-2t ? 4. (2013· 濮阳模拟)若直线? ? ?y=2+3t

(t 为参数)与直线 4x

+ky=1 垂直,则常数 k=________.

【解析】

? ?x=1-2t 将? ? ?y=2+3t

3 7 化为 y=-2x+2,

3 ∴斜率 k1=- , 2 显然 k=0 时,直线 4x+ky=1 与上述直线不垂直.

4 ∴k≠0,从而直线 4x+ky=1 的斜率 k2=- . k 4 3 依题意 k1k2=-1,即- ×(- )=-1, 2 k ∴k=-6.
【答案】 -6


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