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必修4


三垛中学高一数学备课组

主备人:陈传勇

两角和与差的余弦
学习目标:1.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程,体验和感受数学发现和创造的 过程,体会向量和三角函数间的联系; 2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式,理解化归思想在三角变换中的作用; 3.能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 学习重点:余弦的差角公式的推导. 学习难点:余弦的差角公式的推导. 自主学习: 1.已知 a ? ?cos x, sin x ?, b ? ?1,1? ,则 (1)利用 a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 可得到什么?
? ? ? ?

(2)利用 a ? b ? a ? b ? cos? 可得到什么?

?

?

?

?

〖思考〗由(1)(2)得到的式子有何关系?

2. cos?? ? ? ? 能否用 ? 的三角函数与 ? 的三角函数来表示?如何表示? 在直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边分别作角 ? , ? ,其终边分别 与单位圆交于 P 1 ?cos? , sin ? ? , P 2 ?cos ? , sin ? ? ,则 ?P 1OP 2 ? 设向量 a ? OP 1 ?
? ? ?

, ; ,

b ? OP2 ?
?

?


?

a ? b ? a ? b ? cos? =
?

?

?

;

?

a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 =

.

1

三垛中学高一数学备课组 学习探究: 1.两角差的余弦公式

主备人:陈传勇

cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
〖思考〗在直角坐标系 xOy 中,单位圆 O 与 x 轴交于 P0 ,以 Ox 为 始边分别作出角 ? , ? , ? ? ? ,其终边分别和单位圆交于

?C?? ? ? ?
?

P 0P 3 ? P 2P 1 ,你能否导出两角差的余弦公式? 1, P 2,P 3 ,由 P

?

?

2.两角和的余弦公式

cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
量积推出两角和的余弦公式吗?

?C?? ? ? ?
?

〖思考〗”用 ? ? 代替 ? ”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义?你能直接利用向量的数

说明:(1)两角和(差)的余弦公式体现的是角 ? , ? 与角 ? ? ? 之间的关系; (2)公式中的角 ? , ? 具有任意性;

1.利用两角和(差)的余弦公式证明下列诱导公式: (1) cos?

?? ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?

(2) sin ?

?? ? ? ? ? ? cos? ?2 ?

2

三垛中学高一数学备课组 课堂练习: 1.利用两角和(差)的余弦公式,求 cos750 , cos150 , sin 150 , tan150 .

主备人:陈传勇

2.已知 sin ? ?

2 3 ?? ? ? 3? ? , ? ? ? , ? ?, cos ? ? ? , ? ? ? ? , ? ,求 cos?? ? ? ? 的值. 3 5 ?2 ? ? 2 ?

自主练习

1. 已知

2.、

3.

自我总结:
3

三垛中学高一数学备课组

主备人:陈传勇

两角和与差的正弦(一)
学习目标:1.能用余弦的和差角公式推导出正弦的和差角公式 ,并从推导的过程中体会到化归思 想的作用; 2.能用正弦的和差角公式进行简单的三角函数式的求值. 学习过程: 自主学习 1.两角和(差)的余弦公式

2.(1)化简: sin ? sin ? ? cos? cos ? = (2)化简: cos?? ? ? ?cos ? ? sin?? ? ? ?sin ? = (3)求值: sin 1000 sin ? 1600 ? cos2000 cos ? 2800 = (4)求值: sin 735 =
0

; ;

?

?

?

?

; .

3.对于上题(4)中的求值,能否不将其转化成两角和的余弦公式来计算?有没有两角和(差)的正弦 公式?

4.两角和正弦公式的推导:

sin ?? ? ? ? ?

? ?
? sin ? cos ? ? cos? sin ?
学习探究: 1.已知 sin ? ?

2 3 ?? ? ? 3? ? , ? ? ? , ? ?, cos ? ? ? , ? ? ? ? , ? ,求 sin ?? ? ? ? 的值. 3 5 ?2 ? ? 2 ?

4

三垛中学高一数学备课组 2.已知 cos ?? ? ? ? ?

主备人:陈传勇

5 4 , cos ? ? , ? , ? 均为锐角,求 sin ? 的值. 13 5

3.求函数 y ?

1 3 sin x ? cos x 的最大值. 2 2

练习: 1.函数 y ?

3 1 cos x ? sin x 的最小值为 2 2

;此时 x 的集合为

;

2.函数 y ? 3 sin x ? cos x 的周期为 3.函数 y ?

;最大值为

;单调减区间为 ;最小值

; ; .

12 5 sin x ? cos x 的最大值为 13 13

4.函数 y ? a sin x ? b cos x ( a , b 均为正数)的最小值为

5.化简

自我总结

5

三垛中学高一数学备课组

主备人:陈传勇

3.1.2 两角和与差的正弦(二)
学习目标:1.能用正弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简,求值,及恒等式证明; 2.进一步体会转化与变换的数学思想. 学习过程: 自主学习: 1.两角和(差)的余弦公式

2.两角和(差)的正弦公式

学习探究 1.求证:

sin ?2 A ? B ? sin B ? 2 cos ? A ? B ? ? sin A sin A

2.求值:

2 cos100 ? sin 200 cos 200

6

三垛中学高一数学备课组

主备人:陈传勇

3.已知 sin ?? ? ? ? ?

tan? 2 1 , sin ?? ? ? ? ? ? , 求 的值 3 5 tan ?

4.已知 ? , ? 都为锐角, sin ? ?

1 5 3 , cos?? ? ? ? ? ,求 sin ? 和 cos? 的值 7 14

5.已知 sin ? ? sin ? ?

1 1 , cos ? ? cos ? ? ,求 cos?? ? ? ? 的值 2 3

7

三垛中学高一数学备课组

主备人:陈传勇

两角和与差的正切 学习目标:会由正余弦的和差角公式推导出正切的和差角公式,并从推导的过程中体会到化归 思想的作用。 能用正切的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。 学习过程: 自主学习: 回顾课本 95 页例 2 中求 tan15o 的过程,我们先分别求出 sin15o 和 cos15o,再由同角三角函数的 关系求出 tan15o。问:能否由 tan45o 和 tan30o 直接求出 tan15o? 1 回答上述问题

2 利用 S(α

+β )和

C(α +β ),推导两角和与差的正切公式 tan(α +β )和 tan(α -β )。

tan(α +β )=

tan? ? tan ? , (T(α +β )) ; 1 ? tan? tan ?

tan(α -β )=

tan? ? tan ? , (T(α -β )) 。 1 ? tan? tan ?

两角和与差的正切公式在结构上有什么特点?

学习探究: 例 1 已知 tanα ,tanβ 是方程 x2+5x-6=0 的两根,求 tan(α +β )的值。

8

三垛中学高一数学备课组

主备人:陈传勇

例 2 求证:

1 ? tan150 ? 3 1 ? tan150

例 3 如图:三个相同的正方形相接,求证:α +β =

? 。 4

例 4 在斜三角形 ABC 中,求证:tanA + tanB + tanC= tanA tanB tanC

思考:一般的,当角 A,B,C 满足什么条件时,能使等式 tanA + tanB + tanC= tanA tanB tanC 成立?

9

三垛中学高一数学备课组 五 练习

主备人:陈传勇

1.已知



,则

的值是( )

A.

B.

C.

D.

2. 练习:求证

3.已知



的值.

4 已知



的值.

如图,两座建筑物 AB,CD 的高度分别是 9m 和 15m,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的 张角∠CAD=45o,求建筑物 AB 和 CD 的底部之间的距离 BD。

10

三垛中学高一数学备课组

主备人:陈传勇

二倍角的三角函数(1) 学习目标:能从和角公式推导出倍角公式,理解化归思想在公式推导中的作用。 学习过程: 自主学习: 1 函数 y=sinx 与 y=sin2x 图象之间的位置关系。

2 角α 的三角函数与角 2α 的三角函数之间有怎样的关系? 二 学生活动: 由 S(α
+β )

,C(α +β ),T(α +β )公式中,令β =α 可以得到的结果:
;cos2α = ;tan2α =

sin2α =

三 数学建构: 倍角公式: sin2α = cos2α = tan2α = 学习探究: 例 1 已知 sinα = (S2α ) ; = (T2α ) 。 = (C2α ) ;

12 ? ,α ∈ ( , ? ) ,求 sin2α ,cos2α ,tan2α 的值。 13 2

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三垛中学高一数学备课组

主备人:陈传勇

例 2 求证:

1 ? sin 2? ? cos 2? ? tan ? 1 ? sin 2? ? cos 2?

例 3 化简 o o o o cos20 cos40 cos60 cos80 ;

练习:

1. 2 sin 15? cos 15? ? ________. 2. 2 sin 22.5? cos 22.5? ? ________. ? ? 3. ? 3 sin cos ? ________. 8 8 4. 2 cos2 75? ? 1 =________. 5. cos2 67?30? ? sin 2 67?30? =_________ 6. 2 sin 2 7.5? ? 1 =________. 7. 2 cos 2
12? ? 1 =________. 5

8. 2 sin 2 15? ? 1=________. 9. 1-2sin2735°=________. 10. sin 4 112.5? ? cos4 112.5? =________.
tan 22 .5? =________. 1 ? tan 2 22 .5? 2 tan 165 ? 12. =________. 1 ? tan 2 165 ?

11.

12

三垛中学高一数学备课组

主备人:陈传勇

二、计算:
3 ?? ? 1. 已知 sinα = ,且 ? ? ? , ? ? ,求 sin2α 、cos2α 、tan2α 5 ?2 ?

2. 已知 cosα =

7 ? 3? ? ,且 ? ? ? ,2? ? ,求 sin2α 、cos2α 、tan2α 25 ? 2 ?

已知 tanα =-2,求 tan2α ,cot2α

4 已知 sin 2? ?

5 ? ? , ? ? ? , 求 sin 4? ,cos 4? , tan 4? 的值. 13 4 2

13

三垛中学高一数学备课组 二倍角的三角函数(2) 学习目标:灵活运用二倍角公式进行三角恒等变换。 学习过程: 一 回顾: 二倍角公式

主备人:陈传勇

学习探究
2 例 1 化简 sin (? ?

?
6

) ? sin 2 (? ?

?
6

) ? sin 2 ? .

例 2 求证: sin 500 (1 ? 3 tan100 ) ? 1

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三垛中学高一数学备课组

主备人:陈传勇

例 3 在半圆形钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能使这个矩形的面积最大?

自主练习:

1 ? , ? ? 4? ? ,则 tan? ? 5 4 120 120 1 A、 B、 ? C、 119 119 239 ? 1 sin ? ? ,则 2、若 tan = ? 2 3 1 ? cos 2 1 A、3 B、 C、–3 3
1、已知 tan ? ? 3、已知 f ( x) ? 1 ? x ,化简: f (sin 2) ? f (? sin 2) ?

D、 ?

1 239

D、–

1 3

A、 2 cos 1 B、 2 sin 1 C、- 2 cos 1 D、- 2 sin 1 sin 10 ? cos 20 ? cos 40 ? cos 60 ? ? 4、不用计算器求值: 。 5、化简:

sin 2? cos ? ? 1 ? cos 2? 1 ? cos ?

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三垛中学高一数学备课组

主备人:陈传勇

几个三角恒等式
学习目标: 1.通过和差化积公式和积化和差公式的推导,让学生经历数学探索和发现过程,激发数学发现的 欲望和信心 2.提高三角变换的能 3.了解积化和差、和差化积公式,以及万能公式、半角公式 自主学习 问题 1:在引入对数概念以后,我们还研究了它的运算,并得到了一些重要的结论,如

loga m + loga n = loga (mn)
同样,在定义了三角函数以后,我们也应该考虑它的运算,如

sin ? ? sin ? ? ?
你能探索出来么? 思考并解决上述问题 注意证明过程中的代换与转化思想

问题 2:你还能发现其他类似的恒等式么 ?

这组公式我们称为和差化积公式 问题 3:你能证明它们么?(可以选择其中的 2 个证明)

16

三垛中学高一数学备课组

主备人:陈传勇

问题 4:前面我们探索并证明了和差化积公式,那么由它们你能发现并证明另外一组与之相对应 的公式么?如 sin ? cos ? ? ? 还有其他的么?(可以选择其中的 2 个证明)

和差化积公式: (1) sin ? ? sin ? ? 2 sin (2) sin ? ? sin ? ? (3) cos? ? cos ? ? (4) cos? ? cos ? ?

? ??
2

cos

? ??
2

积化和差公式: (1) sin ? cos ? ? (2) cos? sin ? ? (3) cos? cos ? ? (4) sin ? sin ? ? 学习探究 例 1. (1)化简

1 [sin (? ? ?) ? sin (? ? ?) ] 2

sin 7 ? ? cos15? sin ? cos7 ? ? sin 15? sin 8 ?

17

三垛中学高一数学备课组 例 2.已知函数 y= sin x ? 2 sin x cos x ? 3 cos x ,x∈R
2 2

主备人:陈传勇

(1) 求函数的最小正周期 (2) 求函数的最大值

( 1 ? tan1 )( 1 ? tan44 ) 例 3.探求
? ?

例 4.如图,在半径为 R、圆心角为 60 的扇形 AB 弧上任取一点 P,作扇形的内接矩形 PNMQ,使 点 Q 在 OA 上,点 M,N 在 OB 上,求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP 的值.

?

课堂练习: 1. tan 70 ?
?

1 cos 10 ?

18

三垛中学高一数学备课组

主备人:陈传勇

(? ? 2.已知 cos

?

1 ? 2 ? ? ) ?? , sin ( ? ?) ? ,且 ? ? ? ? , 0 ? ? ? , 2 9 2 3 2 2

求 cos(? ? ? )

3.证明: tan

?
2

?

sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ?

4.在△ABC 中, 求证: tan

A B B C C A tan ? tan tan ? tan tan ? 1 2 2 2 2 2 2 已知 tan A ? tan B ? tan A tan B ? 1 ,求 C 的度数。

( 1 ? tan1 )( 1 ? tan2 ) ? ( 1 ? tan44 )( 1 ? tan45 ) 5.求值:
? ? ? ?

自我总结

19

三垛中学高一数学备课组

主备人:陈传勇

第三章 《三角恒等变换》综合练习
班级 姓名 学号 得分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知 sin

? 4 ? 3 = ,cos = ? ,则角 θ 所在的的象限是 2 5 2 5
B.第二象限 C.第三象限

( D.第四象限 (
3 22

)

A.第一象限 2.已知 tan(α+β)= A.
3 18

? 1 ? 2 ,tan(β- )= ,则 tan(α+ )等于 4 4 4 5
B.
13 22



C.

D.

1 6

3.已知 sinα= A.
4 25

5 ,则 cos4α 的值是 5

( C.
12 25



B. ?

7 25

D. ?

18 25

? 3? 3 3 4.已知 sin(α-β)= ,sin(α+β)= ? ,且 α-β∈ ( ,π), α+β∈ ( ,2π),则 cos2β 的值是 ( 2 2 5 5
A.
24 25



B. ?

4 5

C.1

D.-1 ( D.等腰直角三角形 ( ) )

5.△ ABC 三内角满足 2cosBsinA=sinC,则△ ABC 的形状为 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 6.
1 sin10
?

?

3 cos10?

的值是 B.2 C.4 D.
1 4

A.1

7.函数 y=sinx+cosx(0≤x≤ A.[ ? 2, 2 ] 8.
1 ? tan 2 750 的值是 tan 750

? )的值域是 2
C.[ 0, 2 ]

( D.[ 1, 2 ] (

)

B.[ ?1, 2 ]



A.2 3

B.-2 3

C.

2 3 3

D.-

2 3 3

9. sin150sin300sin750 的值等于 A.
3 4

( C.
1 8
3 3



B.

3 8 3 3

D.

1 4

10.tan700+tan500- 3 tan700tan500 的等于 A. 3 B. C.D.- 3





20

三垛中学高一数学备课组 11.函数 y=sin2(ωx)-cos2(ωx)的周期 T=4π,那么常数 ω 等于 A.
1 2

主备人:陈传勇 ( D.4 ( ) )

B.2

C.

1 4

x ? x ? 12.函数 y=cos( ? )-sin( ? )的单调递增区间是 2 6 2 6

A.[4kπC.[2kπ-

13? ? , 4kπ- ] (k∈ Z) 6 6

B.[4kπ-

? 11? , 4kπ+ ] (k∈ Z) 6 6

? 11? , 2kπ+ ] (k∈ Z) 6 6

D.[2kπ, 2kπ+π] (k∈ Z)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上) 13.已知 sin120=a,则 sin660= . 14.已知

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 ,cos(α-β)= ,sin(α+β)= ? ,那么 sin2α= 4 13 5

.

15.化简:cos(

? ? -α)cos( +α)= 4 4

.

? ]时, f(x)的最大值是 4,则 a= . 2 三、解答题(本大题共 6 小题,17-21 题每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分,解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤)
16.设 f(x)=2cos2x+ 3 sin2x+a(a∈ R),当 x∈ [0,
2 cos2

?
2

? sin? ? 1

17.已知 tanθ=2,求

2 sin( ? ? ) 4

?

的值.

21

三垛中学高一数学备课组 18.求 y= 3 sinxcosx-cos2x 的最大值.

主备人:陈传勇

19.已知 sin(2α+β)=3sinβ,求

tan(? ? ? ) 的值. tan ?

20.已知 sin(

? 3 ? 2? -θ)= - , <θ< ,求 cos2θ 的值。 6 5 6 3

22

三垛中学高一数学备课组 21.若 A、B、C 是△ ABC 的内角,cosB=
1 3 , sinC= ,求 cosA 的值. 2 5

主备人:陈传勇

22 . 已 知 向 量 OA =(cosα,sinα), OB =(-sin(α+ |λ OA - OB |≥ 3 | OB |,求实数 λ 的取值范围.

? ? ),cos(α+ )), 其 中 O 为 原 点 , 实 数 λ 满 足 6 6

数学必修(4)综合练习
班级 姓名 学号 得分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.若 sinθ· tanθ>0,则 θ 所在的的象限是 ( ) A.二、四 B.一、二 C.一、四 D.二、三 m?4 2.如果 cosα= 有意义,那么 m 的取值范围是 ( ) 4 m A.m<4 B.m=4 C.m>4 D.m≠4 2 3.函数 y=2-sin x 是 ( ) A.周期为 π 的奇函数 B.周期为 π 的偶函数
23

三垛中学高一数学备课组 C.周期为 2π 的奇函数 4.函数 y=3sinx +2cosx 的最小值是 A.0 5.设 k∈ Z,函数 y=sin( B.-3 D.周期为 2π 的偶函数

主备人:陈传勇

( C.-5 D.- 13 ( D.[2kπ, (2k+1)π]



? x ? x + )sin( - )的单调递增区间为 4 2 4 2
1 C.[kπ,(k+ ) π] 2



1 A.[(2k+1)π,2(k+1)π] B.[(k+ )π,(k+1)π] 2

6.已知 tanα,tanβ 是方程 x2+3 3 x+4=0 的两根,且 ? A. ?
2? 3

? ? ? ? <α< , ? <β< ,则 α+β 等于 ( 2 2 2 2
? 2? 或? 3 3
D.-



B.

? 3

C.

? 2? 或 3 3
( )

7.要得到函数 y=sin(2xA.向右平移

? )的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象 3 ? 6
C.向左平移

? 3

B.向右平移

? 3

D.向左平移 ( D.150 A
0

? 6


8.已知|a|= 6 3 ,|b|=1, a· b=-9,则 a 与 b 的夹角是 0 A.30 B.600 C.1200 9. 设 a,b 是两个非零向量,则下列说法中正确的是 A.a⊥b 与 a· b=0 是一致的 B.a· b=|a|· |b| C.|a|>|b|与 a>b=0 是一致的 D.a· b= -|a|· |b|

( D



O 10.如图,四边形 ABCD 是梯形,AD∥BC,则 OA ? BC ? AB 等于( ) A. CD B.- CO C. DA D. CO B 11.设 i=(1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki-4j,若 a⊥b,则实数 k 的值为 ( A.-6 B.-3 C.3 D.6 12.已知△ABC 的顶点 A(2,3)和重心 G 的坐标为(2,-1),则 BC 边上的中点坐标为 ( A.(2,-9) B.(2,-5) C.(2,-3) D.(2,0) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上) 13.函数 y=
1 的定义域为 1 ? tan 2 x

C ) )

. .
12 ,则 a· b= 5

? ? 1 14.已知 sinα= ,2π<α<3π,那么 sin +cos = 2 2 3
15.已知|a|=3,|b|=5, 且向量 a 在向量 b 方向上的投影为 16.将函数 y=cosx 的图象按向量 b=(2kπ+

.

? ,1)( k∈ Z)平移, 得到函数 的图象. 2 三、解答题(本大题共 6 小题,17-21 题每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分,解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤)
17.证明:
tan ? sin ? tan ? ? sin ? . ? tan ? ? sin ? tan ? sin ?

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主备人:陈传勇

18.已知 cos(α-

? ? ? ? ? ?? 1 2 )= ? ,sin( ? ? )= ,且 α∈ ( ,π),β∈ (0, ),求 cos 的值. 2 2 2 2 2 9 3

19.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+C(A>0, C >0,| φ|<

? )在同一周期中最高点的坐标为(2,2),最底点的 2

坐标为(8,-4). (1)求 A,C,ω,φ 的值; (2)作出函数的一个周期的简图,并由图象指出这个函数的单调递增区间.

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主备人:陈传勇

20.设 e1,e2 是两个不共线的非零向量. (1)若 AB = e1+e2, BC =2 e1+8e2, CD =3(e1-e2),求证:A,B,D 三点共线; (2)试求实数 k 的值,使向量 ke1+e2 和 e1+ke2 共线.

21.在△ ABC 中,设 BC =a, CA =b, AB =c. (1)若△ ABC 为正三角形,求证:a· b=b· c=c· a; (2)若 a· b=b· c=c· a 成立,△ ABC 是否为正三角形?

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主备人:陈传勇

22.设函数 f(x)=a· b,其中 a=(2cosx,1), b=(cosx, 3 sin2x), x∈ R. ? ? (1)若 f(x)=1- 3 ,且 x∈ [ ? , ],求 x; 3 3 (2)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)(|m|< 的值.

? )平移后得到函数 y= f(x)的图象,求实数 m、n 2

第三章 《三角恒等变换》综合练习
一、CCBDA;CBBCD;CA 二、13.1-2a2; 14. ? 三、17. ?
1 3
1 ? 1 )- ,ymax= 2 2 6

56 ; 65

1 15. cos2α; 16.1 2

18.y=sin(2x-

19.2α+β=(α+β)+ α, β=(α+β)- α,答案为 2
4?3 3 7 ? 24 3 ? ? -( -θ)]= ,故 cos2θ= 10 50 6 6 4 21.cosA = 3 3 ? 4 .(提示:若 cos C= ? ,则 sinA<0) 5 10

20.sinθ=sin[

22.∵λ OA - OB =(λcosα+ sin(α+

? ? ),λsinα- cos(α+ )) 6 6
6 6

? ? ∴|λ OA - OB |= [? cos ? ? sin(? ? )]2 ? [? sin ? ? cos(? ? )]2

? ? = ? 2 ? 1 ? 2?[sin(? ? ) cos ? ? cos(? ? ) sin ? ]
6 6

27

三垛中学高一数学备课组 = ? 2 ? 1 ? 2? sin
?
6

主备人:陈传勇 = ? 2 ?1? ? .

由已知得:| OB |=1,又∵ |λ OA - OB |≥ 3 | OB |,∴λ2+λ-2≥0,∴λ≥1 或 λ≤ -2.

数学必修(4)综合练习
一、CBBDA;ABDAB;DC
k? ? k? ? Z); ? , x≠ ? (k∈ 4 4 2 8 三、17.提示:切化弦.

二、13.x∈ R 且 x≠

14. ?

2 3 ; 3

15.12; 16.y=sinx+1.

18.

7 5 ? ? ?? ? .提示: =(α- )-( ? ? ). 27 2 2 2

? ? ,φ= ; (2)图略.增区间[12k-4,12k+2] (k∈ Z) 6 6 D C 20.(1)提示: BD = BC + CD =5(e1+e2);(2)k=±1. 21.(1)提示:a、b、c 模相等,两两夹角均为 1200; b a (2)若 a· b=b· c=c· a,则由 a· b=b· c ? b(a-c)=0 O
19. (1)A=3,C=-1,ω= ∴b⊥(a-c),又 a-c= BC + BA ,以 BA、BC 为邻边作 平行四边形 ABCD,则 BC + BA = BD ,因而 b⊥ BD . ∴四边形 ABCD 为菱形。即| AB |=| BC |,同理可证 | BC |=| CA |,从而证得△ ABC 为正三角形. A c B

22.(1) f(x)=a· b=1+2sin(2x+

3 ? ? ? ),由 1+2sin(2x+ )=1- 3 ,得 sin(2x+ )=, 2 6 6 6 ? ? ? ? ? 5? ? ? ∵x∈ [ ? , ],∴ ? ≤2x+ ≤ .∴2x+ = ? ,即 x= ? . 2 4 3 3 3 6 6 6

(2)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n) 平移后得到函数 y=2sin2(x-m)+n 的图象,即函数 y= f(x)的图象.由(1)得 f(x)= 2sin2(x+

?
12

)+ 1, ∵|m|<

? ? ,∴m= - ,n=1. 2 12

28


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