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2.3.2离散型随机变量的方差(一)_图文

高二数学 选修2-3

2.3.2离散型随机变 量的方差(一)

一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望

X P

x1

p1

p2

x2

· · · · · ·

pi

xi

· · · xn · · · pn

E( X ) ? x1 p1 ? x2 p2 ?
2、数学期望的性质

? xi pi ?

? xn pn

数学期望是反映离散型随机变量的平均水平

E(aX ? b) ? aE( X ) ? b

三、如果随机变量X服从两点分布为
X 1 0

P

p

1- p



E( X ) ? p

四、如果随机变量X服从二项分布,即 X~B(n,p),则

E ( X ) ? np

思考:要从两名同学中挑出一名,代表班级参加射击 比赛.根据以往的成绩记录,第一名同学击中目标 靶的环数X1~B(10,0.8),第二名同学击中目标 靶的环数X2=Y+4,其中Y~B(5,0.8). 请问应该派哪名同学参加竞赛? 分析: EX1=10X0.8=8 EX2=EY+4=5X0.8+4=8 这意味着两名同学的平均射击水平没有差异 那么还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标 来确定谁参加竞赛呢?

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探究点一 方差、标准差的概念及性质

类比思考: 某省运会即将举行, 在最后一次射击选拔比赛中, 甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下: 甲运动员:7,8,6,8,6,5,8,10,7,5; 乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述数据,两个人射击的平均成绩是一样的.那么,是 否两个人就没有水平差距呢?如果你是教练, 选哪位选手去 参加正式比赛?

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答 x 甲= x 乙=7,利用样本的方差公式 2 1 2 2 2 s =n[(x1- x ) +(x2- x ) +…+(xn- x ) ],求得:
s甲=2.2, s乙=1.2.
2 2

∴乙成绩较稳定,选乙参加比赛.

怎样定量刻画随机变量的稳定性呢? 已知样本方差可以刻画样本数据的稳定性
样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度.

在一组数:x1, x2 ,… x n 中,各数据的 平均数为 x,则这组数据的方差为: S2= ( x1 – x )2 + ( x2 – x )2 +…+ ( x n – x )2 n 方差反映了这组 数据的波动情况 想法:能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量 的稳定性呢?

离散型随机变量取值的方差 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:

X P
则称
n

x1

p1

p2

x2

· · · · · ·

pi

xi

· · · xn · · · pn
? ( xn ? EX )2 pn

D( X ) ? ( x1 ? EX )2 p1 ?
2

? ( xi ? EX )2 pi ?

? ? ( xi ? EX ) pi 为随机变量X的方差。

称? ( X ) ?

i ?1

DX为随机变量X的标准差。

它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平 均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离 于均值的平均程度越小,即越集中于均值。

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例1 随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均

值、方差和标准差.

解 抛掷骰子所得点数 X 的分布列为 X P 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6

1 1 1 1 1 1 从而 E(X)=1×6+2×6+3×6+4×6+5×6+6×6=3.5; 1 1 1 2 2 2 D(X) = (1 - 3.5) × + (2 - 3.5) × + (3 - 3.5) × + (4 - 6 6 6 1 1 1 3.5)2×6+(5-3.5)2×6+(6-3.5)2×6≈2.92,
D?X?≈1.71.

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小结

充分应用离散型随机变量的均值和方差的定义及性质

来解题. 在应用方差定义求解时,特别要注意, 在(xi-E(X))2pi 中,极易把(xi-E(X))2 的平方漏掉,产生错误.

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跟踪训练 1 已知随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 2 若 E(ξ)= . 3 (1)求 D(ξ)的值; (2)若 η=3ξ-2,求 D?η?的值. 1 1 1 解 ∵2+3+p=1,∴p=6. 1 1 1 2 又 E(ξ)=0× +1× +x× = .∴x=2. 2 3 6 3 ? 2?2 1 ? 2?2 1 ? 2?2 1 15 5 故(1)D(ξ)=?0-3? × +?1-3? × +?2-3? × = = . 2 ? 3 ? 6 27 9 ? ? ? ? (2)∵η=3ξ-2,∴D(η)=D(3ξ-2)=9D(ξ),
∴ D?η?= 9D?ξ?= 5.

0 1 2

1 1 3

x p

2、若随机变量X满足P(X=c)=1,其中c为 常数,求E(X)和D(X)。

解: 离散型随机变量X的分布列为:
X P c 1

E(X)=c×1=c D(X)=(c-c)2×1=0

记住几个常见公式

D(aX ? b) ? a DX
2

若X服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p)

若X ~ B(n, p),则DX ? np(1 ? p)

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例2 在某地举办的射击比赛中, 规定每位射手射击 10 次, 每次

一发.记分的规则为:击中目标一次得 3 分;未击中目标得 0 分;并且凡参赛的射手一律另加 2 分.已知射手小李击中目标 的概率为 0.8,求小李在比赛中得分的数学期望与方差.

解 用 ξ 表示小李击中目标的次数,η 表示他的得分.则由题 意知 ξ~B(10,0.8),η=3ξ+2.
因为 E(ξ)=10×0.8=8,D(ξ)=10×0.8×0.2=1.6,
所以 E(η)=E(3ξ+2)=3E(ξ)+2=3×8+2=26(分), D(η)=D(3ξ+2)=32×D(ξ)=9×1.6=14.4. 小结 解决本题的关键是建立二项分布模型,搞清随机变量的 含义,利用公式简化解题过程.

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跟踪训练 2 一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通 岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且 1 概率是 . 3 (1)求这位司机遇到红灯数 ξ 的期望与方差; (2)若遇上红灯,则需等待 30 秒,求司机总共等待时间 η 的期望 与方差.

解 (1)易知司机遇上红灯次数 ξ 服从二项分布, 1 1 且 ξ~B(6,3),∴E(ξ)=6×3=2, 1 1 4 D(ξ)=6×3×(1-3)=3. (2)由已知 η=30ξ,
∴E(η)=30E(ξ)=60,D(η)=900D(ξ)=1 200.

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例3 有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: X1/元 获得相应职位的概率 P1 乙单位不同职位月工资 X2/元 获得相应职位的概率 P2 1 200 1 400 0.4 0.3 1 600 0.2 1 800 0.1

甲单位不同职位月工资

1 000 0.4

1 400 0.3

1 800 0.2

2 200 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

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解 根据月工资的分布列,利用计算器可算得

E(X1)=1 200×0.4+1 400×0.3+1 600×0.2+1 800×0.1=1 400,

D(X1)=(1 200-1 400)2×0.4+(1 400-1 400)2×0.3+(1 600- 1 400)2×0.2+(1 800-1 400)2×0.1=40 000;

E(X2)=1 000×0.4+1 400×0.3+1 800×0.2+2 200×0.1= 1 400, D(X2)=(1 000-1 400)2×0.4+(1 400-1 400)2×0.3+(1 800-
1 400)2×0.2+(2 200-1 400)2×0.1=160 000. 因为 E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2),所以两家单位的工资均值相

等,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工 资相对分散.这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些, 就选择甲单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选 择乙单位.

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小结 实际问题中, 决策方案的最佳选择是将数学期望最大的 方案作为最佳方案加以实施;如果各种方案的数学期望相同 时,则应根据它们的方差来选择决策方案,至于选择哪一方案 由实际情况而定.

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跟踪训练 3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境, 且野生动物的种类和数量也大致相等, 而两个保护区内每个季 度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 ξ P 0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2

η P

0 0.1

1 0.5

2 0.4

试评定这两个保护区的管理水平.

研一研·问题探究、课堂更高效
解 甲保护区违规次数 ξ 的数学期望和方差分别为

E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3;

D(ξ) = (0 - 1.3)2×0.3 + (1 - 1.3)2×0.3 + (2 - 1.3)2×0.2 + (3 - 1.3)2×0.2=1.21. 乙保护区的违规次数 η 的数学期望和方差分别为 E(η)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3; D(η)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.

因为 E(ξ)=E(η),D(ξ)>D(η),所以两个保护区内每个季度发生 的违规事件的平均次数相同,但甲保护区的违规事件次数相对 分散和波动,乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.同时抛掷两枚均匀的硬币 10 次,设两枚硬币同时出现反面 的次数为 ξ,则 D(ξ)等于 15 15 A. B. 8 4
解析
? 1? ξ~B?10,4?, ? ?

( A ) 5 C. 2 D.5

1? 15 1 ? ∴D(ξ)=10× ×?1-4?= . 4 ? 8 ?

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.设随机变量 X 的方差 D(X)=1,则 D(2X+1)的值为( C ) A.2 B. 3 C.4 D.5
解析 D(2X+1)=4D(X)=4×1=4.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.已知离散型随机变量 X 的可能取值为 x1=-1,x2=0,x3 =1,且 E(X)=0.1,D(X)=0.89,则对应 x1,x2,x3 的概率

0.4 ,________ 0.5 p1,p2,p3 分别为________ 0.1 ,________.
解析 由题意知,-p1+p3=0.1,

1.21p1+0.01p2+0.81p3=0.89. 又 p1+p2+p3=1,解得 p1=0.4,p2=0.1,p3=0.5.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

4.已知 X 的分布列为 X P (1)求 E(X),D(X);
1 1 1 1 解 (1)E(X)=x1p1+x2p2+x3p3=-1× +0× +1× =- ; 2 3 6 3 5 D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+(x3-E(X))2p3=9; 7 20 (2)E(Y)=2E(X)+3=3,D(Y)=4D(X)= 9 .

-1 1 2

0 1 3

1 1 6

(2)设 Y=2X+3,求 E(Y),D(Y).

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1. 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波 动、 集中与离散的程度, 以及随机变量取值偏离于均值的平均 程度.方差 D(X)或标准差越小,则随机变量 X 偏离均值的平 均程度越小;方差越大,表明平均偏离的程度越大,说明 X 的取值越分散. 2.求离散型随机变量 X 的均值、方差的步骤 (1)理解 X 的意义,写出 X 的所有可能的取值; (2)求 X 取每一个值的概率; (3)写出随机变量 X 的分布列; (4)由均值、方差的定义求 E(X),D(X). 特别地, 若随机变量服从两点分布或二项分布, 可根据公式直 接计算 E(X)和 D(X).

三、基础训练
1、已知随机变量X的分布列 X P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1

求D(X)和σ(X)。 解: EX ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2

DX ? (0 ? 2) ? 0.1 ? (1 ? 2) ? 0.2 ? ( 2 ? 2) ? 0.4
2 2 2

? ( 3 ? 2)2 ? 0.2 ? (4 ? 2)2 ? 0.1 ? 1.2

?X ? DX ? 1.2 ? 1.095

四、方差的应用
例:甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数 X1, X2分布列如下: X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。

解:EX 1 ? 9, EX 2 ? 9

DX1 ? 0.4, DX2 ? 0.8

表明甲、乙射击的平均水平没有差别,在多次射击中 平均得分差别不会很大,但甲通常发挥比较稳定,多 数得分在9环,而乙得分比较分散,近似平均分布在8 -10环。

X1 P

8 0.2

9 0.6

10 0.2

X2 P

8 0.4

9 0.2

10 0.4

EX 1 ? 9, EX 2 ? 9

DX1 ? 0.4, DX2 ? 0.8

问题1:如果你是教练,你会派谁参加比赛呢? 问题2:如果其他对手的射击成绩都在8环左右, 应派哪一名选手参赛? 问题3:如果其他对手的射击成绩都在9环左右, 应派哪一名选手参赛?

练习:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能 获得如下信息:
甲单位不同职位月工 资X1/元 获得相应职位的概 率P1 乙单位不同职位月工 资X2/元 获得相应职位的概 率P2 1200 0.4 1000 0.4 1400 0.3 1400 0.3 1600 1800 0.2 0.1

1800 2200 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

解:EX 1 ? 1400 , EX 2 ? 1400

DX1 ? 40000, DX 2 ? 160000
在两个单位工资的数学期望相等的情况下, 如果认为自己能力很强,应选择工资方差大 的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强, 就应选择工资方差小的单位,即甲单位。

五、几个常用公式:

D(aX ? b) ? a DX
2

若X服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p)

若X ~ B(n, p),则DX ? np(1 ? p)

相关练习:

1 1、 已 知 ? ? 3? ? , 且D? ? 13, 则D? ? 117 8

2、已知 X~B(n, p),EX ? 8, DX ? 1.6, 则n ?10 , p ?0.8
3、有一批数量很大的商品,其中次品占 1%,现从中任意地连续取出200件商品, 设其次品数为X,求EX和DX。 2,1.98

六、课堂小结
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 2、记住几个常见公式

D(aX ? b) ? a 2 DX
若X服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p)

若X ~ B(n, p),则DX ? np(1 ? p)

4.(07全国)某商场经销某商品,根据以往资料统 计,顾客采用的分起付款期数 ? 的分布列为:

?
P

1 0.4

2 0.2

3 0.2

4 0.1

5 0.1

商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200 元,分2期或3期付款,其利润为250元,分4期或5 期付款,其利润为300元, ? 表示经销一件该商品的 利润。

(1)求事件A:”购买该商品的3位顾客中,至少有 一位采用1期付款” 的概率P(A);
(2)求 ? 的分布列及期望E ? 。

5.根据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被盗的 概率为0.01,保险公司开办一年期万元以上家庭财 产保险,参加者需交保险费100元,若在一年以内, 万元以上财产被盗,保险公司赔偿a元(a>100), 问a如何确定,可使保险公司期望获利?

练习:
1、若保险公司的赔偿金为a(a>1000)元,为使保险 公司收益的期望值不低于a的百分之七,则保险公司应 将最大赔偿金定为多少元?

?
P

1000 0.97

1000-a 0.03

E ? = 1000-0.03a≥0.07a
得a≤10000 故最大定为10000元。

2、射手用手枪进行射击,击中目标就停止,否则继续射 击,他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击 次数的期望。(保留三个有效数字)

?
p

1 0.7
E? =1.43

2

3

4

5 0.34

0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7