10 高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程-单元测试-及答案

高中数学选修 1-1 第二章圆锥曲线与方程 单元测试
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．椭圆 x 2 ? my2 ? 1的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（ ） A．

1 4

B．

1 2

C．2

D．4

2．过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 3，则 | AB | 等于 （ ） A．10

B．8

C．6

D．4

3．若直线 y＝kx＋2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是（ ） A． ( ?

15 15 ， ) 3 3

B． (0 ，

15 ) 3

C． ( ?

15 ， 0) 3

D． (?

15 ， ? 1) 3

4．（理）已知抛物线 y 2 ? 4 x 上两个动点 B、C 和点 A（1，2）且∠BAC＝90°，则动直线 BC 必过定点 （ ） A．（2，5）

B．（-2，5）

C．（5，-2）

D．（5，2）

（文） 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 ，y1 ) 、Q( x2 ，y 2 ) 两点， 若 x1 ? x2 ? 3 p ， 则 | PQ | 等于（ ） A．4p B．5p C．6p D．8p

2 2 5.已知两点 M (1, ), N ( ?4,? ) ,给出下列曲线方程：① 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 ;② x ? y ? 3 ;③

5 4

5 4

x2 ? y2 ? 1; 2

x2 ? y 2 ? 1 .在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） ④ 2
（A）①③ 6．已知双曲线 （B）②④ （C）①②③ （D）②③④

x2 y2 ? ? 1 （a＞0，b＞0）的两个焦点为 F1 、 F2 ，点 A 在双曲线第一象限的图象上，若 a2 b2
1 ， tan?AF2 F1 ? ?2 ，则双曲线方程为（ ） 2
C． 3 x ?
2

△ AF 1 F2 的面积为 1，且 tan ?AF1 F2 ? A．

12x 2 ? 3y2 ? 1 5
2

B．

5x2 y 2 ? ?1 12 3

12 y 2 ?1 5

D．

x2 5 y2 ? ?1 3 12

7．圆心在抛物线 y ? 2 x( y ? 0) 上，并且与抛物线的准线及 x 轴都相切的圆的方程是（ ） A． x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

1 ?0 4

B． x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

1

C． x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 8．双曲线的虚轴长为 4，离心率 e ?

D． x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

1 ?0 4

6 ， F1 、 F2 分别是它的左、右焦点，若过 F1 的直线与双曲线的右 2
）

支交于 A、B 两点，且 | AB | 是 | AF2 | 的等差中项，则 | AB | 等于（ A． 8 2 B． 4 2
2

C． 2 2

D．8．

9．（理）已知椭圆 x ? 取值范围是（ ） A． 0 ? a ?

1 2 y ? a 2 （a＞0）与 A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则 a 的 2

3 2 2 a? 82 2

B． 0 ? a ?

3 2 82 或a ? 2 2

C． a ?

3 2 或 2

D．

3 2 82 ?a? 2 2
）

（文）抛物线 ( x ? 2) 2 ? 2( y ? m ? 2) 的焦点在 x 轴上，则实数 m 的值为（ A．0 B．

3 2

C．2

D．3

10． 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) ,直线 y ? x ? 1 与其相交于 M , N 两点, MN 中点横坐 标为 ?

2 ,则此双曲线的方程是( 3
(B)

)

x2 y2 ? ?1 (A) 3 4

x2 y2 ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 (C) 5 2
0

x2 y2 ? ?1 (D) 2 5
）

11.将抛物线 y ? x 2 ? 4 x ? 3 绕其顶点顺时针旋转 90 ，则抛物线方程为（ （A） ( y ? 1) 2 ? 2 ? x （B） ( y ? 1) 2 ? x ? 2 （C） ( y ? 1) 2 ? 2 ? x （D） ( y ? 1) 2 ? x ? 2

12．若直线 m x ? ny ? 4 和⊙O∶ x ? y ? 4 没有交点，则过 (m, n) 的直线与椭圆
2 2

x2 y2 ? ? 1 的交点个数 9 4

（

） A．至多一个 B．2 个 C．1 个 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13．椭圆

D．0 个

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ，则 a＝________． 2 loga 8 9

2 2 14．已知直线 y ? x ? 1 与椭圆 mx ? ny ? 1 (m ? n ? 0) 相交于 A，B 两点，若弦 AB 的中点的横坐标等

2

1 x2 y 2 于 ? ，则双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐近线的夹角的正切值等于________． 3 m n
15．长为 l ( 0＜l＜1 ) 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y ? x 2 上滑动，则线段 AB 中点 M 到 x 轴距离的最小 值是________． 16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆，测得近地点 A 距离地面 m(km) ，远地点 B 距 离地面 n(km) ，地球半径为 R(km) ，关于这个椭圆有以下四种说法： ①焦距长为 n ? m ；②短轴长为 (m ? R)(n ? R) ；③离心率 e ?

n?m ；④若以 AB 方向为 x 轴正方 m ? n ? 2R ?(m ? R)(n ? R) 向，F 为坐标原点，则与 F 对应的准线方程为 x ? ? ，其中正确的序号为________． (n ? m)

三、解答题（共 44 分） 17．（本小题 10 分）已知椭圆的一个顶点为 A（0，-1），焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. （1）求椭圆的方程; （2）设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M、N.当 AM ? AN 时，求 m 的取值范围.

18．（本小题 10 分）双曲线 离心率 e 的取值范围.

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求 a2 b2

3

19.（本小题 12 分）如图，直线 l 与抛物线 y 2 ? x 交于 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) 两点，与 x 轴相交于点 M ， 且 y1 y 2 ? ?1 . （1）求证： M 点的坐标为 (1,0) ； （2）求证： OA ? OB ； （3）求 ?AOB 的面积的最小值. y

A O B M

x

20．（本小题 12 分）已知椭圆方程为 x ?
2

y2 ? 1 ，射线 y ? 2 2 x （x≥0）与椭圆的交点为 M，过 M 作 8

倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于 A、B 两点（异于 M）． （1）求证直线 AB 的斜率为定值； （2）求△ AMB 面积的最大值．

21． （本小题满分 10 分） 已知直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相切于点 T， 且与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A、 B 两点.若 T 是线段 AB 的中点，求直线 l 的方程.

x2 y2 6 22．（10 分）已知椭圆 2 ? 2 （a＞b＞0）的离心率 e ? ，过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线与原点的 a b 3
距离为

3 ． 2

（1）求椭圆的方程． （2）已知定点 E (?1,0) ，若直线 y ? kx ? 2 (k ? 0) 与椭圆交于 C、D 两点．问：是否存在 k 的值，使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由．

4

圆锥曲线单元检测答案
1. A 2.B 3 D 4 理 C 文 A 5 D 6 A 7 D 8A 9 理 B 文 B 10 D 11 B 12 B 13． 4 2 或 9 6 14．

4 3

15．

l2 4

16．①③④

17.（1）依题意可设椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ，则右焦点 F（ a 2 ? 1,0 ）由题设 a2
2

a2 ?1 ? 2 2 2

?3

解得 a ? 3

故所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3

x2 ? y 2 ? 1 ………………………………………………4 分. 3
? y ? kx ? m （2）设 P 为弦 MN 的中点，由 ? ? x2 2 ? ? y ?1 ?3
得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6mkx? 3(m 2 ? 1) ? 0

由于直线与椭圆有两个交点，? ? ? 0, 即 m ? 3k ? 1
2 2

①………………6 分

? xp ?

xM ? x N 3m k ?? 2 2 3k ? 1

从而 y p ? kx p ? m ?

m 3k 2 ? 1

? k Ap ?
?

yp ?1 xp

??

m ? 3k 2 ? 1 3mk

又 AM ? AN ,? AP ? MN ，则
2

m ? 3k 2 ? 1 1 ?? 3m k k

即 2m ? 3k ? 1
2

②…………………………8 分 由②得

把②代入①得 2m ? m m 的取范围是（

解得 0 ? m ? 2

k2 ?

2m ? 1 1 ? 0 解得 m ? 3 2

.故所求

1 ,2 ）……………………………………10 分 2

18．设 M ( x0, y 0 ) 是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点 F2 的距离等于它到左准线的距离 MN2 ， 即 MF2 ? MN ，由双曲线定义可知

MF1 MN

?e

?

MF1 MF2

? e ……5 分

由焦点半径公式得 而 x0 ? a

ex0 ? a ?e ex0 ? a
a(1 ? e) ?a e2 ? e

? x0 ?
即

a (1 ? e) …………………………7 分 e2 ? e

?

e 2 ? 2e ? 1 ? 0

解 得 1? 2 ? e ?

2 ?1

但

e ?1

?1 ? e ? 2 ? 1 ……………………………………10 分

19. (1 ) 设 M 点的坐标为 ( x0 ,0) , 直线 l 方程为 x ? my ? x0 , 代入 y 2 ? x 得

y 2 ? my ? x0 ? 0

①

y1 , y2 是此方程的两根,
5

∴ x0 ? ? y1 y2 ? 1 ，即 M 点的坐标为（1, 0）. (2 ) ∵ y1 y 2 ? ?1 ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ( y1 y2 ? 1) ? 0 ∴ OA ? OB . （3）由方程①， y1 ? y 2 ? m , y1 y 2 ? ?1 , 且 | OM |? x0 ? 1, 于是 S ?AOB ?
2 2

1 1 1 m 2 ? 4 ≥ 1， ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 = | OM || y1 ? y 2 |? 2 2 2 ∴ 当 m ? 0 时， ?AOB 的面积取最小值 1.

20．解析： （1）∵ 斜率 k 存在，不妨设 k＞0，求出 M （

2 2 ，2）．直线 MA 方程为 y ? 2 ? k ( x ? )， 2 2

直线 AB 方程为 y ? 2 ? ?k ( x ?

2 )． 2
2 k 2 ? 4k 2 ． ? 2 k ?8 2

2 分别与椭圆方程联立，可解出 x A ? 2k2 ? 4k ? 2 ， xB ? k ?8 2

∴

y A ? y B k ( x A ? xB ) ? ?2 2． ∴ x A ? xB x A ? xB

k AB ? 2 2 （定值）．

y2 ? 1 联立，消去 y 得 16x 2 ? 4 2mx （2）设直线 AB 方程为 y ? 2 2 x ? m ，与 x ? 8
2

? (m2 ? 8) ? 0 ．
由 ? ? 0 得 ? 4 ? m ? 4 ，且 m ? 0 ，点 M 到 AB 的距离为 d ? 设 ?AMB 的面积为 S ． ∴

|m| ． 3

1 1 2 1 16 2 | AB | 2 d 2 ? m (16 ? m 2 ) ? ?( ) ? 2 ． 4 32 32 2 当 m ? ?2 2 时，得 Smax ? 2 ． S2 ?

21．解：直线 l 与 x 轴不平行，设 l 的方程为 x ? ky ? a 代入双曲线方程 整理得

(k 2 ? 1) y 2 ? 2kay ? a 2 ? 1 ? 0
yT ? y A ? yB ak ?? 2 2 k ?1

……………………3 分

而 k ?1 ? 0
2

，于是

从而 xT ? ky T ? a ? ?

a ak a , ) ……5 分 即 T( 2 k ?1 1? k 1? k 2
2

? 点 T 在圆上
由圆心 O ?(?1,0)

ak 2 a 2 2a ?( ) ?( ) ? ?0 2 2 1? k 1? k 1? k 2
. O ?T ? l 得 kO?T ? kl ? ?1

即k ? a ? 2
2

①
2

则 k ?0

或 k ? 2a ? 1

6

当 k ? 0 时，由①得 a ? ?2,

? l 的方程为 x ? ?2 ；

2 当 k ? 2a ? 1 时，由①得 a ? 1 K ? ? 3,?l 的方程为 x ? ? 3 y ? 1 . 故所求直线 l 的方程为 x ? ?2

或 x ? ? 3 y ? 1 …………………………10 分 22．解：（1）直线 AB 方程为： bx ? ay ? ab ? 0 ．

?c 6 ， ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? 2 2 ? 2 ? a ?b
∴ 椭圆方程为

解得

?a ? 3 ， ? ?b ? 1

x2 ? y2 ? 1 ． 3

（2）假若存在这样的 k 值，由 ? ∴

? y ? kx ? 2， ?x ? 3 y ? 3 ? 0
2 2

得 (1 ? 3k 2 ) x ? 12kx ? 9 ? 0 ．
2

? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 ．

①

12k ? x1 ? x2 ? ? ， ? ? 1 ? 3k 2 设 C ( x1 ， y1 ) 、 D( x2 ， y 2 ) ，则 ? ?x ? x ? 9 1 2 ? 1 ? 3k 2 ?
而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ． 要 使 以 CD 为直径的圆过 点 E （ -1 ， 0 ），当且仅 当 CE ⊥ DE 时，则

②

y1 ? y2 ? ?1 ， 即 x1 ? 1 x2 ? 1

y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 ．
∴

(k 2 ? 1) x1 x2 ? 2(k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0 ．
7 7 ．经验证， k ? ，使①成立． 6 6

③

将②式代入③整理解得 k ? 综上可知，存在 k ?

7 ，使得以 CD 为直径的圆过点 E． 6

7