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2016


2.2.1

平面向量基本定理

1.了解平面向量的基本定理及其意义, 会用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向 量之间的相互表示.(重点) 2.理解直线的向量参数方程式,尤其是线段中点的向量表达式.(难点)

[基础·初探] 教材整理 1 平面向量基本定理 阅读教材 P96~P97“例 1”以上内容,完成下列问题. 1.平面向量基本定理: 如果 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量, 那么该平面内的任一向量 a, 存在唯一的 一对实数 a1,a2,使 a=a1e1+a2e2. 2.基底: 把不共线向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为{e1,e2}.a1e1+a2e2 叫做向量 a 关于基底{e1,e2}的分解式.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.( )

(2)若 e1,e2 是同一平面内两个不共线向量,则 λ 1e1+λ 2e2(λ 1,λ 2 为实数)可以表示 该平面内所有向量.( ) )

(3)若 ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则 a=c,b=d.(

【解析】 (1)错误.根据基底的概念可知, 平面内不共线的向量都可以作为该平面内向 量的基底. (2)正确.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量 e1,e2 线性表示. (3)错误.当 e1 与 e2 共线时,结论不一定成立. 【答案】 (1)× (2)√ (3)×

教材整理 2 直线的向量参数方程式 阅读教材 P97“例 2”~P98 以上内容,完成下列问题. 1.向量参数方程式: 已知 A,B 是直线 l 上任意两点,O 是 l 外一点(如图 2?2?1 所示),对直线 l 上任意一

1

→ → → 点 P,一定存在唯一的实数 t 满足向量等式OP=(1-t)OA+tOB;反之,对每一个实数 t,在 → → → 直线 l 上都有唯一的一个点 P 与之对应.向量等式OP=(1-t)OA+tOB叫做直线 l 的向量参数 方程式,其中实数 t 叫做参变数,简称参数.

图 2?2?1 2.线段中点的向量表达式: → → → → → → 1 1 在向量等式OP=(1-t)OA+tOB中,令 t= ,点 M 是 AB 的中点,则OM= (OA+OB).这 2 2 是线段 AB 的中点的向量表达式.

→ 已知 AD 为△ABC 的边 BC 上的中线,则AD等于( → → A.AB+AC → → 1 1 C. AB- AC 2 2 → → B.AB-AC → → 1 1 D. AB+ AC 2 2

)

→ → → → → 1 1 1 【解析】 根据线段 BC 的中点向量表达式可知AD= (AB+AC)= AB+ AC,故选 D. 2 2 2 【答案】 D [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问 2:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问 3:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问 4:_________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________

2

[小组合作型] 用基底表示向量 → → → 如图 2?2?2,设点 P,Q 是线段 AB 的三等分点,若OA=a,OB=b,则OP → =________,OQ=________.(用 a,b 表示)

图 2?2?2 【精彩点拨】 用基底表示平面向量,要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行 四边形法则. → → → → → 1 【自主解答】 OP=AP-AO= AB+OA 3 → → → 1 = (OB-OA)+OA 3 → → 2 1 2 1 = OA+ OB= a+ b, 3 3 3 3 → → →

OQ=AQ-AO= AB+OA= (OB-OA)+OA
→ → 1 2 1 2 = OA+ OB= a+ b. 3 3 3 3 【答案】 2 1 1 2 a+ b a+ b 3 3 3 3

2 3

→ →

2 3







平面向量基本定理的作用以及注意点: (1)根据平面向量基本定理, 任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量, 实质 上主要是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加减法运算.

3

(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,利用已知向量表示未知向量,或 找到已知向量与未知向量的关系,用方程的观点求出未知向量. [再练一题] → → 1.已知△ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分点,若AB=a,AC=b 用 a,b 表 → → → 示AD,AE,AF.

图 2?2?3 → → → → → 1 【解】 AD=AB+BD=AB+ BC 2 1 1 1 =a+ (b-a)= a+ b; 2 2 2 → → →

AE=AB+BE=a+ (b-a)= a+ b;
→ → → → 2 3 → 2 3 1 3 2 3

1 3

2 3

1 3

AF=AB+BF=AB+ BC=a+ (b-a)= a+ b.

直线的向量参数方程式的应用 → → 已知平面内两定点 A,B,对该平面内任一动点 C,总有OC=3λ OA+(1 → -3λ )OB(λ ∈R,点 O 为直线 AB 外一点),则点 C 的轨迹是什么图形?并说明理由. 【导学号:72010054】 【精彩点拨】 将所给向量式与直线的向量参数方程式比较易得答案, 也可以考虑将所 给向量式化简后再观察特点. → → → → → 【自主解答】 将已知向量等式两边同时减去OA, 得OC-OA=(3λ -1)OA+(1-3λ )OB → → =(1-3λ )(OB-OA) → =(1-3λ )AB, → → → → 即AC=(1-3λ )AB,λ ∈R,又AC,AB共始点,

4

∴A,B,C 三点共线, 即点 C 的轨迹是直线 AB.

→ → → 理解直线的向量参数方程式时要注意OP=(1-t)OA+tOB中三向量共始点,左边向量的 系数是 1,右边两向量的系数之和为 1,也可以结合向量加法的平行四边形法则进行理解. [再练一题] → → 2.如图 2?2?4, 设一直线上三点 A, B, P 满足AP=λ PB(λ ≠-1), O 是平面上任意一点, 则( ) → → → OA+λ OB A.OP= 1+λ → → → OA+λ OB B.OP= 1-λ → → → OA-λ OB C.OP= 1+λ → → → OA-2λ OB D.OP= 1-λ

图 2?2?4 【解析】 ∵P,A,B 三点共线, ∴一定存在实数 t, → → → 使得OP=(1-t)OA+tOB, 则 t 满足(1-t)+t=1, 1 λ 1+λ 只有选项 A: + = =1 符合. 1+λ 1+λ 1+λ 【答案】 A [探究共研型] 平面向量基本定理的综合应用

5

→ → → 探究 1 在向量等式OP=xOA+yOB中,若 x+y=1,则三点 P,A,B 具有什么样的位置 关系? → → → 【提示】 三点 P, A,B 在同一直线上.在向量等式OP=xOA+yOB中,若 x+y=1,则 P,

A,B 三点共线;若 P,A,B 三点共线,则 x+y=1.
探究 2 如图 2?2?5 所示,有点 O,A,D,B,以 OA 和 OB 为邻边作一平行四边形 ADBO, → 将此平行四边形的各边所在直线延长,将平面分成 9 部分,对于平面上任一向量OC,存在唯 → → → 一有序实数对(x,y),使OC=xOA+yOB成立.

图 2?2?5 对于点 C 的位置与实数 x,y 的取值情况需分几种讨论? 【提示】 需分 12 种情况. (1)点 C 与点 O 重合,则 x=y=0. (2)点 C 与点 A 重合,则 x=1,y=0. (3)点 C 与 D 重合,则 x=y=1. (4)点 C 与点 B 重合,则 x=0,y=1. (5)点 C 在直线 OA 上,则 x∈R,y=0. (6)点 C 在直线 AD 上,则 x=1,y∈R. (7)点 C 在直线 BD 上,则 x∈R,y=1. (8)点 C 在直线 OB 上,则 x=0,y∈R. (9)点 C 在直线 OD 上,则 x=y. (10)点 C 在直线 AB 上,则 x+y=1. (11)点 C 在①②③区域上,则 x>1;点 C 在④⑤⑥区域上,则 0<x<1;点 C 在⑦⑧⑨区 域上,则 x<0. (12)点 C 在①④⑦区域上,则 y<0;点 C 在②⑤⑧区域上,则 0<y<1;点 C 在③⑥⑨区 域上,则 y>1. → → 如图 2?2?6 所示,在△OAB 中,OA=a,OB=b,点 M 是 AB 的靠近 B 的 → 一个三等分点,点 N 是 OA 的靠近 A 的一个四等分点.若 OM 与 BN 相交于点 P,求OP.
6

图 2?2?6 → → → → → → → → 【精彩点拨】 可利用OP=tOM及OP=ON+NP=ON+sNB两种形式来表示OP, 并都转化为 → 以 a,b 为基底的表达式.根据任一向量基底表示的唯一性求得 s,t,进而求得OP. → → → → → 2 【自主解答】 OM=OA+A M =OA+ AB 3 → → → 2 1 2 =OA+ (OB-OA)= a+ b. 3 3 3 → → 因为OP与OM共线, → → t 2t 故可设OP=tOM= a+ b. 3 3 → → → → → → → → → → 3 3 又NP与NB共线,可设NP=sNB,OP=ON+sNB= OA+s(OB-ON)= (1-s)a+sb, 4 4 3 t ?1-s?= , ? ?4 3 所以? 2 s= t, ? ? 3 → 3 3 所以OP= a+ b. 10 5 9 t= , ? ? 10 解得? 3 s= , ? ? 5

1.任意一向量基底表示的唯一性的理解: 条件一 条件二 平面内任一向量 a 和同一平面内两个不共线向量 e1,e2

a=λ 1e1+μ 1e2 且 a=λ 2e1+μ 2e2
?λ 1=λ 2, ? ? ? ?μ 1=μ 2

结论

2.任意一向量基底表示的唯一性的应用: 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量 e1,

e2 的线性组合 λ 1e1+λ 2e2.在具体求 λ 1,λ 2 时有两种方法:
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理;

7

(2)利用待定系数法,即利用定理中 λ 1,λ 2 的唯一性列方程组求解. [再练一题] → → 1 3.如图 2?2?7 所示,在△ABC 中,点 M 是 AB 的中点,且AN= NC,BN 与 CM 相交于 E, 2 → → → 设AB=a,AC=b,试用基底 a,b 表示向量AE.

图 2?2?7 → → → → 1 1 1 1 【解】 易得AN= AC= b,AM= AB= a, 3 3 2 2 由 N,E,B 三点共线,设存在实数 m, → → → 1 满足AE=mAN+(1-m)AB= mb+(1-m)a. 3 由 C,E,M 三点共线,设存在实数 n 满足: → → →

AE=nAM+(1-n)AC= na+(1-n)b.
1 1 所以 mb+(1-m)a= na+(1-n)b, 3 2 1 ? ?1-m=2n, 由于 a,b 为基底,所以? 1 ?3m=1-n, ? 3 ? ?m=5, 解之得? 4 n= , ? ? 5

1 2

→ 2 1 所以AE= a+ b. 5 5

8

1.(2016·黄石高一检测)已知平行四边形 ABCD,则下列各组向量中,是该平面内所有 向量基底的是( → → A.AB,DC → → C.BC,CB ) → → B.AD,BC → → D.AB,DA

→ → 【解析】 由于AB,DA不共线,所以是一组基底. 【答案】 D 2.已知向量 a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中 e1,e2 不共线,则 a+b 与 c=6e1-2e2 的关 系是( ) B.共线 D.不确定

A.不共线 C.相等 【解析】 ∵a+b=3e1-e2, ∴c=2(a+b), ∴a+b 与 c 共线. 【答案】 B

→ → → 3.如图 2?2?8,在矩形 ABCD 中,若BC=5e1,DC=3e2,则OC=(

)

图 2?2?8 1 A. (5e1+3e2) 2 1 B. (5e1-3e2) 2

9

1 C. (3e2-5e1) 2 → → → → 1 1 【解析】 OC= AC= (BC+AB) 2 2 → → 1 1 = (BC+DC)= (5e1+3e2). 2 2 【答案】 A

1 D. (5e2-3e1) 2

→ 4.(2016·福州市八县一中高一联考)已知 A,B,D 三点共线,且对任意一点 C,有CD= → → 4 CA+λ CB,则 λ =________. 3 【解析】 ∵A,B,D 三点共线, → → → → → → → → → → → ∴存在实数 t, 使AD=tAB, 则CD-CA=t(CB-CA), 即CD=CA+t(CB-CA)=(1-t)CA+ 4 ? → ?1-t= , 3 tCB,∴? ? ?t=λ , 1 【答案】 - 3 5.已知 e1,e2 是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2, 试用向量 a 和 b 表示 c. 【导学号:72010055】 【解】 ∵a,b 不共线, ∴可设 c=xa+yb, 则 xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2) =(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2. 又∵e1,e2 不共线,
? ?3x-2y=7, ∴? ?-2x+y=-4, ?

1 即 λ =- . 3

解得?

? ?x=1, ?y=-2, ?

∴c=a-2b.

我还有这些不足: (1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案:
10

(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________

学业分层测评(十八) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.(2016·衡水高一检测)设 e1,e2 是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中, 不能作为基底的是( A.e1+e2 和 e1-e2 B.3e1-4e2 和 6e1-8e2 C.e1+2e2 和 2e1+e2 D.e1 和 e1+e2 【解析】 B 中,∵6e1-8e2=2(3e1-4e2), ∴(6e1-8e2)∥(3e1-4e2), ∴3e1-4e2 和 6e1-8e2 不能作为基底. 【答案】 B 2.(2016·合肥高一检测)如图 2?2?9,向量 a-b 等于( ) )

图 2?2?9 A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 → 【解析】 不妨令 a=CA, →

b=CB,
→ → → 则 a-b=CA-CB=BA, → 由平行四边形法则可知BA=e1-3e2.
11

【答案】 C 3.(2016·大连高一检测)如图 2?2?10, 已知 E, F 分别是矩形 ABCD 的边 BC, CD 的中点, → → → EF 与 AC 交于点 G,若AB=a,AD=b,用 a、b 表示AG=( )

图 2?2?10 1 1 A. a+ b 4 4 3 1 C. a- b 4 4 → → → → 1 1 【解析】 易知CF= CD,CE= CB. 2 2 → → → → → → → 设CG=λ CA,则由平行四边形法则可得CG=λ (CB+CD)=2λ CE+2λ CF, 由于 E,G,F 三点共线, 则 2λ +2λ =1, → → 1 1 即 λ = ,从而CG= CA, 4 4 → → 3 3 从而AG= AC= (a+b). 4 4 【答案】 D → → → → 4.若 D 点在三角形 ABC 的边 BC 上,且CD=4DB=rAB+sAC,则 3r+s 的值为( A. C. 16 5 8 5 B. D. 12 5 4 5 ) 1 1 B. a+ b 3 3 3 3 D. a+ b 4 4

→ → → → 【解析】 ∵CD=4DB=rAB+sAC, → → → → → → 4 4 ∴CD= CB= (AB-AC)=rAB+sAC, 5 5

12

4 4 ∴r= ,s=- , 5 5 12 4 8 ∴3r+s= - = . 5 5 5 【答案】 C 5.如果 e1,e2 是平面 α 内所有向量的一组基底,那么下列命题正确的是( A.若实数 λ 1,λ 2,使 λ 1e1+λ 2e2=0,则 λ 1=λ 2=0 B.空间任一向量 a 可以表示为 a=λ 1e1+λ 2e2,其中 λ 1,λ 2∈R C.对实数 λ 1,λ 2,λ 1e1+λ 2e2 不一定在平面 α 内 D.对平面 α 中的任一向量 a,使 a=λ 1e1+λ 2e2 的实数 λ 1,λ 2 有无数对 【解析】 选项 B 错误,这样的 a 只能与 e1,e2 在同一平面内,不能是空间任一向量; 选项 C 错误,在平面 α 内任一向量都可表示为 λ 1e1+λ 2e2 的形式,故 λ 1e1+λ 2e2 一定在 平面 α 内;选项 D 错误,这样的 λ 1,λ 2 是唯一的,而不是有无数对. 【答案】 A 二、填空题 6.已知 a 与 b 是两个不共线的向量, 且向量 a+λ b 与-(b-3a)共线, 则 λ =________. 【解析】 由题意可以设 a+λ b=λ 1(-b+3a)=3λ 1a-λ 1b, 因为 a 与 b 不共线, 1 λ = , ? ? 3 解得? 1 λ =- . ? ? 3
1

)

?1=3λ 1, ? 所以有? ? ?λ =-λ 1,

1 【答案】 - 3 7.设 e1,e2 是平面内一组基向量,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以表示 为另一组基向量 a,b 的线性组合,即 e1+e2=________. 【解析】 因为 a=e1+2e2 ①,

b=-e1+e2 ②,
显然 a 与 b 不共线,

①+②得 a+b=3e2,
所以 e2=

a+b 代入②得 3

a+b 1 2 e1=e2-b= -b= a- b, 3 3 3
故有 e1+e2= a- b+ a+ b= a- b.

1 3

2 3

1 3

1 3

2 3

1 3

13

【答案】

2 1 a- b 3 3

三、解答题 → → → → → → → 8.如图 2?2?11,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为 120°,OA与OC的 → → → → → → 夹角为 30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=2 3,若OC=λ OA+μ OB(λ ,μ ∈R),求 λ +μ 的值.

图 2?2?11 【导学号:72010056】 → → 【解】 如图,以 OA,OB 所在射线为邻边,OC 为对角线作平行四边形 ODCE,则OC=OD → → → → +OE,在 Rt△OCD 中,因为|OC|=2 3,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以|OD|=4,|CD| → → → → =2,故OD=4OA,OE=2OB,即 λ =4,μ =2,所以 λ +μ =6.

9.(2016·马鞍山二中期末)如图 2?2?12 所示,在?ABCD 中,E,F 分别是 BC,DC 的中 → → 点,BF 与 DE 交于点 G,设AB=a,AD=b.

图 2?2?12 → (1)用 a,b 表示DE; (2)试用向量方法证明:A,G,C 三点共线. → → → → → → 【解】 (1)DE=AE-AD=AB+BE-AD =a+ b-b=a- b. (2)证明:连接 AC,BD 交于 O, → → 1 则CO= CA, 2 ∵E,F 分别是 BC,DC 的中点,
14

1 2

1 2

∴G 是△CBD 的重心, → → → → 1 1 ? 1? 1 ∴GO= CO= ×?- ?AC=- AC, 3 3 ? 2? 6 又 C 为公共点,∴A,G,C 三点共线. [能力提升] → → 1.已知点 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足OP=OA+ → → ? AB AC ? + λ ? (λ ∈[0,+∞)),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( → → ? ?|AB| |AC|? A.外心 C.重心 → 【解析】 B.内心 D.垂心

)

AB

→ |AB|

→ 为AB上的单位向量,

→ → → → AB AC 为AC上的单位向量, 则 + 的方向为∠BAC 的角平分线AD的方向.又 λ ∈[0, → → → |AC| |AB| |AC|



AC

+∞), → → → → → → ?→ ?→ AB AC ? AB AC ? AB AC + + ∴λ ? 的方向与 + 的方向相同.而OP=OA+λ ? , → → ? → → ? → → ?|AB| |AC|? ?|AB| |AC|? |AB| |AC| → ∴点 P 在AD上移动, ∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 【答案】 B 2.如图 2?2?13 所示,OM∥AB,点 P 在由射线 OM,线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区 → → → 域内(不含边界)运动,且OP=xOA+yOB.

图 2?2?13 (1)求 x 的取值范围;

15

1 (2)当 x=- 时,求 y 的取值范围. 2 → → → 【解】 (1)因为OP=xOA+yOB,以 OB 和 OA 的反向延长线为两邻边作平行四边形,由 向量加法的平行四边形法则可知 OP 为此平行四边形的对角线, 当 OP 长度增大且靠近 OM 时,

x 趋向负无穷大,所以 x 的取值范围是(-∞,0).
1 1 (2)如图所示,当 x=- 时,在 OA 的反向延长线取点 C,使 OC= OA,过 C 作 CE∥OB, 2 2 分别交 OM 和 AB 的延长线于点 D,E, 1 3 则 CD= OB,CE= OB, 2 2

→ → → 1 1 要使 P 点落在指定区域内,则 P 点应落在 DE 上,当点 P 在点 D 处时OP=- OA+ OB, 2 2 → → → 1 3 当点 P 在点 E 处时OP=- OA+ OB, 2 2

?1 3? 所以 y 的取值范围是? , ?. ?2 2?

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