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2011届高考数学一轮复习课件 第四编 三角函数、解三角形 7 正弦定理、余弦定理应用举例


§4.7 正弦定理、余弦定理应用举例
基础知识
要点梳理
1.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外) 才能求解,常见类型及其解法如表所示. 已知条件 应用定理 一般解法

自主学习

一边和两角 (如a,B,C)

正弦定理

由A+B+C=180°,求 角A;由正弦定理求 出b与c. 在有解时只有一解

由余弦定理求第三边c; 由正弦定理求出小 两边和夹角 余弦定理 边所对的角;再由A+B (如a,b,C) 正弦定理 +C=180°求出另一角. 在有解时只有一解 由余弦定理求出角 A、B;再利用A+B 三边 余弦定理 (a,b,c) +C=180°,求出角C. 在有解时只有一解 由正弦定理求出角B; 由A+B+C=180°,求出 两边和其中 正弦定理 角C;再利用正弦定理 一边的对角 余弦定理 (如a,b,A) 或余弦定理求c. 可有两解,一解或无解

2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等. 3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 上方 叫仰角,

目标视线在水平视线 下方 叫俯角(如图①).

(2)方位角
指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角, 如B点的方位角为α (如图②). (3)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.

基础自测
1.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°,C点的俯角是70°,则∠BAC 等于( D ) A.10° B.50° C.120° D.130°

解析

由已知∠BAD=60°,∠CAD=70°,

∴∠BAC=60°+70°=130°.

2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔
A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏 东60°,则灯塔A在灯塔B的( B ) A.北偏东10° C.南偏东10° B.北偏西10° D.南偏西10°

解析

灯塔A、B的相对位置如图所示,

由已知得∠ACB=80°, ∠CAB=∠CBA=50°, 则α =60°-50°=10°.

3.在△ABC中,AB=3,BC= 13,AC=4,则边AC 上的高为( B )
A. 3 2 B. 3 3 C. 3 2 2 2 解析 由余弦定理可得: D.3 3

AC 2 ? AB 2 ? BC 2 4 2 ? 32 ? ( 13) 2 1 cos A ? ? ? . 2 AC ? AB 2 ? 3? 4 2 3 ? sin A ? , 则AC边上的高 2 3 3 h ? AB ? sin A ? 3 ? ? 3. 2 2

4.△ABC中,若A=60°,b=16,此三角形面积 S ? 220 3,
则a的值为( D )

A.20 6
解析

B.25

C.55

D.49

由S= 1 bcsin A=220 3,得c=55. 2 由余弦定理得 a2=162+552-2×16×55×cos 60°=2 401,

∴a=49.

5.(2009·湖南文,14)在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,

AC 则 的值等于 2 ,AC的取值范围为( 2, 3). cos A
解析 由正弦定理 : BC ? AC , sin A sin B
? BC AC AC AC ? ? ,? ? 2 BC ? 2. sin A sin 2 A 2 sin A cos A cos A

? A ? B ? C ? ? ,? 3 A ? C ? ? , C ? ? ? 3 A,

? ? 0? A? , ? 2 ? ? ? ? ?0 ? 2 A ? , 2 ? ? ? 0 ? ? ? 3A ? , ? 2 ? ? ? 2 3 ? ? A ? ,? ? cos A ? , 又AC ? 2 cos A, 6 4 2 2 ? 2 ? AC ? 3.

题型分类 深度剖析
题型一 与距离有关的问题

【例1】 要测量对岸A、B两点之间的距离,选取 相距 3 km的C、D两点,并测得∠ACB=75°, ∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求

A、B之间的距离.
思维启迪 分析题意,作出草图,综合运用正、 余弦定理求解.



如图所示在△ACD中,

∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°, ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD中,∠BCD=45°, ∠BDC=75°,∠CBD=60°.
? BC ? 3 sin 75? 6? 2 ? . sin 60? 2

在△ABC中,由余弦定理,得
6? 2 2 6? 2 ) ? 2? 3? ? cos 75? 2 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5, AB 2 ? ( 3) 2 ? ( ? AB ? 5(km). ? A、 B 之间的距离为 5 km .

探究提高 求距离问题要注意:

(1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所
求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若 有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求 解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可

用,就选择更便于计算的定理.

知能迁移1(2009·海南,宁夏理, 17)为了测量两山顶M、N间的 距离,飞机沿水平方向在A、B 两点进行测量,A、B、M、N在同一个铅垂平面

内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和
A、B间的距离,请设计一个方案,包括:①指 出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标 出);②用文字和公式写出计算M、N间的距离 的步骤.



方案一:①需要测量的数据有:A点到M、N

点的俯角α 1、β 1;B点到M、N点的俯角α 2、β 2; A、B的距离d(如图所示). ②第一步:计算AM.由正弦定理 AM ? 第二步:计算AN.由正弦定理 AN ? 第三步:计算MN.由余弦定理
MN ? AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos(?1 ? ?1 )
d sin ? 2 ; sin(?1 ? ? 2 )

d sin ? 2 ; sin( ? 2 ? ?1 )

方案二:①需要测量的数据有:A点到M、N点的
俯角α 1、β 1;B点到M、N点的俯角α 2、β 2; A、B的距离d(如图所示). ②第一步:计算BM.由正弦定理 BM ?
d sin ?1 ; sin(?1 ? ? 2 )

第二步:计算BN.由正弦定理 BN ? d sin ?1 ;
sin( ? 2 ? ?1 )

第三步:计算MN.由余弦定理
MN ? BM 2 ? BN 2 ? 2 BM ? BN cos( ? 2 ? ? 2 ).

题型二

与高度有关的问题

【例2】 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向
前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得 塔顶的最大仰角为30°,求塔高.
思维启迪 依题意画图,某人在C

处,AB为塔高,他沿CD前进,CD=
40米,此时∠DBF=45°,从C到D 沿途测塔的仰角,只有B到测试点 的距离最短时,仰角才最大,这是因为tan∠AEB =
AB , BE

AB为定值,BE最小时,仰角最大.要求出

塔高AB,必须先求BE,而要求BE,需先求BD (或BC).



如图所示,某人在C处,AB为塔高,他沿CD

前进,CD=40,此时∠DBF=45°,过点B作BE⊥

CD于E,则∠AEB=30°,

在△BCD中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°,
由正弦定理 , 得 CD BD ? , sin ?DBC sin ?BCD

40 sin 30? ? BD ? ? 20 2. sin 135?

∠BDE=180°-135°-30°=15°. 在Rt△BED中,
6? 2 ? 10( 3 ? 1). BE=DBsin 15°? 20 2 ? 4 在Rt△ABE中,∠AEB=30°, 10 ∴AB=BEtan 30°= (3 ? 3)(米). 3 故所求的塔高为 10 (3 ? 3)米. 3

探究提高 解斜三角形应用题的一般步骤是:

(1)准确理解题意,分清已知与所求; (2)依题意画出示意图; (3)分析与问题有关的三角形;

(4)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,
逐步求解问题的答案; (5)注意方程思想的运用; (6)要综合运用立体几何知识与平面几何知识.

知能迁移2

如图所示,测量河对岸的

塔高AB时,可以选与塔底B在同一水 平面内的两个测点C与D,现测得 ∠BCD=α ,∠BDC=β ,CD=s,并 在点C测得塔顶A的仰角为θ ,求塔高AB.



在△BCD中,∠CBD=π -α -β

BC CD 由正弦定理得 ? , sin ?BDC sin ?CBD CD sin ?BDC s ? sin ? 所以BC ? ? sin ?CBD sin(? ? ? ) s tan ? sin ? 在 Rt ?ABC中, AB ? BC tan ?ACB ? . sin(? ? ? )

题型三

正、余弦定理在平面几何中的综合应用

【例3】 (12分)如图所示,在梯形 ABCD中, AD∥BC,AB=5,
AC=9,∠BCA=30°,∠ADB=45°, 求BD的长.
思维启迪 由于AB=5,∠ADB=45°,因此要

求BD,可在△ABD中,由正弦定理求解,关键 是确定∠BAD的正弦值.在△ABC中,AB=5, AC=9,∠ACB=30°,因此可用正弦定理求 出sin∠ABC,再依据∠ABC与∠BAD互补确定 sin∠BAD即可.



在△ABC中,AB=5,AC=9,∠BCA=30°. AB AC 由正弦定理 , 得 ? , sin ?BCA sin ?ABC AC ? sin ?BCA 9 sin 30 ? 9 6分 sin ?ABC ? ? ? . AB 5 10 ∵AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC, 9 于是sin∠BAD=sin∠ABC= . 8分 9 10 同理,在△ABD中,AB=5,sin∠BAD= 10 , AB BD 由正弦定理 : ? . ∠ADB=45°, sin ?BDA sin ?BAD 解得BD=
探究提高
9 2 .故BD的长为 9 2 . 2 2

12分

要利用正、余弦定理解决问题,需将

多边形分割成若干个三角形.在分割时,要注意 有利于应用正、余弦定理.

知能迁移3

如图所示,已知半圆的直径AB=2,

点C在AB的延长线上,BC=1,点P为半圆上的
一个动点,以DC为边作等边△PCD,且点D与 圆心O分别在PC的两侧,求四边形OPDC面积的 最大值.



设∠POB=θ ,四边形面积为y,

则在△POC中,由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OP·OCcos θ =5-4cos θ .
? y ? S ?OPC ? S ?PCD 1 3 ? ? 1? 2 sin ? ? (5 ? 4 cos ? ) 2 4

5 3 ? 2 sin(? ? ) ? . 3 4 5? 5 3 ?当? ? ? ,即? ? 时, ymax ? 2 ? . 3 2 6 4 5 3 所以四边形 OPDC面积的最大值为 2 ? . 4

?

?

?

思想方法

感悟提高

方法与技巧
1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念
建立三角函数模型. 2.把生活中的问题化为二维空间解决,即在一个 平面上利用三角函数求值. 3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.

失误与防范
在解实际问题时,应正确理解如下角的含义.
1.方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角. 2.方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线 的水平角. 3.坡度——坡面与水平面的二面角的度数. 4.仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内 的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水 平视线上方时称为仰角,目标视线在水平视线

下方时称为俯角.

定时检测
一、选择题

1.在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分
别是30°,60°,则塔高为
A. 400 m 3 B. 400 3m 3 C. 200 3m 3



A )
D. 200 m 3

解析

作出示意图如图,

由已知:在Rt△OAC中, OA=200,∠OAC=30°, 则OC=OA·tan∠OAC =200tan 30°= 200 3 .
3 200 3 在Rt△ABD中,AD= ,∠BAD=30°, 3 200 3 200 tan 30? ? , ? 则BD=AD·tan∠BAD= 3 3

? BC ? CD ? BD ? 200 ?

200 400 ? . 3 3

2.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两
个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时 后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船 的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时 ( C ) A.5海里 B.5 3 海里 C.10海里 解析 D.10 3 海里 如图所示,依题意有∠BAC=60°,

∠BAD=75°, 所以∠CAD=∠CDA=15°, 从而CD=CA=10, 在Rt△ABC中,得AB=5, 5 于是这艘船的速度是 ? 10(海里/小时). 0 .5

3.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋
观察站C的距离都等于a km,灯塔A在 观察站C的北偏东20°,灯塔B 在观察 站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B 的距离为 ( B)

A.a km

C. 2 a km 解析 利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120°, 在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC 2-2a2× ( ? 1 ) ? 3a 2 ,? AB ? 3a. ·BCcos 120°=2a 2

B. 3 a km D.2a km

4.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔

P的南偏西75°距塔68海里的M处,下午2时到达这
座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为 ( A.17 6 海里/小时 2 C.17 2 海里/小时 2 B.34 6 海里/小时 D.34 2 海里/小时 )

解析

PM MN 如图所示,在△PMN中, ? , sin 45? sin 120?

68 ? 3 ? 34 6, 2 MN 17 6 ?v ? ? (海里 / 小时). 4 2 ? MN ?

答案 A

5.如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S
在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20 海里,随后货轮按北偏西30°的方向 航行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则 货轮的速度为 ( )

A.20 ( 2 ? 6 ) 海里/小时
B.20 ( 6 ? 2 ) 海里/小时 C.20 ( 6 ? 3) 海里/小时

D.20 ( 6 ? 3) 海里/小时

解析

由题意知SM=20,∠SNM=105°,

∠NMS=45°,
MN 20 ? ?MSN ? 30 ?,? ? . sin 30 ? sin 105 ? ? MN ? 10 ? 10 ( 6 ? 2 ). sin 105 ?

? 货轮航行的速度 10 ( 6 ? 2 ) v? ? 20 ( 6 ? 2 )海里 / 小时. 1 2 答案 B

6.线段AB外有一点C,∠ABC=60°, AB=200 km,汽车以 80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50 km/h的 速度由B向C行驶,则运动开始 小. A. 69 43 h后,两车的距离最

B.1

C. 70 43

D.2

解析

如图所示,设t h后,汽

车由A行驶到D,摩托车由B行
驶到E,则AD=80t,BE=50t. 因为AB=200,所以BD=200-80t, 问题就是求DE最小时t的值. 由余弦定理:DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos 60°

=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t
=12 900t2-42 000t+40 000. 70 当t ? 时, DE最小. 43

答案

C

二、填空题 ? 7.在△ABC中,BC=1,∠B= ,当△ABC的面积等于 3 3 时,tan C= ?2 3 . 1 解析 S△ABC= acsin B= 3 ,∴c=4. 2 由余弦定理:b2=a2+c2-2accos B=13,
a2 ? b2 ? c2 1 12 ? cos C ? ?? , sin C ? , 2ab 13 13 ? tan C ? ? 12 ? ?2 3.

8.在△ABC中,AC= 6,BC=2,B=60°,则A的大
小是 45°,AB=

3 ?1 .

6 2 解析 由正弦定理 2 ? ,? sin A ? . sin A sin 60? 2

? BC ? 2 ? AC ? 6,? A为锐角.? A ? 45 ?. AB 2 ? C ? 75 ?.? ? ,? AB ? 3 ? 1. sin 75 ? sin 45 ?

9.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船 相距a海里,乙船正向北行驶, 若甲船是乙船速度的

3

倍,则甲船应取方向 才能追上乙船;追上时甲 北偏东30° 船行驶了 3a 海里.

解析

如图所示,设到C点甲船追上乙船,

乙到C地用的时间为t,乙船的速度为v, 则BC=tv,AC= 3 tv,B=120°,
由正弦定理知 ? BC AC ? , sin ?CAB sin B

1 3 ? , sin ?CAB sin 120 ?

∴BC=AB=a,

1 ? sin ?CAB ? ,? ?CAB ? 30 ?,? ?ACB ? 30 ?, 2

∴AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos 120°

1 ? a ? a ? 2a ? (? ) ? 3a 2 ,? AC ? 3a. 2
2 2 2

三、解答题

10.如图所示,扇形AOB,圆心角AOB等
于60°,半径为2,在弧AB上有一动 点P,过P引平行于OB的直线和OA交 于点C,设∠AOP=θ ,求△POC 面积的最大值及此时θ 的值. 解 ∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60°-θ , ∠OCP=120°.

OP CP ? , 在△POC中,由正弦定理得 sin ?PCO sin ?
? 2 CP 4 ? ,? CP ? sin ? . sin 120 ? sin ? 3

OC 2 4 又 ? ,? OC ? sin( 60 ? ? ? ). sin( 60 ? ? ? ) sin 120 ? 3

因此?POC 的面积为 1 S (? ) ? CP ? OC sin 120 ? 2 1 4 4 3 ? ? sin ? ? sin( 60 ? ? ? ) ? 2 3 3 2 4 ? sin ? sin( 60 ? ? ? ) 3 4 3 1 ? sin ? ( cos ? ? sin ? ) 3 2 2 2 ? 2 sin ? ? cos ? ? sin 2 ? 3 3 3 ? sin 2? ? cos 2? ? 3 3 2 3 ? 3 ? sin( 2? ? ) ? 3 6 3 ? 3 ?? ? 时, S (? )取得最大值为 . 6 3

3 cos A ? . 11.在△ABC中,已知 5 A (1)sin2 ?cos(B+C)的值; 2 (2)若△ABC的面积为4,AB=2,求BC的长.



A 1 ? cos A (1) sin ? cos( B ? C ) ? ? cos A 2 2
2

3 5 ? 3 ? 4. ? 2 5 5 1?

3 4 ( 2)在?ABC 中,? cos A ? ,? sin A ? . 5 5 1 由S ?ABC ? 4, 得 bc sin A ? 4, 得bc ? 10 . 2 ? c ? AB ? 2,? b ? 5. ? BC 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 3 ? 5 ? 2 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? 17 . 5 ? BC ? 17 .
2 2

12.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A( 3 -1)
n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的 方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,

问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?
解 如图所示,注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等,若在D 处相遇,则可先在△ABC中求出BC, 再在△BCD中求∠BCD. 设缉私船用t h在D处追上走私船,

则有CD=10 3 t,BD=10t. 在△ABC中,∵AB= 3 -1,AC=2, ∠BAC=120°, ∴由余弦定理, 得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC =( 3 -1)2+22-2×( 3-1)×2×cos 120°=6, ∴BC= 6 ,∵∠CBD=90°+30°=120°,

在△BCD中,由正弦定理,得

BD ? sin ?CBD 10t sin 120? 1 sin ?BCD ? ? ? , CD 10 3t 2
∴∠BCD=30°.即缉私船北偏东60°方向能最快追 上走私船.
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