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2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 选修4-4 选修 第2讲参数方程


第2讲 参数方程
最新考纲 1.了解参数方程,了解参数的意义;2.能选择适当 的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程;3.掌握直线的参数方

程及参数的几何意义,能用直线的参数方程解决简单的相关问
题.

基础诊断

考点突破

知识梳理

1.曲线的参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变量 t
? ?x=f?t?, 的函数? ? ?y=g?t?.

并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x,y)都在这条 参数方程 ,其中变量 t 称为 曲线上,则称上式为该曲线的 _________ 参数 . _____

基础诊断

考点突破

2.一些常见曲线的参数方程 (1) 过点 P0(x0 , y0) ,且倾斜角为 α 的直线的参数方程为
? x0+tcos α ?x=_____________ ? y0+tsin α ? ?y=_____________

(t 为参数).

(2) 圆 的 方 程 (x - a)2 + (y - b)2 = r2 的 参 数 方 程 为

a+rcos θ ? ?x=_________ ? b+rsin θ ? ?y=_________

(θ 为参数).

基础诊断

考点突破

? acos θ ?x=______ x2 y2 (3)椭圆方程a2+b2=1(a>b>0)的参数方程为? (θ 为 b sin θ ? ?y=______

参数). (4)抛物线方程 数).
2 ? 2 pt x = ______ ? y2=2px(p>0)的参数方程为? 2pt ? ?y=______

(t 为参

基础诊断

考点突破

诊 断 自 测
1.极坐标方程 ρ=cos θ
? ?x=-1-t, 和参数方程? ? ?y=2+t

(t 为参数)所

表示的图形分别是________. ①直线、直线;②直线、圆;③圆、圆;④圆、直线. x x 解析 ∵ρcos θ=x,∴cos θ=ρ代入到 ρ=cos θ,得 ρ=ρ,
∴ρ2=x,∴x2+y2=x +y=1,表示直线. 答案 ④
基础诊断 考点突破

? ?x=-1-t, 表示圆.又∵? ? ?y=2+t,

相加得 x

? ?x=1-2t, 2.若直线? ? ?y=2+3t

(t 为实数)与直线 4x+ky=1 垂直,则常

数 k=________.

解析

? ?x=1-2t, 参数方程? ? ?y=2+3t,

所表示的直线方程为 3x+2y

3 ? 4? =7, 由此直线与直线 4x+ky=1 垂直可得-2×?-k ?=-1, ? ? 解得 k=-6.
答案 -6

基础诊断

考点突破

? ?x=2+t, 3.直线? ? ?y=-1-t

(t

? ?x=3cos α, 为参数)与曲线? ? ?y=3sin α

(α 为参数)

的交点个数为________.

解析 直线方程可化为 x+y-1=0,曲线方程可化为 x2+ 1 2 y =9,圆心(0,0)到直线 x+y-1=0 的距离 d= = 2 <3. 2
2

∴直线与圆相交有两个交点.
答案 2

基础诊断

考点突破

4.直线

? ?x=1- l:? ? ?y=2+

2t, (t 为参数)上到点 A(1,2)的距离为 4 2 2t

的点的坐标为________.

解析 设点 Q(x,y)为直线上的点, 则|QA|= ?1-1+ 2t?2+?2-2- 2t?2 = ? 2t?2+?- 2t?2=4 2, 解之得,t=± 2 2,所以 Q(-3,6)或 Q(5,-2).

答案 (-3,6)或(5,-2)

基础诊断

考点突破

5.(2013·广东卷)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ,以极 点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C

的参数方程为________.
解析 由 ρ=2cos θ 知,ρ2=2ρcos θ 所以 x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,
? ?x=1+cos 故其参数方程为? ? ?y=sin θ

θ,

(θ 为参数).

答案

? ?x=1+cos ? ? ?y=sin θ

θ,

(θ 为参数)

基础诊断

考点突破

考点一

参数方程与普通方程的互化

【例 1】 把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什 么曲线: 1 ? ?x=1+2t, (1)? ?y=2+ 3t 2 ? 1 ? ?x=t+ t , (3)? ?y=1-t t ?
2 ? x = 1 + t , ? 为参数);(2)? ? ?y=2+t

(t

(t 为参数);

(t 为参数).

基础诊断

考点突破



1 (1)由 x=1+2t 得 t=2x-2.

3 ∴y=2+ 2 (2x-2). ∴ 3x-y+2- 3=0,此方程表示直线. (2)由 y=2+t 得 t=y-2,∴x=1+(y-2)2. 即(y-2)2=x-1,此方程表示抛物线. 1 ? ? x =t + t (3)? ?y=1-t t ? ∴①2-②2 得 x2-y2=4,此方程表示双曲线.
基础诊断 考点突破

① ②

规律方法

参数方程化为普通方程:化参数方程为普通方程的

基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消

去法、恒等式 ( 三角的或代数的 ) 消去法,不要忘了参数的范
围.

基础诊断

考点突破

【训练 1】 将下列参数方程化为普通方程.
? ?x=1-sin 2θ, (1)? ? ?y=sin θ+cos θ

(θ 为参数);

? 1 t -t ?x=2?e +e ?, (2)? (t 为参数). 1 ?y= ?et-e-t? ? 2 解 (1)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ),
得 y2=2-x.又 x=1-sin 2θ∈[0,2] , 得所求的普通方程为 y2=2-x,x∈[0,2] . (2)由参数方程得 et=x+y,e-t=x-y, ∴(x+y)(x-y)=1,即 x2-y2=1(x≥1).
基础诊断 考点突破

考点二

直线与圆参数方程的应用

【 例 2 】 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 l 的 参 数 方 程 为 2 ? ?x=3- 2 t, ? ?y= 5+ 2t 2 ?

(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy

取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为 极轴)中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,若点 P 的坐标为(3, 5), 求|PA|+|PB|.
基础诊断 考点突破



(1)由 ρ=2 5sin θ,得 ρ2=2 5ρsin θ.

∴x2+y2=2 5y,即 x2+(y- 5)2=5. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程.
? 得? ?3- ? ? ? 2? ?2 ? 2 ?2 2 + = 5 ,即 t -3 2t+4=0. t t ? 2 ? 2 ? ? ? ?

由于 Δ=(-3 2)2-4×4=2>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两 实根,
? ?t1+t2=3 所以? ? t2=4. ?t1·

2,

又直线 l 过点 P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2.
基础诊断 考点突破

规律方法

(1)过定点 P0(x0, y0 ) , 倾斜角为 α 的直线参数方程的 (t 为参数), t 的几何意义是直线上

? ?x=x0+tcos α, 标准形式为? ? ?y=y0+tsin α

的点 P 到点 P0(x0,y0)的数量,即 t=|PP0|时为距离.使用该式 时直线上任意两点 P1、P2 对应的参数分别为 t1、t2,则|P1P2|= 1 |t1-t2|,P1P2 的中点对应的参数为2(t1+t2).
? ?x=x0+at, (2)对于形如? ? ?y=y0+bt

(t 为参数),当 a2+b2≠1 时,应先化

为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题.
基础诊断 考点突破

【训练 2】 已知直线 l

? ?x=1+t, 的参数方程为? ? ?y=4-2t

(参数 t∈R),

圆C

? ?x=2cos θ+2, 的参数方程为? ? ?y=2sin θ

(参数 θ∈[0,2π] ),求直

线 l 被圆 C 所截得的弦长.

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考点突破



? ?x=1+t, 由? ? ?y=4-2t

消参数后得普通方程为 2x+y-6=0, 消参数后得普通方程为(x-2)2+y2=4,显

? ?x=2cos θ+2, 由? ? ?y=2sin θ

然圆心坐标为(2,0),半径为 2.由于圆心到直线 2x+y-6=0 的 |2×2+0-6| 2 5 距离为 d= = 5 , 2 2 2 +1 所以所求弦长为 2 2
2

?2 5? ? ?2 8 5 -? = 5 . ? ? 5 ?

基础诊断

考点突破

考点三

极坐标、参数方程的综合应用
? ?x=cos θ, C:? ? ?y=sin θ

【例 3】 已知 P 为半圆

(θ 为参数,0≤θ≤π)

上的点,点 A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点 M 在射线 π OP 上,线段 OM 与 C 的弧AP 的长度均为3.



(1)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程.

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考点突破

解 M

π π (1)由已知,点 M 的极角为3,且点 M 的极径等于3,故点
?π π? 的极坐标为?3,3?. ? ? ?π 的直角坐标为? ?6, ?

(2)点 M

3π? ? ,A(1,0). 6 ? ?

?π ? ? ?t, - 1 ?x=1+? ?6 ? 故直线 AM 的参数方程为? (t 为参数). 3 π ?y= t 6 ? 规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般

方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要 结合题目本身特点,确定选择何种方程.
基础诊断 考点突破

【训练 3】 (2013· 福建卷)在平面直角坐标系中,以坐标原点为 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 A 的极坐
? 标为? ?

π? 2,4?,直线 l 的极坐标方程为 ? A 在直线 l 上.

? π? ρcos?θ-4?=a,且点 ? ?

(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (2)圆 C
? ?x=1+cos 的参数方程为? ? ?y=sin α

α,

(α 为参数), 试判断直

线 l 与圆 C 的位置关系.
基础诊断 考点突破



(1)由点

? A? ?

? π? π? 2,4?在直线 ρcos?θ-4?=a 上,可得 a= 2. ? ? ?

所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ+ρsin θ=2, 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 所以圆 C 的圆心为(1,0),半径 r=1, 1 2 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= = 2 <1, 2 所以直线 l 与圆 C 相交.

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