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2019年版高中全程复习方略配套课件:23函数的奇偶性与周性(北师大版·数学理)语文_图文

第三节 函数的奇偶性与周期性

三年11考 高考指数:★★★ 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义; 2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性; 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函 数的周期性.

1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考向; 2.常与函数的图像、单调性、对称性、零点等综合命题; 3.多以选择、填空题的形式出现,属中低档题目.

1.函数奇偶性的定义 (1)图像定义:①f(x)为奇函数?图像关于_原__点__对称; ②f(x)为偶函数?图像关于_y_轴__对称; (2)符号定义:对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ①f(x)为偶函数?_f_(_-_x_)_=_f_(_x_)_; ②f(x)为奇函数?_f_(_-_x_)_=_-_f_(_x_)_.

【即时应用】 (1)思考:函数f(x)=x+sinx,g(x)=x·sinx各自图像有什么对 称性? 提示:f(x)为奇函数,所以其图像关于原点对称;g(x)为偶函 数,所以其图像关于y轴对称.

(2)判断下列六个函数是否是奇函数.(请在括号中填“是”或

“否”)

①y=x2-|x|

()

②y=sin3x
③y=x+ 1
x
④y=3x-3-x

() () ()

⑤y=|x|cosx

()

⑥y=x2,x∈(-1,1]

()

【解析】由奇函数、偶函数的符号定义知,函数①,⑤为偶函 数,②,③,④为奇函数,⑥是非奇非偶函数. 答案:①否 ②是 ③是 ④是 ⑤否 ⑥否

(3)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么

a+b的值是________.

【解析】由已知得a-1=-2a,解得a= 1 ,
3

∴f(x)= 1 x2 +bx,又f(-x)=f(x),
3

即 1 x2 ? bx ? 1 x2 ? bx ? bx ? 0,

3

3

又x∈[ ?

2,2 33

],∴b=0,故a+b=

1 3

+0=

1. 3

答案:1
3

(4)已知f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2,则f(x)=

_____.

【解析】由题意知f(0)=0,当x<0时,-x>0,

∴f(-x)=(-x)2=x2,

又f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2,

??x2,x ? 0 综上,f (x) ? ??0,x ? 0 .
??x2 , x ? 0

答案:???x2 , x ? 0

? ??x

2

,

x

?

0

(5)若f(x)为R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,则f(x) 在(-∞,0]上的单调性为_______. 【解析】由图像关于y轴对称知在(-∞,0]上为单调增函数. 答案:单调递增

2.周期性 (1)周期函数:常数T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件: ①T≠0; ②f(x+T)=_f_(_x_)_对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最__小__的__正__数___,那么这个_最__小__的__正__数__就称为它的最小正周期.

【即时应用】 (1)已知函数f(x),对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x),且x∈(0,2) 时,f(x)=2 012x2,则f(2 013)=________. (2)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-f(x),则f(x)的 最小正周期为________.

【解析】(1)∵f(x+4)=f(x), ∴f(x)的最小正周期为4, ∴f(2 013)=f(503×4+1)=f(1)=2 012×12=2 012. (2)∵f(x+1)=-f(x), ∴f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x). ∴最小正周期为2. 答案:(1)2 012 (2)2

判定函数的奇偶性 【方法点睛】判定函数的奇偶性的常用方法及思路 (1)符号定义法:

确定定义域

定义域 关于原点对称

否 既不是奇函数 也不是偶函数

是 计算f(-x)

确定f(x)与f(-x)的关系

结论

(2)图像定义法:

f(x) 的图像

关于原点对称 关于y轴对称

f(x)为奇函数 f(x)为偶函数

(3)性质法:用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇 偶性

奇函数与奇函数 奇函数与偶函数



奇函数



奇函数



偶函数

奇函数



偶函数

奇函数

偶函数与偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数

【提醒】“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才 成立的.

【例1】判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=x3-x;

(2)f(x)=(x+1) 1? x ;
1? x

(3)

f

(x)

?

??x2 ? x, x

? ???x

2

?

x,

?0 x?

. 0

【解题指南】由奇偶性的符号定义,先看函数的定义域是否关

于原点对称,再计算f(-x),并判断其与f(x)的关系,从而得

出函数的奇偶性.

【规范解答】(1)显然函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 又∵f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.

(2)使f(x)=(x+1) 1? x 有意义,则有 1? x ≥0且1+x≠0,解得

1? x

1? x

函数的定义域为(-1,1],不关于原点对称,因此函数f(x)既不

是奇函数,也不是偶函数.

(3)显然函数f(x)的定义域为:(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点 对称, ∵当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x =-x2-x=-f(x); 当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x =x2-x=-f(x); 综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立, ∴函数f(x)为奇函数.

【反思·感悟】利用符号定义法判断函数奇偶性时,先求定义 域,当解析式较复杂时,要在定义域内先化简,再计算f(-x), 否则可能得到错误结论.

应用函数奇偶性 【方法点睛】
应用函数奇偶性可解决的问题及方法 (1)已知函数的奇偶性,求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,利用已知区间上 的解析式,再利用奇偶性求出,或利用奇偶性构造关于f(x)的 方程(组),从而得到f(x)的解析式.

(3)求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法:利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数 的恒等式,由系数的对等性得参数的方程求解. (4)应用奇偶性画图像和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的 单调性.

【例2】(1)(2011·安徽高考)设f(x)是定义在R上的奇函数,

当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( )

(A)-3

(B)-1

(C)1

(D)3

(2)(2011·辽宁高考)若函数 f (x) ?

x

为奇函数,则

(2x ?1)(x ? a)

a=( )

(A) 1 2

(B) 2 3

(C) 3

(D)1

4

(3)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x

? 2 )<f( 2 )的x的取值范围是( ) (A)(-∞,0) (B)(0, 2 ) (C)(0,2 2 )

(D)( 2 ,+∞)

【解题指南】解答本题需利用函数的奇偶性: (1)将求f(1)的值转化为求f(-1)的值的问题求解; (2)由题意可知f(-x)+f(x)=0,从而得到关于x的恒等式,再构 建a的方程求解; (3)得到f(2x- 2 )=f(|2x- 2|),将原不等式转化为f(|2x-
2|)<f( 2 ),从而求解.

【规范解答】(1)选A.由奇函数的定义得f(-x)=-f(x),所以

f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2+1]=-3.

(2)选A.∵函数f(x)为奇函数,∴f(x)+f(-x)=0恒成立,即

x

?

?x

? 0 恒成立.可化为(2x+1)(x-a)=

(2x ?1)(x ? a) (?2x ?1)(?x ? a)

(2x-1)(x+a)恒成立.整理得2(1-2a)x=0恒成立,则必有1-2a=0,

∴a= 1 .
2

(3)选B.∵f(x)为偶函数,∴f(2x- 2 )=f(|2x- 2|), 又f(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴由f(|2x- 2|)<f( 2 )得:|2x- 2|< 2 , 解得:0<x< 2 .

【反思·感悟】利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、 求解析式、作图像、判定单调性问题转化为已知区间上的函数 值、解析式、图像、单调性问题求解,充分体现了数学的转化 与化归思想.

函数周期性的应用
【方法点睛】关于函数周期性的几个常用结论
(1)若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有:
①f(x+a)=-f(x),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个
周期; ②f(x+a)= 1 ,则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周
f (x)
期; ③f(x+a)= ? 1 ,则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个
f (x)
周期;

(2)如果T是函数y=f(x)的周期,则 ①kT(k∈Z,k≠0)也是函数y=f(x)的周期,即f(x+kT)=f(x); ②若已知区间[m,n](m<n)上的图像,则可画出区间 [m+kT,n+kT](k∈Z,k≠0)上的图像.

【例3】(2011·新课标全国卷改编)已知函数f(x)对任意的实 数x满足:f(x+1)= ? 1 ,且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2.
f (x)
(1)求f(2 012);
(2)确定函数y=f(x)的图像与函数y=|lgx|的图像的交点个数.

【解题指南】解答(1)题需先由f(x+1)= ? 1 探究出函数f(x)
f (x)
的周期,进而利用周期性,求f(2 012),(2)作出y=f(x)及
y=|lgx|的图像,从而使问题得解.

【规范解答】(1)∵对任意x∈R,

都有f(x+1)= ? 1 ,
f (x)
∴f(x+2)=f((x+1)+1)= ? 1
f (x ?1)

?? ?

1 1

? f (x).

f (x)

∴f(x)是以2为周期的函数,

∴f(2 012)=f(2×1 006+0)=f(0)=02=0.

(2)根据f(x)的周期性及f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如 下
可验证当x=10时,y=|lg10|=1; x>10时,|lgx|>1,因此结合图像及数据特点y=f(x)与y=|lgx| 的图像交点共有10个.

【反思·感悟】已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解 析式或图像,则可求在其他区间上的函数值、解析式或画出其 他区间上的图像,关键是用好其周期性进行转化.

【创新探究】创新应用函数的奇偶性与周期性

【典例】(2011·福建高考)对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中,

a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出

的正确结果一定不可能是( )

(A)4和6

(B)3和1

(C)2和4

(D)1和2

【解题指南】解答本题需根据函数f(x)解析式的结构特征,构 造奇函数g(x)=f(x)-c,然后利用奇函数的性质,g(-1)+g(1)=0, 探究出f(-1)+f(1)与c的关系,从而由c∈Z限定f(1)与f(-1)不 可能的取值.

【规范解答】选D.令g(x)=f(x)-c=asinx+bx, ∵g(-x)=asin(-x)+b(-x)=-(asinx+bx)=-g(x), ∴g(x)为定义在R上的奇函数. 则由奇函数的性质,得:g(-1)+g(1)=0,即f(-1)+f(1)-2c=0. ∴f(-1)+f(1)=2c, 又c∈Z,∴f(1)+f(-1)是偶数, 而选项中只有D中两数和为奇数,故选D.

【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究,可以得到以下创新点 拨及备考建议:
本题有以下创新点: (1)命题方式创新:题目虽为选择题,但并不是直接考查 创 而是以间接否定的形式考查. 新 (2)考查内容创新:本题通过所给函数的解析式及所求函 点 数值,间接考查函数奇偶性的确定与应用,较好地考查 拨 了学生的创新应用意识、探究能力和逻辑推理能力,是 考查函数奇偶性与周期性的一个新的亮点.

从该题的解答过程来看,我们在备考函数奇偶性与周期 性时还应注意以下问题: 备 (1)熟练掌握函数奇偶性、周期性的有关概念及确定与应 考 用的方法. 建 (2)平时学习时在所给的解析式或函数关系中,要能从其 议 结构特征探究、发现其隐含的奇偶性、周期性,从而利 用奇偶性、周期性将问题解决.

1.(2011·山东高考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数, 且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图像在区间[0,6] 上与x轴的交点个数为( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9

【解析】选B.令f(x)=x3-x=0, 即x(x+1)(x-1)=0,所以x=0,1,-1, 因为0≤x<2,所以此时函数的零点有两个,即与x轴的交点个数 为2. 因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数, 所以2≤x<4,4≤x<6上也分别有两个零点, 由f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,知f(6)也是函数的零点, 所以函数y=f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.

2.(2012·合肥模拟)已知定义在R上的偶函数f(x),满足f(4+x) =-f(-x),且当x∈[2,4)时,f(x)=log2(x-1),则f(2 010)+ f(2 011)的值为( ) (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2

【解析】选C.∵f(x)为偶函数,∴f(4+x)=-f(x). f(x+8)=f((x+4)+4)=-f(4+x)=-[-f(x)]=f(x), ∴f(x)为以8为周期的周期函数, ∴f(2 010)=f(251×8+2)=f(2), f(2 011)=f(251×8+3)=f(3), ∴f(2 010)+f(2 011)=f(2)+f(3)=log2(2-1)+log2(3-1)=1.

3.(2011·湖南高考)已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2) =3,则f(2)=_________. 【解析】因为f(x)=g(x)-9是奇函数,所以f(-x)=-f(x), ∴g(-x)-9=-[g(x)-9], ∴g(-2)-9=-[g(2)-9], ∵g(-2)=3,∴g(2)=15, 所以f(2)=g(2)-9=6. 答案:6

4.(2011· 浙江高考)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=_______. 【解析】方法一:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), 即x2-|x+a|=(-x)2-|-x+a|?|x+a|=|x-a|恒成立,∴a=0. 方法二:函数y=x2为偶函数,函数y=|x+a|是由偶函数y=|x|向 左或向右平移了|a|个单位,要使整个函数为偶函数,则需a=0. 答案:0

5.(2012·南昌模拟)设函数f(x)是定义在R上以3为周期的奇函 数,若f(1)>1, f (2) ? 2a ? 3,则a的取值范围是______.
a ?1

【解析】∵f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数,

∴f(2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1).

又f (2) ? 2a ? 3 ,??f (1) ? 2a ? 3,

a ?1

a ?1

即f (1) ? ? 2a ? 3 ,而f (1) ? 1, a ?1

?? 2a ? 3 ? 1,整理得(3a-2)(a ?1) ? 0, a ?1

解得 ?1 ? a ? 2 . 3
答案:(-1,2 )
3