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江苏省2017届高考数学模拟试卷(九)


江苏省 2017 届高考数学模拟试卷(九) 数学试题 一、填空题:(共 14 题,总分 70 分) 1.已知集合 A ? {x x ? 0} , B ? {?1,,, 0 1 2} ,则 A ? B 等于 2.已知虚数 z 满足 2 z ? z ? 1 ? 6i ,则 | z | ? ▲ . ▲ . 2016.5.20

3.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为 400,右图为检测结果的 频率分布直方图.根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区间 [20,25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品.则样本中三等品的件数为
频率 组距

▲ .

0.0625 0.0500 0.0375 0.0250 0.0125

10 15 20 25 30 35 40 长度/毫米 (第 3 题)

2 y2 ? 1 ”是“双曲线 C 的渐近线 4.在平面直角坐标系 xOy 中, “双曲线 C 的标准方程为 x ? 16 9

方程为 y ? ? 3 x ”成立的 4 分非必要”中的一种)



条件.(填“充要” 、 “充分非必要” 、 “必要非充分” 、 “非充

5. 下图是一个算法流程图,则输出的 x 的值是 ▲ 。

1

? 2 x ? y ? 0, ? 6 . 如 果 实 数 x, y 满 足 线 性 约 束 条 件 ? x ? 3 y ? 5 ? 0 , 则 z ? x ? y ? 2 的 最 小 值 等 于 ? y ? 1, ?
▲ .

7. 为强化安全意识,某校拟在周一至周五的五天中随机选择 2 天进行紧急疏散演练,则选 择的 2 天恰好为连续 2 天的概率是 ▲ .

8. 设 a , b , c 为三条不同的直线,给出如下两个命题: ①若 a // b , b ? c ,则 a ? c ;②若 a ? b , b ? c ,则 a // c . 试类比以上某个命题, 写出一个正确的命题: 设 ? ,? ,? 为三个不同的平面, ▲ . 9..若数列 {a n } 满足

an ? 2 an ?1 ,则称数列 {a n } 为等比和数列,k 称为公比 ? ? k ( k 为常数) an ?1 an

和 . 已 知 数 列 {a n } 是 以 3 为 公 比 和 的 等 比 和 数 列 , 其 中 a1 ? 1, a 2 ? 2 , 则 a 2015 ? ▲ .

10.函数 f ( x) ? 2sin(? x) ?

1 , x ? [ ?2, 4] 的所有零点之和为 1? x





11.已知 tan(? ? ? ) ? 1 , tan(? ? ? ) ? 2 ,则 sin 2? 的值为 ▲ . cos 2 ? 12.如果将直线 l : x ? 2 y ? c ? 0 向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得直线 l ? 与 圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 相切,则实数 c 的值构成的集合为 ▲ .
???? ??? ? 13.已知点 O 为△ ABC 的重心,且 OA ? OB , AB ? 6 ,则 AC ? BC 的值为 ▲ .

14.若幂函数 f ( x) ? x a (a ? R )及其导函数 f ?( x) 在区间(0, ?? )上的单调性一致(同为增函 数或同为减函数),则实数 a 的取值范围是 ▲ . 二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分 14 分) b 2 3 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = ,A+3C=π . c 3 (1) 求 cosC 的值; (2) 求 sinB 的值; (3) 若 b=3 3,求△ABC 的面积.

2

16. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 AA1C1C 为矩形,四边形 CC1B1B 为菱形,且平面 CC1B1B⊥平面 AA1C1C,D、E 分别为 A1B1、C1C 的中点.求证: (1) BC1⊥平面 AB1C; (2) DE∥平面 AB1C.

17.(本小题满分 14 分) 如图,某水域的两直线型岸边 l1,l2 成定角 120 ,在该水域中位于该角角平分线上且与顶 点 A 相距 1 公里的 D 处有一固定桩. 现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网 BC (B,
o

C 分别在 l1 和 l2 上) ,围出三角形 ABC 养殖区,且 AB 和 AC 都不超过 5 公里.设 AB=x 公里, AC=y 公里.
(1)将 y 表示成 x 的函数,并求其定义域; (2)该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区?

18. (本题满分 16 分) 定义: 如果一个菱形的四个顶点均在一个椭圆上, 那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形, 且该菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 x ? y 2 ? 1 的所有内接菱形构成的集合为 F . 4 (1)求 F 中菱形的最小的面积;
3
2

(2)是否存在定圆与 F 中的菱形都相切?若存在,求出定圆的方程;若不存在,说明理由; (3)当菱形的一边经过椭圆的右焦点时,求这条边所在的直线的方程. y

B

A

O
C

x

D

19. (本题满分 16 分) 设函数 f ( x ) , g ( x ) 的定义域均为 R ,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x ) 是偶函数, f ( x ) ? g ( x )

? e x,其中 e 为自然对数的底数.
(1)求 f ( x ) , g ( x ) 的表达式; (2)设 a≤0 , b≥1 , x ? 0 ,证明: ag ( x ) ? (1 ? a ) ?

f ( x) ? bg ( x ) ? (1 ? b) . x

20. 己知数列 ?a n ? 是公差不为零的等差数列,数列 ?bn ? 是等比数列. (1)若 cn ? ? an ?1 ? an ? bn (n∈N*) ,求证: ?cn ? 为等比数列; (2)设 cn ? an bn (n∈N*) ,其中 a n 是公差为 2 的整数项数列, bn ? ?

? 12 ? ? ,若 ? 13 ?

n

c5 ? 2c 4 ? 4c3 ? 8c 2 ? 16c1 ,且当 n ? 17 时,?c n ? 是递减数列,求数列 ?an ? 的通项公式;
(3) 若数列 ?c n ?使得 ?

? a n bn ? a ? cn 数列 ?d n ?的前 n 项和为 n , 且数列 ?d n ?满 ? 是等比数列, c c n n ? ?
1 ? d n ? M 恒成 M

足:对任意 n ? 2 , n ? N*,或者 d n ? 0 恒成立或者存在正常数 M ,使 立,求证:数列 ?c n ?为等差数列.

附加题

4

?3 1. (本小题满分10分)已知矩阵 A ? ? 2 ? ?2
(1)求 A ; (2)满足AX= A 二阶矩阵X
?1 ?1

1? 2? ? 1?

2. (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
? x ? a cos ? ,且曲线 C 上的点 M (2, 3) 对应的参数 ? ? π ,以 O 为极点, (a ? b ? 0, ? 为参数) ? 3 y ? b sin ? ?

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 C 的普通方程; (2)若 A( ?1 ,? ),B( ? 2 ,? ? π ) 是曲线 C 上的两点,求 12 ? 12 的值. 2 ?1 ? 2

3、(本小题满分 10 分)某公司有 10 万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析 1 知道: 一年后可能获利 10%, 可能损失 10%, 可能不赔不赚, 这三种情况发生的概率分别为 , 2 1 1 , ;如果投资乙项目,一年后可能获利 20%,也可能损失 20%,这两种情况发生的概率分 4 4 别为α 和β (α +β =1). (1) 如果把 10 万元投资甲项目,用 X 表示投资收益(收益=回收资金-投资资金),求 X 的

5

概率分布列及数学期望 E(X); (2) 若 10 万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益, 求α 的取值范围.

4. (本小题满分 10 分) 设 i 为虚数单位, n 为正整数. (1)证明: (cos x ? i sin x) n ? cos nx ? i sin nx ; (2)结合等式“ ?1 ? (cos x ? i sin x) ? ? ? (1 ? cos x) ? i sin x ? ”证明:
n n

2 n n n x 1 ? C1 cos nx . n cos x ? C n cos 2 x ? ? ? ? ? C n cos nx ? 2 cos 2 2

6

江苏省 2017 届高考数学模拟试卷(九) 参考答案 一、填空题:(共 14 题,总分 70 分) 1.已知集合 1. 2.已知虚数 满足 2. 3. 对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为 400,右图为检测结果 的频率分布直方图.根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区 间[20, 25)和[30, 35)的为二等品, 其余均为三等品. 则样本中三等品的件数为 ▲ 3. 【答案】100 . ,则 ▲ . , ,则 等于 ▲ .

4.在平面直角坐标系 xOy 中, “双曲线 方程为 ”成立的 ▲

的标准方程为

”是“双曲线

的渐近线

条件.(填“充要” 、 “充分非必要” 、 “必要非充分” 、 “非充

分非必要”中的一种) 4.【答案】充分非必要 5. 下图是一个算法流程图,则输出的 的值是

7

5.59

6.如果实数 于 6.

满足线性约束条件 .

,则

的最小值等

7. 为强化安全意识,某校拟在周一至周五的五天中随机选择 2 天进行紧急疏散演练,则选 择的 2 天恰好为连续 2 天的概率是 7. 8. 设 , , 为三条不同的直线,给出如下两个命题: ①若 , ,则 ;②若 , ,则 . .

试类比以上某个命题, 写出一个正确的命题: 设 8.若 , ,则

, , 为三个不同的平面, ▲ .

9..若数列 和.已知数列 9.

满足

( 为常数) ,则称数列

为等比和数列,k 称为公比 ,则 .

是以 3 为公比和的等比和数列,其中

10.函数
8

的所有零点之和为



10. 答 案 : 8

方程即

,令



, 这两个函数的图象都关于点 共有 8 个零点,从左往右记为 故所有零点和为 8. 11.已知 , ,则 的值为 ▲ . ,则

对称, 在区间

内 ,

11.【解析】

. 12.如果将直线 : 圆 : 向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得直线 与 相切,则实数 的值构成的集合为 ▲ . , 即 , 圆 : 的

12.易得直线 :

圆心

到直线 : 为△ 的重心,且

的距离 ,

,解得 ,则





13.如图,点

的值为 ▲ .

13.以 AB 的中点 M 为坐标原点,AB 为 x 轴建立 平面直角坐标系,则 , , 设 ,则 , 因为 OA

OB,

所以 化简得, 所以 14.若幂函数

,从而 ,



. (a )及其导函数 在区间(0, )上的单调性一致(同为增函

数或同为减函数),则实数 a 的取值范围是 ▲ . 14. 【答案】

9

【解析】 易得 时, , ;当 时,

, ;当 时, ,

, 当 ,

时, ;当

, 时, .

; 当 ,

,综上得,

二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分 14 分) b 3 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知c=3,A+3C=π . (1) 求 cosC 的值; (2) 求 sinB 的值; (3) 若 b=3,求△ABC 的面积. 15. 解:(1) 因为 A+B+C=π ,A+3C=π ,所以 B=2C.(2 分) b c b sinB 3 2sinCcosC 3 又由正弦定理,得sinB=sinC,c=sinC,3= sinC ,化简,得 cosC=3.(5 分) 1 6 (2) 因为 C∈(0,π ),所以 sinC==3=3. 6 3 2 所以 sinB=sin2C=2sinCcosC=2×3×3=3.(8 分) 1 1 2 (3) 因为 B=2C,所以 cosB=cos2C=2cos C-1=2×3-1=-3.(10 分) 因为 A+B+C=π , 2 3 1 6 6 所以 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=3×3+3×3=9.(12 分) b 3 9 因为c=3,b=3,所以 c=2. 1 1 9 6 2 所以△ABC 的面积 S=2bcsinA=2×3×2×9=4.(14 分) 16. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 AA1C1C 为矩形,四边形 CC1B1B 为菱形,且平面 CC1B1B⊥平面 AA1C1C,D、E 分别为 A1B1、C1C 的中点.求证: (1) BC1⊥平面 AB1C; (2) DE∥平面 AB1C.

10

16. 证明:(1) ∵ 四边形 AA1C1C 为矩形,∴ AC⊥C1C.(1 分) 又平面 CC1B1B⊥平面 AA1C1C,平面 CC1B1B∩平面 AA1C1C=CC1, ∴ AC⊥平面 CC1B1B.(3 分) ∵ C1B 平面 CC1B1B, ∴ AC⊥C1B.(4 分)

又四边形 CC1B1B 为菱形,∴ B1C⊥BC1.(5 分) ∵ B1C∩AC=C,AC 平面 AB1C, B1C 平面 AB1C,∴ BC1⊥平面 AB1C.(7 分)

(2) 取 AA1 的中点 F,连结 DF,EF. ∵ 四边形 AA1C1C 为矩形,E,F 分别为 C1C,AA1 的中点,∴ EF∥AC. 又 EF ?平面 AB1C,AC 平面 AB1C,∴ EF∥平面 AB1C.(9 分)

∵ D,F 分别为边 A1B1,AA1 的中点,∴ DF∥AB1. 又 DF 平面 AB1C,AB1 平面 AB1C,∴ DF∥平面 AB1C. 平面 DEF,

∵ EF∩DF=F,EF

平面 DEF,DF

∴ 平面 DEF∥平面 AB1C.(12 分) ∵ DE 平面 DEF, ∴ DE∥平面 AB1C.(14 分)

17.(本小题满分 14 分) 如图,某水域的两直线型岸边 l1,l2 成定角 120 ,在该水域中位于该角角平分线上且与顶 点 A 相距 1 公里的 D 处有一固定桩. 现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网 BC (B,
o

C 分别在 l1 和 l2 上) ,围出三角形 ABC 养殖区,且 AB 和 AC 都不超过 5 公里.设 AB=x 公里, AC=y 公里.
(1)将 y 表示成 x 的函数,并求其定义域; (2)该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区?

11

试题解析:解:(1)由 SΔ ABD+SΔ ACD=SΔ ABC 得

xsin60?+

ysin60?=

xysin120?

????? 2 分

所以 x+y=xy,所以 y=

????? 4 分

又 0<y≤5,0<x≤5,所以

≤x≤5

所以定义域为{x|

≤x≤5}

?????? 6 分

18. (本题满分 16 分) 定义: 如果一个菱形的四个顶点均在一个椭圆上, 那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形, 且该菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心.

12

如图,在平面直角坐标系 的所有内接菱形构成的集合为 (1)求 中菱形的最小的面积; 中的菱形都相切?若存在, .

中,设椭圆

(2)是否存在定圆与

求出定圆的方程;若不存在,说明理由; (3)当菱形的一边经过椭圆的右焦点时,求这条 边所在的直线的方程. 18.解: (1)如图,设 当菱形 当菱形 则直线 又椭圆 由①②得, , , ; 的方程为: ,①

的对角线在坐标轴上时,其面积为 的对角线不在坐标轴上时,设直线 的方程为: , , , ,



从而



同理可得,

, (3 分)

所以菱形

的面积为

13

(当且仅当

时等号成立),

综上得,菱形 (2)存在定圆 下证: ,

的最小面积为 与

; (6 分)

中菱形的都相切,设原点到菱形任一边的距离为 ,

证明:由(1)知,当菱形

的对角线在坐标轴上时,



当菱形

的对角线不在坐标轴上时,

,即得 综上,存在定圆 (3)设直线 的方程为 与 ,即 中的菱形都相切; (12 分) ,



则点 解得 所以直线

到直线 , 的方程为

的距离为



. (16 分)

19. (本题满分 16 分) 设函数 , 的定义域均为 ,且 是奇函数, 是偶函数,

其中 为自然对数的底数. (1)求 (2)设 解: (1)由 , , 的表达式; , ,证明: 得, , .

14

因为 所以 从而 (2)当 所以

是奇函数, , , 时, ,

是偶函数,

(4 分) , .(6 分) , ,(8 分) , ,

由(1)得, 当 时,

设函数 则 若 所以 若 所以 综上知, 20. 己知数列 (1)若 , ,则 , , ,则 , ,故 ,故

,(10 分) ,(12 分) 为 上增函数,



上减函数,

.(16 分) 是等比数列.

是公差不为零的等差数列,数列 (n∈N*) ,求证:

为等比数列;

(2)设

(n∈N*) ,其中 ,且当

是公差为 2 的整数项数列, 时, 是递减数列,求数列

,若 的通项公式;

(3) 若数列

使得

是等比数列, 数列

的前 项和为

, 且数列



足:对任意



N*,或者

恒成立或者存在正常数
15

,使

恒成

立,求证:数列 (1)证明:

为等差数列. ,设 公差为 且 , 公比为 ,

=常数, 为等比数列???3 分 (2)由题意得: 对 恒成立且 对 恒成立,?5 分



恒成立

?? ??7 分









???? ??9 分

而 或 或 . ???? ??10 分

(3)证明:设

不妨设



, . 若 ,满足 ,



???? ??13 分

16



,则对任给正数 M,则 取

内的正整数时,

,与

矛盾.



,则对任给正数 T=

,则



内的正整数时

= ,

,与 而

矛盾. 是等差数列,设公差为 ,

为定值, 附加题答案

为等差数列.

???? ??16 分

1.已知矩阵 (1)求 ; 二阶矩阵X

(2)满足AX=

1.解:(1)

???4 分

(2)

???10 分

2.在平面直角坐标系 曲线 上的点

中,曲线 对应的参数

的参数方程为

为参数) ,且

, 以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线

的普通方程;

(2)若

是曲线

上的两点,求

的值.

17

(1)

(2)

3、某公司有 10 万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析知道:一年后可能获利 1 1 1 10%,可能损失 10%,可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分别为2,4,4;如果投资乙项 目,一年后可能获利 20%,也可能损失 20%,这两种情况发生的概率分别为 α 和 β (α +β =1). (1) 如果把 10 万元投资甲项目,用 X 表示投资收益(收益=回收资金-投资资金),求 X 的 概率分布列及数学期望 E(X); (2) 若 10 万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益, 求 α 的取值范围. 3. 解:(1) 依题意,X 的可能取值为 1,0,-1,(2 分) X 的分布列为 X P 1 1 2 0 1 4 -1 1 4

(4 分) 1 1 1 E(X)=1×2-1×4=4.(5 分) (2) 设 Y 表示 10 万元投资乙项目的收益,则 Y 的分布列为 Y P 2 α -2 β

(8 分)

1 9 E(Y)=2α -2β =4α -2,依题意要求 4α -2≥4,∴ 16≤α ≤1.(10 分) 23. (本小题满分 10 分) 设 为虚数单位, 为正整数. (1)证明:
18



(2)结合等式“

”证明: .

证明: (1)①当 ②假设当 则当

时, 时, 时,

,即证; 成立,

, 故命题对 由①②得, ( 2 ) 由 ( 时也成立, ; (5 分) 1 ) 知 ,

, 其实部为 ;

, 其实部为 ,

根据两个复数相等,其实部也相等可得: . (10 分)

19


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