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高中数学必修5(北师版)第一章数列1.5(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

高中数学必修5(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 数列 1.5 求数列的通项公式 (补充)

一、知识清单
前n项和与通项的关系 待定系数法 观察法 辅助数列法 累加(乘)法

二、知识讲解
1.前n项和与通项的关系 描述: 通项 an 与 S n 的关系 通项 an 与 S n 的关系为:

an = { S 1 , S n ? S n?1 ,

n = 1, n ? 2.

例题: 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n : (1)若 S n = n2 ? n ,求 an ; (2)若 S n = 3 n ? 2 ,求 an . 解:(1)当 n = 1 时,a1 = S 1 = 0 ;当 n ? 2 时,

S n?1 = (n ? 1)2 ? (n ? 1),
所以

an = S n ? S n?1 = n2 ? n ? [(n ? 1)2 ? (n ? 1)] = 2n ? 2 (n ? 2).
又 a1 = 0 也适合上式,故

an = 2n ? 2(n ∈ N + ).
(2)当 n = 1 时,a1 = S 1 = 1 ;当 n ? 2 时,

S n?1 = 3 n?1 ? 2,
所以

an = S n ? S n?1 = 3 n ? 2 ? (3 n?1 ? 2) = 2 × 3 n?1 .
又 a1 = 1 不适合上式,故

an = {

1, 2 × 3 n?1 , 1

n = 1, n ? 2.

已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 3S n = an + 1 ,求通项公式 an .

{

n}

解:当 n = 1 时,3S 1 = a1 + 1,即 a1 =

1 ;当 n ≥ 2 时, 2 ? ①, ? ②,

{ 3S n = a n + 1 3S n?1 = an?1 + 1
两式相减,得

3an = an ? an?1 ,
所以

1 an =? . 2 an?1
即数列 {an } 为等比数列,首项为 a1 =

1 1 ,公比为 q = ? ,所以 2 2

an =

1 1 n?1 1 n × (? ) = ?(? ) . 2 2 2

2.观察法 描述: 观察法
观察法就是写出数列前面若干项进行观察,横向看各项之间的关系,纵向看各项与序数的联系,

寻找共同的构成规律,找出各项与项的序号 n 的函数关系,从而归纳出数列的通项公式的方 法,这样得到的数列的通项公式严格上来说需要进行证明. 例题: 根据数列的前几项,写出下面数列的一个通项公式: (1)

1 4 9 16 , , , ,?; 2 5 10 17 (2)1, 0, 1, 0, 1, ? ; 3 1 5 1 7 (3)1, , , , , , ? . 2 3 4 5 6 解:(1)观察发现数列的分子1, 4, 9, 16, ?符合 n2 ,而分母比分子大1 ,故通项公式 n2 . an = 2 n +1 1 + (?1)n+1 (2)通项公式可写成 an = .  2 ? ?1, n为奇数, (3)通项公式可写成 an = ? n ? ? n + 1 , n为偶数. n
已知数列 {an } 中,a1 = 1 ,an+1 =

{an } 的通项公式.
解:因为 an+1 =

2an (n ∈ N + ) ,写出数列的前五项,并猜想数列 an + 2 a3 = 2a2 1 = 2 a2 + 2

2an 2a1 2 , 且 a1 = 1 ,所以 a2 = = , 3 an + 2 a1 + 2 2a3 2 2a4 1 , a4 = . = , a5 = = 5 3 a3 + 2 a4 + 2 2

3 2 故猜想数列 {an } 的通项公式为 an = . n+1

a3 + 2

5

a4 + 2

3.累加(乘)法 描述: 累加法 根据等差数列的定义得

a2 ? a1 = d , a3 ? a2 = d , a4 ? a3 = d , ? an ? an?1 = d(n ≥ 2),
以上各式两边分别相加,得 an ? a1 = (n ? 1)d ,所以 an = a1 + (n ? 1)d(n ≥ 2). 如果数列 {an } 满足 an ? an?1 = f (n)(n ≥ 2),则求数列 {an } 的通项公式可以用累加法. 累乘法 根据等比数列的定义得

a2 = q, a1 a3 = q, a2 a4 = q, a3 ? an = q(n ≥ 2). an?1 an = q n?1 ,所以 an = a1 q n?1 (n ≥ 2) . a1 如果数列 {an } 满足 an = an?1 ? f (n)(n ≥ 2),则求数列 {an } 的通项公式可以用累乘法.
以上各式两边分别相乘,得 例题: 已知数列 {an } 满足 an+1 = an + 2n + 1 ,a1 = 1 ,求数列{an }的通项公式. 解:因为 an+1 = an + 2n + 1 ,所以 an+1 ? an = 2n + 1 ,当 n ? 2 时,则

a2 ? a1 = 3, a3 ? a2 = 5, a4 ? a3 = 7, ? an ? an?1 = 2n ? 1.
将这 n ? 1 个式子等号两边分别相加,得

an ? a1 = 3 + 5 + 7 + ? + (2n ? 1) (n ? 1)(3 + 2n ? 1) = 2 = n2 ? 1,
又因为当 n = 1 时, a1 = 1 ,满足通项公式,所以

an = n2 . n+3

已知数列 {an } 中,a1 = 2 ,an+1 = an ? 解:因为 an+1 = an ?

an+1 n+3 ,所以 n+1 an

n+3 ,其中 n ∈ N + ,求通项公式 an . n+1 n+3 .当 n ? 2 时,则 = n+1 , , , , n+1 , n?1 n+2 . n

4 a2 = 2 a1 5 a3 = 3 a2 6 a4 = 4 a3 7 a5 = 5 a4 ? an?1 = an?2 an = an?1
将这 n ? 1 个式子等号两边分别相乘,得

(n + 1)(n + 2) an = , 2×3 a1
又因为 a1 = 2 ,所以

an =

(n + 1)(n + 2) . 3 (n + 1)(n + 2) . 3

当 n = 1 时,a1 = 2 满足通项公式,所以 an =

4.待定系数法 描述: 若数列的递推公式形如 an+1 = pan + q (p 、q 为常数),p ≠ 0. 1. 当 p = 1 时,数列 {an } 是公差为 q 的等差数列. 2. 当 q = 0 且 a1 ≠ 0 时 ,数列 {an } 为公比为 p 的等比数列. 3. 当 p ≠ 1 且 q ≠ 0 时,构造 an+1 + x = p(an + x),使得数列 {an + x} 是一个等比数 列.

an+1 + x = p(an + x) ? an+1 = pan + x(p ? 1)
再结合递推公式可得 x(p ? 1) = q,所以 x =

q 为首项,以 p 为公比的等比数列,所以 p?1 q q q q = (a1 + ) p n?1 ,所以 an = (a1 + )p n?1 ? an + p?1 p?1 p?1 p?1 a1 +
例题:

q q ,所以 {an + } 是一个以 p?1 p?1



已知数列 {an } 中,a1 = 1 ,an = 2an?1 + 1(n ? 2),求数列 {an } 的通项公式. 解:因为 an = 2an?1 + 1(n ? 2),设

an + x = 2(an?1 + x),



an = 2an?1 + x.
所以 x = 1,故

an + 1 = 2(an?1 + 1),


an + 1 = 2. an?1 + 1
所以数列 {an + 1} 为等比数列,首项 a1 + 1 = 2,公比 q = 2 .因此

an + 1 = 2 × 2 n?1 = 2 n ,
所以

an = 2 n ? 1(n ? 2).
当 n = 1 时,a1 = 1 满足通项公式,所以 an = 2 n ? 1 .

5.辅助数列法 描述: 通过观察数列递推公式的结构特征,并对它进行适当的变形,构造辅助数列,使问题转化为我们 熟悉的等差或等比数列. 例题: 已知数列 {an } 中,a1 = 1 ,an+1 = 解:因为 an+1 =

an ,等式两边同时取倒数,得 2an + 1 an+1 1 =

an ,求数列 {an } 的通项公式. 2an + 1 2an + 1 1 = + 2, an an

所以

an+1
故数列 {

1

?

1 = 2. an

1 1 } 为等差数列,首项 = 1 ,公差 d = 2.所以 an a1 1 = 1 + (n ? 1) × 2 = 2n ? 1, an

因此数列 {an } 的通项公式为

an =

1 . 2n ? 1

已知数列 {an } 中,a1 = 2 ,an+1 = 2an + 3 × 2 n ,求数列 {an } 的通项公式.
n+1

{ n} { n+1 = 2 n + 3 × n n +1 解:因为 an+1 = 2an + 3 × 2 ,等式两边同时除以 2 ,得 an+1 2
所以
n+1

n}

=

2an + 3 × 2 n 2
n+1

=

3 an + , n 2 2

an+1 2
故数列 {
n+1

?

3 an = . n 2 2

3 an a } 为等差数列,首项 1 = 1 ,公差 d = .所以 n 2 2 2 3 3n ? 1 an = 1 + (n ? 1) × = , n 2 2 2

因此数列 {an } 的通项公式为

an = (3n ? 1) ? 2 n?1 .

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