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安徽省宿州市2014届高三第一次教学质量检测数学(理)试题扫描版含答案

宿州市 2014 届高中毕业班第一次教学质量检测

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 C

C



C

B

C

D

D

C

C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分

? ? 11. x x ? ?1或 ?1 ? x ? 1

12.16

13. 3

14.11

15. ? 1 16

16.解:(1)在 ?ABC 中,由 S ? 3 bc cos A ? 1 bc sin A ,得 tan A ? 3

2

2

∵0? A??

∴ A ? ? ……………………………………………………………5 分 3

(2)由 a ? 3, A ? ? 及正弦定理得: 3

a ? c ? 3 ?2, sin A sin C 3
2

∴ c ? 2sin C ? 2sin(? ? A ? B) ? 2sin( 2? ? x) 3

∵A? ? 3

∴ 0 ? x ? 2? 3

∴ 0 ? 2? ? x ? 2?

3

3

∴ 0 ? sin( 2? ? x) ? 1, 0 ? 2sin( 2? ? x) ? 2 ,即 c ? (0, 2]

3

3

……………………………………12 分

17.(1)由题可知

f

(x)

?

??e?x ,?1 ?

? ??4

x

2

?

4x

x?0 ? 1,0 ?

x

?

1

由图可知,函数 f (x) 在 ??1,1?的单调递减区间为 (?1, 1 ],
2

在 ??1,1?递增区间为[1 ,1]
2

……………………………………6 分

考察数形结合思想

(2)当 k ? e 时, g?x? 有 1 个零点…………8 分

当1 ? k ? e 时, g?x? 有 2 个零点…………10 分

当 1 ? k ? 1时, g?x? 有 3 个零点…………12 分
3

当 0 ? k ? 1 时, g?x? 有 4 个零点………13 分
3

18. 解:(1)证明:连接 PC,交 DE 与 N,连接 MN,

. 在△ PAC 中,∵M,N 分别为两腰 PA,PC 的中点

∴MN∥AC,…(2 分)

又 AC ? 面 MDE,MN? 面 MDE,

所以 AC∥平面 MDE.

…………………………………(4 分)

(2)以 D 为空间坐标系的原点,分别以 DA,DC,DP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,

则 P(0,0, a),B(a,a,0),C(0,2a,0),

所以



,…(6 分)

设平面 PAD 的单位法向量为 ,则可取

……………………(7 分)

设面 PBC 的法向量



则有

即:

,取 z =1,





………………………………………………(10 分)

设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 θ,



………………………………………………………(11 分)

∴θ=60°,所以平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 60°…(12 分)

19.解:(1)由题意可知: PQ ? 2a ? 2 6 ,则 a ? 6 , c ? 2 ,从而 b2 ? a2 ? c2 ? 2 , max
故所求椭圆 E 的方程为 x2 ? y2 ? 1.……………………………………………………5 分 62
(2)解: M , F , Q 三点共线。

证明: AP ? (x1 ? 3, y1 ) , AQ ? (x2 ? 3, y2 ) 由已知得方程



?x1 ? 3 ? ? ? x2 ? 3?

? ?

y1

?

?

y2

? ?

x12

?

y12

?1

?6 2

注意到

?

?1

,解得

x2

?

5? ?1 2?

,因为

? ?

x22

?

y22

?1

?6 2

F ?2, 0?, M ? x1, ? y1 ? ,所以

FM

?

( x1

? 2,? y1 )

?

(? ( x2

? 3) ? 1,? y1 )

?

??1 ? ? ?2

,?

y1

?? ?

?

???? ? ?1, ? 2?

y

2

?? ?

,

又 FQ ? (x2 ? 2, y2 )

?

? ??

? ?1 2?

,

y2

? ??

,所以

FM

?

?? FQ ,从而三点共线。………………………………12



20、(1) x ? 0 时, f ?(x) ? ex ? cos x ? 1 ? cos x ? 0 ,所以函数 y ? f (x) 在[0,??) 上
单调递增;…………………………………………………………………………4 分
(2)因为 f ( x1 ) ? g( x2 ) ,所以 e x1 ? sin x1 ? x2 ? 2 ………………………………5 分 所以 P, Q 两点间的距离等于 x2 ? x1 ? e x1 ? sin x1 ? x1 ? 2 ,……………7 分 设 h(x) ? ex ? sin x ? x ? 2(x ? 0) ,则 h?(x) ? ex ? cos x ? 1(x ? 0) ,

记 l(x) ? h?(x) ? ex ? cos x ? 1(x ? 0) ,则 l?(x) ? ex ? sin x ? 1 ? sin x ? 0 ,

所以 h?( x) ? h?(0) ? 1 ? 0 ,……………………………………………………10 分

所以 h(x) 在 [0,??) 上单调递增,所以 h( x) ? h(0) ? 3 -…………………11 分

所以 x2 ? x1 ? 3 ,即 P, Q 两点间的最短距离等于 3.-……………………12 分

21. (本题满分 14 分)
解:(1)由条件,得1? Sm?n ? 2a2m (1? S2n ) ①

在①中,令 m ? 1,得1? Sn?1 ? 2a2 (1? S2n ) ②

令 m ? 2 ,得1? Sn?2 ? 2a4 (1? S2n ) ③

③/②得 1? Sn?2 ? 1? Sn?1
为 q 的等比数列。

? ? a4 , n ? N ? ,记
a2

? ? a4
a2

? q ,则数列?1? Sn?

n ? 2, n ? N ?

是公比

? ? ?1? Sn ? ?1? S2 ? qn?2, n ? 2, n ? N ? ④

n ? 3 时,?1? Sn?1 ? ?1? S2 ? qn?3 , ⑤

④-⑤,得 an ? ?1? S2 ? qn?3 ?q ?1?, (n ? 3, n ? N ?) ??? ,当 n≥3 时,{ an }是等比数列.

在 ① 中 , 令 m ? n ? 1 , 得 1? S2 ? 2a2 (1? S2 ) , 从 而 (1? S2 )2 ? 2a2 (1? S2 ) , 则

2a2 ? (1? S2 ) ,所以 a2 ? 1? a1 。

又因为 a1 ? 1,所以 a2 ? 2 。…………2 分

在①中,令 m ? 1, n ? 2 ,得1? S3 ? 2a2 (1? S4 ) ,则 (4 ? a3 )2 ? 4(4 ? a3 ? a4 ) ⑥

在①中,令 m ? 2, n ? 1 ,得1? S3 ? 2a4 (1? S2 ) ,则 (4 ? a3 )2 ? 8a4 ⑦

由⑥⑦解得: a3 ? 4, a4 ? 8 。………………………………………………………6 分

则 q ? 2 ,由

an ? ?1? ?S2 qn?3 ?q ?1?, (n ? 3, n ? N ?) 得 an ? 4? 2n?3 ?2 ?1? ? 2n?1, (n ? 3, n ? N ?)
又 a1 ? 1, a2 ? 2 也适应上式,所以 an ? 2n?1 (n ? N * ) .……………………8 分 (2)在①中,令 m ? 2, n ? 2 ,得1? S4 ? 2a4 (1? S4 ) ,则1? S4 ? 2a4 ,所以1? S3 ? a4 ; 在①中,令 m ? 1, n ? 2 ,得 1? S3 ? 2a2 (1? S4 ) ,则 1? S3 ? 2a2 (1? S3 ? a4 ) ,所以
a4 ? 2a2 ? 2a4 ,则 a4 ? 4a2 , q ? 2 ;代入 ??? 式,得 an ? ?1? ?S2 2n?3, (n ? 3, n ? N ?)
………………………………………………………12 分
由条件 a4 ? a2 (a1 ? a2 ? 1), 得

a1 ? a2 ? 1 ? 4, 又因 a2 ? 1 ? a1 ,所以 a1 ? 1, a2 ? 2
故 an ? 4 ? 2n?3 ? 2n?1, (n ? 3, n ? N ? ) , 因为 a1 ? 1, a2 ? 2 也适应上式,所以 an ? 2n?1, (n ? N ? ) 。
所以数列?an? 是等比数列.………………………………………………………………14 分