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高三一轮复习·综合复习·导数的综合应用(一)


导数的综合应用(一)
一.解答题(共 30 小题) * 1.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=nan﹣3n(n﹣1) (n∈N ) ,且 a2=11. (1)证明数列{an}是等差数列,并求其前 n 项和 Sn; (2)设数列{bn}满足 bn= ,求证:b1+b2+…+bn< .

2. 已知等差数列{an}满足 a3+a4=9, a2+a6=10; 又数列{bn}满足 nb1( + n﹣1) b2+…+2bn﹣1+bn=Sn, 其中 Sn 是首项为 1,公比为 的等比数列的前 n 项和. (1)求 an 的表达式; (2)若 cn=﹣anbn,试问数列{cn}中是否存在整数 k,使得对任意的正整数 n 都有 cn≤ck 成 立?并证明你的结论. 3.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2 . (1)证明:数列{ }是等差数列,并求出{an}的通项公式;
n

(2)若 cn=n?an,bn=

的前 n 项和为 Sn,求证: ≤Sn<1. ,a≠0,f(1)=1,使 f(x)=2x 成立的实

4.已知函数 f(x) (x∈R)满足 f(x)= 数 x 只有一个. (Ⅰ)求函数 f(x)的表达式; (Ⅱ)若数列{an}满足 a1= ,an+1=f(an)bn=

﹣1,n∈N ,证明数列{bn}是等比数列,

+

并求出{bn}的通项公式; (Ⅲ)在(2)的条件下,证明:a1b1+a2b2+…+anbn<1. 2 5.设 f(x)=xlnx﹣ax +(2a﹣1)x,a∈R. (Ⅰ)令 g(x)=f′(x) ,求 g(x)的单调区间; (Ⅱ)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值,求实数 a 的取值范围. 3 6.设函数 f(x)=(x﹣1) ﹣ax﹣b,x∈R,其中 a,b∈R. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0) ,其中 x1≠x0,求证:x1+2x0=3; (3)设 a>0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于 . 7.设函数 f(x)=lnx﹣x+1. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)证明当 x∈(1,+∞)时,1< <x;
x

(3)设 c>1,证明当 x∈(0,1)时,1+(c﹣1)x>c .

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8.设函数 f(x)=ax ﹣a﹣lnx,g(x)= ﹣

2

,其中 a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)证明:当 x>1 时,g(x)>0; (Ⅲ)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立. x 2 9.已知函数 f(x)=(x﹣2)e +a(x﹣1) . (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围. 10.设函数 f(x)=xe +bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y=(e﹣1) x+4, (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间. 11.设函数 f(x)=e +x ﹣mx. (1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (2)若对于任意 x1,x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求 m 的取值范围. 2 2 12.已知函数 f(x)=﹣2(x+a)lnx+x ﹣2ax﹣2a +a,其中 a>0. (Ⅰ)设 g(x)是 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; (Ⅱ)证明:存在 a∈(0,1) ,使得 f(x)≥0 在区间(1,+∞)内恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+∞)内有唯一解. 2 13.设 f(x)=a(x﹣5) +6lnx,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与 y 轴相交于点(0,6) . (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 2 14.设函数 f(x)=x +aln(x+1) (a 为常数) (Ⅰ)若函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 y=f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2,求证: 15.已知函数 f(x)= +alnx(a≠0,a∈R) (Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)的极值和单调区间; (Ⅱ)若在区间[1,e]上至少存在一点 x0,使得 f(x0)<0 成立,求实数 a 的取值范围. 16.已知函数 f(x)=lnx﹣ . (Ⅰ)若 a>0,试判断 f(x)在定义域内的单调性; (Ⅱ)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求实数 a 的值; (Ⅲ)若 f(x)<x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 17.已知函数 f(x)=ax+xlnx(a∈R) (1)若函数 f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围; (2)当 a=1 且 k∈Z 时,不等式 k(x﹣1)<f(x)在 x∈(1,+∞)上恒成立,求 k 的最 大值. 3 2 2 18.已知函数 f(x)=ax +bx +cx+a (a>0)的单调递减区间是(1,2) ,且满足 f(0)=1. (Ⅰ)求 f(x)的解析式;
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2 mx 2 a﹣ x



(Ⅱ)对任意 m∈(0,2],关于 x 的不等式 f(x)< m ﹣mlnm﹣mt+ 在 x∈(﹣∞, 1]上恒成立,求实数 t 的取值范围. 3 2 19.设 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) (Ⅰ)f(x)的图象关于原点对称,当 x= 时,f(x)的极小值为﹣1,求 f(x)的解析式. (Ⅱ)若 a=b=d=1,f(x)是 R 上的单调函数,求 c 的取值范围. 20.已知 f(x)=x +ax +bx+c,在 x=1 与 x=﹣2 时,都取得极值. (1)求 a,b 的值; (2)若 x∈[﹣3,2]都有 f(x)>
x 2 3 2

3

恒成立,求 c 的取值范围.

21.已知函数 f(x)=e ﹣ x ﹣ax(a∈R) . (Ⅰ)若函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线方程为 y=2x+b,求 a,b 的值; (Ⅱ)若函数在 R 上是增函数,求实数 a 取值范围; (Ⅲ)如果函数 g(x)=f(x)﹣(a﹣ )x 有两个不同的极值点 x1,x2,证明:a> 22.已知函数 (其中常数 a,b∈R) , .
2



(Ⅰ)当 a=1 时,若函数 f(x)是奇函数,求 f(x)的极值点; (Ⅱ)若 a≠0,求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅲ)当 时,求函数 g(x)在[0,a]上的最小值 h(a) ,并探索:是

否存在满足条件的实数 a,使得对任意的 x∈R,f(x)>h(a)恒成立. 23. 已知函数 g (x) =f (x) + ﹣bx, 函数 f (x) =x+alnx 在 x=1 处的切线 l 与直线 x+2y=0

垂直. (1)求实数 a 的值; (2)若函数 g(x)存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (3)设 x1、x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个极值点,若 b 最小值. 24.函数 f(x)= ,若曲线 f(x)在点(e,f(e) )处的切线与直线 e x﹣y+e=0 垂直
2

,求 g(x1)﹣g(x2)的

(其中 e 为自然对数的底数) . (1)若 f(x)在(m,m+1)上存在极值,求实数 m 的取值范围; (2)求证:当 x>1 时,
2





25.已知函数 f(x)=﹣x +alnx(a∈R) . (Ⅰ)当 a=2 时,求函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; 2 (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)﹣2x+2x ,讨论函数 g(x)的单调性; (Ⅲ)若(Ⅱ)中函数 g(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) ,且不等式 g(x1)≥mx2 恒成 立,求实数 m 的取值范围.
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26.设 a>0,函数 f(x)=



(1)若 a= ,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 x= 时,函数 f(x)取得极值,证明:对于任意的 ﹣f(x2)|≤
2

,|f(x1)



27.设函数 f(x)=x ﹣bx+alnx. (Ⅰ) 若 b=2,函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,证明:f(x2)>﹣ ;

(Ⅲ) 若对任意 b∈[1,2],都存在 x∈(1,e) (e 为自然对数的底数) ,使得 f(x)<0 成立,求实数 a 的取值范围. 3 2 28.已知函数 f(x)=﹣x +x ,g(x)=alnx(a≠0,a∈R) . (1)求 f(x)的极值; (2)若对任意 x∈[1,+∞) ,使得 f(x)+g(x)≥﹣x +(a+2)x 恒成立,求实数 a 的取 值范围; (3)证明:对 n∈N ,不等式
2 * 3

+

+…+



成立.

29.已知函数 f(x)=mlnx+2nx +x(x>0,m∈R,n∈R) . (1)若曲线 y=f(x)在(1,f(1) )处的切线方程为 2x+y﹣1=0,求 f(x)的递增区间; (2)若 m=1,是否存在 n∈R,使 f(x)的极值大于零?若存在,求出 n 的取值范围;若 不存在,请说明理由. 30.已知函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)的极大值; (Ⅱ)设定义在[0,1]上的函数 g(x)=xf(x)+tf′(x)+e (t∈R)的最大值为 M,最小 值为 N,且 M>2N,求实数 t 的取值范围.
﹣x

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导数的综合应用(一)
参考答案

一.解答题(共 30 小题) 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. 9. ;10. ;11. ;12. ;13. 16. ;17. ;18. ;19. ;20. 23. ;24. ;25. ;26. ;27. 30. ;

; 7. ;14. ;21. ;28.

; 8. ;15. ;22. ;29.

; ; ; ;

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