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【名校精品解析系列】12月份名校试题解析分类汇编第四期 D单元 数列


D 单元 目录

数列

D 单元 数列................................................................................................................................... 1 D1 数列的概念与简单表示法 ...................................................................................................... 1 D2 等差数列及等差数列前 n 项和 ............................................................................................ 10 D3 等比数列及等比数列前 n 项和 ............................................................................................ 21 D4 数列求和 ................................................................................................................................ 27 D5 单元综合 ................................................................................................................................ 32

D1

数列的概念与简单表示法

【数学理卷·2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考(201412) 】21 已知数列 ?an ? 中,

a1 ? 1, an ?1 ? c ?
(1)设 c ?

1 an

5 1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; , bn ? 2 an ? 2

(2)求使不等式 an ? an ?1 ? 3 成立的 c 的取值范围。 【知识点】数列递推式;数学归纳法.D1 M3 ].

【答案】【解析】(1)

(2)(2,

解析: (1)



,即 bn+1=4bn+2

,a1=1,故

所以{

}是首项为﹣ ,公比为 4 的等比数列,

, (Ⅱ)a1=1,a2=c﹣1,由 a2>a1 得 c>2. 用数学归纳法证明:当 c>2 时 an<an+1. (ⅰ)当 n=1 时,a2=c﹣ >a1,命题成立;

(ii)设当 n=k 时,ak<ak+1, 则当 n=k+1 时, 故由(i) (ii)知当 c>2 时,an<an+1 当 c>2 时,令 α= ,由

当 2<c≤ 当 c> 于是

时,an<α≤3 时,α>3 且 1≤an<α

当 n< 因此 c> 不符合要求. ]. 中整理并令 bn= 进行替换,得到关系式

所以 c 的取值范围是(2,

【思路点拨】 (1)令 c= 代入到 an+1=c﹣

bn+1=4bn+2,进而可得到{

}是首项为﹣ ,公比为 4 的等比数列,先得到{

}的通

项公式,即可得到数列{bn}的通项公式. (2) 先求出 n=1, 2 时的 c 的范围, 然后用数学归纳法分 3 步进行证明当 c>2 时 an<an+1, 然后当 c>2 时, 令 α= , 根据由 可发现 c>

时不能满足条件,进而可确定 c 的范围.

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】13.已知数 列 {an } , {bn } 中, a1 ? a, {bn } 是公比为

a ?2 2 的等比数列 .记 bn ? n (n ? N * ), 若不等式 3 an ? 1

an ? an?1 对一切 n ? N * 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.
【知识点】递推关系式;等比数列.D1 D3 【 答 案 】【 解 析 】 a > 2 解 析 : ∵ bn ?

an ? 2 b ?2 (n ? N * ), ∴ a n ? n . ∴ an ? 1 bn ? 1

an?1 ? an ?

bn?1 ? 2 bn ? 2 ? bn?1 ? 1 bn ? 1

1 ? bn bn?1 ? bn 1 1 3 3 ? ? ? ? ? 0, 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 2 2 bn ? 1 bn?1 ? 1 (1 ? bn?1 )(1 ? bn ) (1 ? bn )(1 ? bn ) 3 3 2 n ?1 3 ? 对一切正整数 n 成立,显然不可能; 若 bn ? ,则 b1 ( ) 2 3 2 2 n ?1 ? 1 对一切正整数 n 成立,只要 0 ? b1 ? 1 即可,即 若 0 ? bn ? 1, 则 0 ? b1 ( ) 3

0?

a1 ? 2 ? 1, ,解得 a1 ? a ? 2. a1 ? 1 bn ? 2 3 . 再结合 an ? an?1 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 再分 2 bn ? 1

【思路点拨】先由已知变形为 a n ? 情况讨论即可。

【数学理卷·2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题(201411) 】16.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? ? n ? p ,数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 2 n ? 5 ,设 cn ? ? 数列 {cn } 中, c8 ? cn (n ? N , n ? 8) ,则实数 p 的取值范围是 【知识点】函数及其表示 数列的单调性 B1 D1
?

?an , an ? bn ,若在 ?bn , an ? bn


(12,17)【解析】 【答案】 解析: 由题意可得
是递增数列,因为

cn 是 an,bn 中的较小者, {an}是递减数列; {bn}

c8>c ( ) c c c n n?8 ,所以 8 是 n 的最大者,则 n=1,2,3,…7,8 时, n 递

增,n=8,9,10,…时, n=7 时, 2
7 ?5

cn 递减,因此,n=1,2,3,…7 时, 2n?5<? n ? p 总成立,当

n ?5 <? 7 ? p, ? p> 11 , n=9,10,11, …时,2 >? n ? p 总成立, 当 n=9 时,

29?5>? 9 ? p 成立,∴p<25,而 c8 ? a8或c8 ? b8 ,若 a8≤b8,即 23≥p-8,所以 p≤16,则 a >b8 ,即 p ? 8>28?5 , c8 ? a8 ? p ? 8, ? p ? 8>b7 ? 27?5, ? p> 12, 故 12<p ? 16, 若 8
所以 p>16,

c >c9 ? a9 ,即 8>p-9,∴p<17, ?c8 ? b8 ? 23, 那么 8

故 16<p<17,综上,12<p<17.故答案为: (12,17) . 【思路点拨】由 数列,由

cn 表达式知 cn 是 an,bn 中的较小者,易判断{an}是递减数列; {bn}是递增

c8>c ( ) c c c n n?8 ,所以 8 是 n 的最大者,则 n=1,2,3,…7,8 时, n 递增,n=8, c ? a8或c8 ? b8 ,分两种情况 cn 递减, ,进而可知 an 与 bn 的大小关系,且 8

9,10,…时, 讨论,当

c8 ? a8时,a8>b7 ,当 c8 ? b8时,b8>a9 ,分别解出 p 的范围,再取并集即可;

【数学理卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】19. (本题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? ? (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn ?

?2 ( n ? 1) . ?2an ( n ? 2)

Sn ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . ( Sn ? log2 Sn )( Sn?1 ? log2 Sn?1 )

【知识点】数列的通项公式,数列求和 D1 D4

? 2 n?1 ( n ? 2) 1 1 【答案】 【解析】 (Ⅰ) an ? ? ; (Ⅱ) ? n ?1 3 2 ? n ?1 (n ? 1) ?2
解析: (Ⅰ) n ? 2 时, Sn ? 2an ? 2( Sn ? Sn?1 ) 所以 Sn ? 2n

S n? 2S n?1, S1 ? 2

? 2 n?1 ( n ? 2) an ? ? (n ? 1) ?2

(Ⅱ) bn ?

2n ? 1 1 1 ? n ? n?1 n n?1 ( 2 ? n)(2 ? n ? 1) 2 ? n 2 ? n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 . 2?1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 3 2 ? n 2 ? n?1 1 1 ? ? n ?1 3 2 ? n?1 ?
【思路点拨】一般遇到数列求和问题,通常先求出数列的通项公式,再结合通项公式特征确 定求和思路.

【数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 (201412) 】 16、 数列

是公比为 的

正项等比数列,





(1)求

的通项公式;

(2)令

,求

的前 n 项和



【知识点】数列的求和;数列递推式.D1 D4 【答案】 【解析】 (1) an = 琪 琪

骣 1 2 桫

n- 1

; (2) 2

n- 1

+

n ( n +1) 2
, 。∴

解析: (1)∵数列

是公比为 的正项等比数列,

a3 =

a1 - a2 a - a1q 2 2 ,∴ a1q = 1 ,∴2q +q﹣1=0, 2 2
n- 1

骣 1 1 解得 q=-1(舍去)或 q = ,∴ an = 琪 琪 2 2 桫
(2)∵



骣 1 an = 琪 琪 2 桫 ,

n- 1

,∴ bn = 2n- 1 + n ,

0 1 n- 1 + 1 + 2 +... + n = 2n - 1 + ∴ S n = 2 + 2 + ... + 2

(

) (

)

n ( n +1) 2

2 【思路点拨】 (1)由已知条件得 a1q =

a1 - a1q 1 ,解得 q=-1(舍去)或 q = ,由此能求出 2 2

骣 1 琪 an = 琪 2 桫

n- 1

; (2)先求出 bn = 2n- 1 + n ,在分组求和即可。

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】19. (本 小题满分 16 分)
2 k 已知数列 {an } 的各项都是正数,且对任意 n ? N * , an 。 ?1 ? an an ? 2 ? k ( 为常数)

(1) 若 k ? (a2 ? a1 )2 ,求证: a1 , a2 , a3 成等差数列; (2) 若 k ? 0 ,且 a2 , a4 , a5 成等差数列,求

a2 的值; a1

(3) 已知 a1 ? a, a2 ? b ( a , b 为常数) ,是否存在常数 ? ,使得 an ? an?2 ? ? an?1 对任意

n ? N * 都成立?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由。
【知识点】数列递推式;等差关系的确定.D1 D2 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)1 或 解析: (1)证明:∵ ∴ 令 n=1,则 ∵a1>0,∴2a2=a1+a3, 故 a1,a2,a3 成等差数列; (2)当 k=0 时, ∵数列{an}的各项都为正数, ∴数列{an}是等比数列,设公比为 q>0, ∵a2,a4,a5 成等差数列, ∴a2+a5=2a4,∴ ∵a1>0,q>0, ∴q ﹣2q +1=0, 化为(q﹣1) (q ﹣q﹣1)=0,解得 q=1 或
2 3 2

(3)见解析 ,

, ,













(3)存在常数 λ= 证明如下:∵ ∴

,使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈N 都成立. ,∴ ,即 , ,

*

由于 an>0,两边同除以 anan+1,得到





=…=



即当 n∈N 时,都有 ∵a1=a,a2=b,

*





∴a3=

.∴

=



∴存在常数 λ= 【思路点拨】 (1)把 (2)当 k=0 时,

,使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈N 都成立. ,代入 ,令 n=1 化简即可证明;

*

,由于数列{an}的各项都为正数,可得数列{an}是等比数列, ,解

设公比为 q>0,根据 a2,a4,a5 成等差数列,可得 a2+a5=2a4,即
*

出即可; (3)存在常数 λ= ,及

,使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈N 都成立.由 ,可得 ,由于 an>0,两边同除以 anan+1,得到

,进而

=…=

,即当 n∈N 时,都有

*

,再利用已知求出 a1,a2,a3 即可证明.

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】14.已知数 列 {an } , {bn } 中, a1 ? a, {bn } 是公比为

a ?2 2 的等比数列 .记 bn ? n (n ? N * ), 若不等式 3 an ? 1

an ? an?1 对一切 n ? N * 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.
【知识点】递推关系式;等比数列.D1 D3 【 答 案 】【 解 析 】 a > 2 解 析 : ∵ bn ?

an ? 2 b ?2 (n ? N * ), ∴ a n ? n . ∴ an ? 1 bn ? 1

an?1 ? an ?

bn?1 ? 2 bn ? 2 ? bn?1 ? 1 bn ? 1
1 ? bn 3 3 ? 0, 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 2 2 (1 ? bn )(1 ? bn ) 3

bn?1 ? bn 1 1 ? ? ? ? bn ? 1 bn?1 ? 1 (1 ? bn?1 )(1 ? bn )
若 bn ?

3 2 n ?1 3 ? 对一切正整数 n 成立,显然不可能; ,则 b1 ( ) 2 3 2 2 n ?1 ? 1 对一切正整数 n 成立,只要 0 ? b1 ? 1 即可,即 若 0 ? bn ? 1, 则 0 ? b1 ( ) 3

0?

a1 ? 2 ? 1, ,解得 a1 ? a ? 2. a1 ? 1 bn ? 2 3 . 再结合 an ? an?1 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 再分 2 bn ? 1

【思路点拨】先由已知变形为 a n ? 情况讨论即可。

【数学文卷·2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试(201411) 】11.数列 ?an ? 满足

a1 ? 1 ,且对于任意的 n ? N * 都有 an?1 ? a1 ? an ? n, 则 1 1 1 等于( ) ? ? ? a1 a2 a2013

A.

2012 2013

B.

4026 2014

C.

4024 2014

D.

2013 2014

【知识点】数列递推式;数列的求和 D1 D4 【答案】 【解析】B 解析:因为 an?1 ? a1 ? an ? n ? 1 ? an ? n ,? an?1 ? an ? n ? 1

(a2 ? a1) ??? (an ? an ?1) ? 1 ? 2 ??? n ? 用叠加法: an ? a1 ?

n ? n ? 1? , 2

所以

1 2 1 1 ? ?( 2 ? ) , an n ? n ? 1? n n ?1 1 1 ? ? a1 a2 ? 1 a2013 ? 1 1 1 1 1 ? 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 3 4 ? 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? 2 ?1 ? ? 2013 2014 ? ? 2014 ?

所以

?

4026 ,故答案为:B. 2014

【思路点拨】先找递推关系 an?1 ? an ? n ? 1并求通项公式,再利用通项的特征求和,即可 得到结论.

【数学文卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】19.(本题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? ?

?2 ( n ? 1) . ?2an ( n ? 2)
2 Sn?1 )

(Ⅰ) 求 an ; (Ⅱ) 设 bn ?

Sn ? 1 ( Sn ? log2 Sn )( Sn?1 ? o lg
? 2 n?1 ( n ? 2) ?2 (n ? 1)

, 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

【知识点】数列的通项公式,数列求和 D1 D4 【答案】【解析】(Ⅰ) an ? ? ;(Ⅱ)

1 1 ? n ?1 3 2 ? n ?1

解析:(Ⅰ) n ? 2 时, Sn ? 2an ? 2( Sn ? Sn?1 ) 所以 Sn ? 2
n

S n? 2S n?1, S1 ? 2

? 2 n?1 ( n ? 2) an ? ? (n ? 1) ?2

(Ⅱ) bn ?

2n ? 1 1 1 ? n ? n?1 n n?1 ( 2 ? n)(2 ? n ? 1) 2 ? n 2 ? n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 . 2?1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 3 2 ? n 2 ? n?1 1 1 ? ? n ?1 3 2 ? n?1 ?
【思路点拨】一般遇到数列求和问题,通常先求出数列的通项公式,再结合通项公式特征确 定求和思路.

D2

等差数列及等差数列前 n 项和

【数学理卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期中) (201412) 】19. (12
2 分)各项都为正数的数列{an},满足 a1=1,a2 n+1-an=2.

(1)求数列{an}的通项公式; a2 n (2)求数列{2n}的前 n 项和 Sn.
【知识点】等差数列 数列求和 D2 D4 2n+3 【答案】(1) an= 2n-1(n∈N) (2) Sn=3- n 2
2 2 【解析】(1)因为 a2 n+1-an=2,a1=1,

所以数列{a2 n}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. 所以 a2 2=2n-1,因为 an>0,所以 an= 2n-1(n∈N). n=1+(n-1)× a2 n 2n-1 (2)由(1)知,an= 2n-1,所以 n= n , 2 2 2n-3 2n-1 1 3 5 于是 Sn= + 2+ 3+…+ n-1 + n ,① 2 2 2 2 2 2n-3 2n-1 1 1 3 5 S = + + +…+ n + n+1 ,② 2 n 22 23 24 2 2 2n-1 1 1 2 2 2 2 2n-1 1 1 1 1 1 ①-②得, Sn= + 2+ 3+ 4+…+ n- n+1 = +2( 2+ 3+ 4+…+ n)- n+1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 = +2× 2 1 - 2n 1 2n-1 3 2n+3 - n+1 = - n+1 , 1 2 2 2 1- 2 -

2n+3 所以 Sn=3- n . 2

【思路点拨】通过构造新数列求出等差数列通项,根据错位相减求出前 n 项和。

【数学理卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期中) (201412) 】15.两个

等差数列的前 n 项和之比为

5n+10 ,则它们的第 7 项之比为________. 2n-1

【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2 【答案】3:1 【解析】设这两个等差数列的前 n 项和分别为 Sn,Tn,由题意知

a7 S13 75 ? ? ? 3. b7 T13 25

【思路点拨】两个等差数列的第 n 项的比等于这两个等差数列的前 2n-1 项和的比.

【数学理卷·2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考(201412) 】15.点 P(-1,0)在动直线

2ax ? ?a ? c ? y ? 2c ? 0?a ? R, c ? R ? 上的射影为 M,已知点 N(3,3),则线段 MN 长度的
最大值是____________ 【知识点】等差数列的性质;与直线关于点、直线对称的直线方程.D2H2 【答案】【解析】 5 ? 2 解析:易知动直线恒过定 A 点 ?1,?2 ? ,则动点 M 的轨迹为以
2

AP 为直径的圆 B x 2 ? ? y ? 1? ? 2 上,MN 长度的最大值为 BN ? r ? 5 ? 2 。故答案为

5? 2 。
【思路点拨】先求出直线恒过的定点坐标,然后求出动点 M 的轨迹,再计算最大值即可。

2015 届河北省唐山一中高三 12 月调研考试 【数学理卷· (201412) 】 12. 设等差数列 ?a n ? 满

sin 2 a3 ? cos2 a3 ? cos2 a3 cos2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 ? 1 ,公差 d ? (?1, 0) .若当且仅当 足: sin(a4 ? a5 )
n ? 9 时,数列 ?a n ?的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是(
)

A. ? ?

7? 4? ? , ? 3 ? ? 6

B. ? ?

4? 3? ? , ? 2 ? ? 3

C. ? ?

7? 4? ? , 3 ? ? 6 ?

D. ? ?

4? 3? ? , 2 ? ? 3 ?

【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2 【答案】B 【解析】由

sin 2 a3 ? cos2 a3 ? cos2 a3 cos2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 =1 sin(a4 ? a5 )

得:

? cos 2a3 ? cos(a3 ? a6 ) cos(a3 ? a6 ) ?1 sin(a4 ? a5 )

1 1 cos 2a3 ? cos 2a6 ? cos 2a3 2 ?1 由积化和差公式得: 2 sin(a4 ? a5 )

1 1 (cos 2a6 ? cos 2a3 ) (?2) sin(a6 ? a3 ) sin(a6 ? a3 ) ? 1 ∴sin(3d)=-1. 整理得: 2 =2 sin( a4 ? a5 ) sin(a4 ? a5 )
∵d∈(-1,0),∴3d∈(-3,0),则 3d=-

? ? ,d=- . 2 6

n(n ? 1)(? ) n(n ? 1)d 6 =- ? n2 + ( a ? ? ) n 由 S n =na 1 + = na 1 + 1 2 12 12 2 6 ? 对称轴方程为 n= (a 1 + ), 由题意当且仅当 n=9 时, 数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值, 12 ? 17 6 ? 19 4? 3? ∴ < (a 1 + )< ,解得 < a1< . 2 12 2 3 2 ? 4? 3? ∴首项 a1 的取值范围是( , ). 3 2
【思路点拨】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式,根据公 差 d 的范围求出公差的值,代入前 n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项 a1 取值范围.

?

第 II 卷(非选择题,共 90 分)

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测( 12 月) (201412) 】4. 已知

(1 ?

1 n x) 展开式的各项依次记为 a1 ( x), a2 ( x),...,an ( x), an?1 ( x). 设函数 2

F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x) ? ... ? nan ( x) ? (n ? 1)an?1 ( x).
(4) 若 a1 ( x), a2 ( x),...,a3 ( x) 的系数依次成等差数列,求正整数 n 的值;
n?1 (5) 求证: ?x1 , x2 ? [0,2], 恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2 (n ? 2) ? 1.

【知识点】二项式定理;等差数列的性质。D2 J3 【答案】 【解析】 (1)8; (2)见解析
k ?1 k ?1 解析: (1)由题意知 a k ( x) ? C n ( x) , k ? 1,2,3...,n ? 1. 1 0 ? ∵ a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次为 C n ? 1, C n

1 2

1 n 2 1 2 n(n ? 1) ? , Cn ? ( ) ? , 2 2 2 8

∴ 2?

n n(n ? 1) ? 1? , 解得 n ? 8. 2 8

( 2) F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x) ? ... ? nan ( x) ? (n ? 1)an?1 ( x)
0 1 2 2 n ?1 n ?1 n n = C n ? 2C n ( x) ? 3C n ( x) ? .... ? nC n ( x) ? (n ? 1)C n ( x) .

1 2

1 2

1 2

1 2

0 1 2 n?1 n 令 x ? 2, F ( 2) ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ....? nCn ? (n ? 1)Cn .

令 x ? 0, F (0) ? 1
0 1 2 n?1 n 设 S n ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ....? nCn ? (n ? 1)Cn . n n?1 2 1 0 k n ?k 则 S n ? (n ? 1)Cn ? nCn ? ....? 3Cn ? 2Cn ? Cn . 考虑到 Cn ? Cn , 将以上两式相加得 0 1 2 n?1 n 2S n ? (n ? 2)(Cn ? Cn ? Cn ....? Cn ? Cn ). ∴ S n ? (n ? 2)2n?1.

又当 x ? [0,2] 时, F ' ( x) ? 0 恒成立,从而 F ( x ) 是 [0,2] 上的单调增函数, ∴ ?x1 , x2 ? [0,2], | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? F (2) ? F (0) ? 2 n?1 (n ? 2) ? 1. 【思路点拨】 (1)利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,求出前三项的系数,据 (2)先利用到序相加法 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次成等差数列,列出方程求出 n 的值; 求出 F(2)﹣F(0)的值,利用导数判断出 F(x)的单调性,得证.

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】7.若 S n 为 等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 则 a5 与 a7 的等比中项为_______. 【知识点】等比数列的性质;等差数列的前 n 项和.D2 D3 【答案】 【解析】 ? 4 2 解析:∵ S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 ,

则由等比数列的性质可得 9a5 = - 36,13a7 = - 104 .解得 a5 = - 4, a7 = - 8 , 则 a5 与 a7 的等比中项为 ?

a5 a7

4 2 ,故答案为 ? 4 2 .

【思路点拨】 由条件利用等比数列的性质可得 S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 解得 a5 = - 4, a7 = - 8 , 从而求得 a5 与 a7 的等比中项的值.

【数学理卷·2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题(201411) 】17. (本小题满分 12 分) 公差不为零的等差数列 (1)求数列

{an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列。 {b }

{an } 的通项公式; ? b ,b ? 1

n ?1 n 1 (2)设 n ,求数列 n 的通项公式 【知识点】等差数列和等比数列的性质 数列求和 D2 D3 D4

a ?b

【答案】 (1) an ? 3n ? 2

; (2) bn ?

3n 2 ? 7n ? 6 . 2

【解析】解析:(1)∵等差数列

{an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列

2 ?a42 ? a2 ? a9,即(a1 ? 3d) ? (a1 ? d)(a1 ? 8d),

整理得:

6a1d ? 9d 2 ? 9a1d ? 8d 2,即d 2 ? 3a1d,

d ? 0, ?d ? 3a1,又a3 ? a1 ? 2d ? 7a1 ? 7, ?a1 ? 1 ,d ? 3,
则数列{an}的通项公式为; (2)

an ? 1 ? ( 3 n ?1 ) ? 3n ? 2 ;

b1 ? 1 ,an ? 3n ? 2,an ? bn?1 ? bn, ?a1 ? b2 ? b1,a2 ? b3 ? b2, ?,an?1 ? bn ? bn?1, ? a1 ? a2 ? ?? ?an?1 ? bn ? b1 ,
(n ? 1)(a1 ? an ?1 ) (n ? 1)(3n ? 4) ? ? bn ? 1 2 2 即



bn ?

(n ? 1)(3n ? 4) 3n 2 ? 7n ? 6 ?1 ? 2 2

【思路点拨】 (1)由等差数列{an}中 a2,a4,a9 成等比数列,利用等比数列的性质列出关 系式,再利用等差数列的通项公式化简,得出首项与公差的关系,根据 a3 的值,确定出首 项与公差,即可得到等差数列的通项公式; (2)分别把 n=1,2,…,n-1 代入 an=bn+1-bn,等式左右两边分别相加,左边利用等差数 列. 【思路点拨】根据等差等比数列的性质可求得

a1 ? 1 ,d ? 3, 进而求得通项公式;根据已知

的形式可得采用累加的方法,对数列求和,然后化简,右边抵消合并后将 b1 的值代入,整 理后即可得到数列{bn}的通项公式.

【数学理卷·2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题(201411) 】2. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? a4 ? 6 ,则 S5 等于( ) A.10 B.12 C.15 D.30 【知识点】等差数列的性质 D2

【答案】 C 【解析】 解析: 由等差中项可得 a2 ? a4 ? a1 ? a5 , 所以 S5 ? 故选择 C.

5 ? a1 ? a5 ? ? 15 , 2

【思路点拨】解题的关键是利用等差中项得到 a2 ? a4 ? a1 ? a5 ,再利用求和公式求得.

【数学理卷·2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试(201411) 】19.(本小题
* 满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足, an ?1 ? an ? 4n ? 3 n ? N .

?

?

(I)若数列 ?an ? 是等差数列,求 a1 的值; (II)当 a1 ? 2 时,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; 【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2 【答案】(1)a 1 =-

1 (II)略 2

【解析】(1)若数列{an}是等差数列,则 an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd. 由 an+1+an=4n-3,得(a1+nd)+[a1+(n-1)d]=4n-3,即 2d=4,2a1-d=-3, 解得,d=2 , a 1 =-

1 . 2

( 2)①当 n 为奇数时,S n =a 1 +a 2 +a 3 +…+a _ =a1+( a2+a3 ) +( a4+a5 ) +…+( an-1+an ) =2+4[2+4+…+(n -1)]-3×

n ? 1 2n 2 ? 3n ? 5 = 2 2

②当 n 为偶数时, Sn=a1+a2+a3+…+an= (a1+a2) + (a3+a4) +…+ (an-1+an) =1+9+…+ (4n-7) =

2n 2 ? 3n . 2

【思路点拨】 (1)根据数列{an}是等差数列,写出通项 an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd. ,结 合 an+1+an=4n-3,可求 a1 的值; ( 2 )分类讨论: n 为奇数, Sn=a1+( a2+a3 ) +(a4+a5 ) +…+ ( an-1+an ) ; n 为偶数, Sn=a1+a2+a3+…+an=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an) .进行分组求和即可.

【数学文卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期中) (201412) 】18. (本小 题 12 分)已知等差数列 ?an ? 的前六项的和为 60,且 a1 ? 5 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an 及前 n 项和 S n ; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ?1 ? bn ? an (n ? N ? ) , b1 ? 3 ,求数列 { 【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和数列求和 D2 D4

1 } 的前 n 项和 Tn . bn

【答案】(1)an=2n+3,Sn= n2+4n(2)Tn=

3n2 ? 5n 4(n ? 1)(n ? 2)
6?5 d =60, 2

【解析】 (1) 等差数列{an}的公差为 d, ∵其前六项的和为 60, 且 a1=5. ∴6×5+ 解得 d=2.∴an=5+(n-1)×2=2n+3,Sn=

n(5 ? 2n ? 3) 2 =n +4n. 2

(2)∵数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N*),b1=3, ∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+3=Sn-1+3 =(n-1)2+4(n-1)+3=n2+2n. 当 n=1 时也适合. ∴

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). bn n(n ? 2) 2 n n ? 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? }的前 n 项和 Tn= [(1- )+( - ) +( - ) +…+( )+( ? )] 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 bn

∴数列{

3n2 ? 5n 1 1 1 1 = (1+ )= . 2 2 n ? 1 n ? 2 4(n ? 1)(n ? 2)
【思路点拨】 (1)等差数列{an}的公差为 d,利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即 可得出. (2)数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N*),b1=3,利用“累加求和”bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2) +…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+3=Sn-1+3 即可得出. 利用“裂项求和”即可得出.

1 1 1 1 1 ) .再 = = ( ? bn n(n ? 2) 2 n n ? 2

【数学文卷· 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 (期中) (201412) 】 6. 已知 ?a n ? 为等差数列, ?bn ? 为正项等比数列,公比 q ? 1 ,若 a1 ? b1 , a11 ? b11 ,则( A. a 6 ? b6 B. a 6 ? b6 C. a 6 ? b6 D.以上都有可能 )

【知识点】等差数列等比数列 D2 D3 【答案】B 【解析】:∵{an}为等差数列,∴a 6 =

a 1 ? a11 , 2

∵{bn}为正项等比数列,∴b 6 = b1b11 ,公比 q≠1,由基本不等式可知 a6>b6, 【思路点拨】 本题是一道等差数列和等比数列结合的问题, 要考查的是等差中项和等比中项, 表示出两个数列的第五项,用基本不等式进行比较.

【数学文卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余

四中)高三上学期第二次联考(201412) 】18.(本小题满分 12 分) 已知正项数列 ?an ? 中,其前 n 项和为 Sn ,且 an ? 2 Sn ? 1 . (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设 bn ?

1 , Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? an ? an ?1

? bn ,求 Tn
D4 解析: (1) 由题设条件知 4Sn= (an+1)
2 2

【知识点】数列的求和;数列递推式 D2 【答案】 【解析】 (1) an=2n﹣1 (2) Tn ?
2 2

1? 1 ? ?1 ? ? 2 ? 2n ? 1 ?

,得 4Sn+1=(an+1+1) ,两者作差,得 4an+1=(an+1+1) ﹣(an+1) . 2 2 整理得(an+1﹣1) =(an+1) . 又数列{an}各项均为正数,所以 an+1﹣1=an+1,即 an+1=an+2, 2 故数列{an}是等差数列,公差为 2,又 4S1=4a1=(a1+1) ,解得 a1=1,故有 an=2n﹣1 (2) 由 (1)可得

∴Tn= 【思路点拨】 (1)由 4Sn=(an+1) ,得 4Sn+1=(an+1+1) ,两者作差,研究{an}的相邻项的关 系,由此关系求其通项即可. (2) 由 (1)可 裂项求和即可. 【数学文卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余 四中) 高三上学期第二次联考 (201412) 】 4.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 S3 ? S6 S ?9 则公比 q=( A.1 或-1 B.1 ) C. -1 D. , ,
2 2

1 2

【知识点】等比数列及其前 n 项和. D2 【答案】 【解析】A 解析:当 q=1 时, 3a1 ? 6a1 ? 9a1 成立;当 q≠1 时,

a1 ?1 ? q3 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q 6 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q 9 ? 1? q

? q6 ? 1 ? q ? ?1(q ? 1) ,综上得 q=1 或-1,故选 A.

【思路点拨】分 q=1 与 q≠1 两种情况讨论求解.

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】19. (本 小题满分 16 分)
2 k 已知数列 {an } 的各项都是正数,且对任意 n ? N * , an 。 ?1 ? an an ? 2 ? k ( 为常数)

(6) 若 k ? (a2 ? a1 )2 ,求证: a1 , a2 , a3 成等差数列; (7) 若 k ? 0 ,且 a2 , a4 , a5 成等差数列,求

a2 的值; a1

(8) 已知 a1 ? a, a2 ? b ( a , b 为常数) ,是否存在常数 ? ,使得 an ? an?2 ? ? an?1 对任意

n ? N * 都成立?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由。
【知识点】数列递推式;等差关系的确定.D1 D2 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)1 或 解析: (1)证明:∵ ∴ 令 n=1,则 ∵a1>0,∴2a2=a1+a3, 故 a1,a2,a3 成等差数列; (2)当 k=0 时, ∵数列{an}的各项都为正数, ∴数列{an}是等比数列,设公比为 q>0, ∵a2,a4,a5 成等差数列, ∴a2+a5=2a4,∴ ∵a1>0,q>0, ∴q ﹣2q +1=0, 化为(q﹣1) (q ﹣q﹣1)=0,解得 q=1 或
2 3 2

(3)见解析 ,

, ,













(3)存在常数 λ= 证明如下:∵ ∴

,使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈N 都成立. ,∴ ,即 , ,

*

由于 an>0,两边同除以 anan+1,得到





=…=



即当 n∈N 时,都有 ∵a1=a,a2=b,

*





∴a3=

.∴

=



∴存在常数 λ= 【思路点拨】 (1)把 (2)当 k=0 时,

,使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈N 都成立. ,代入 ,令 n=1 化简即可证明;

*

,由于数列{an}的各项都为正数,可得数列{an}是等比数列, ,解

设公比为 q>0,根据 a2,a4,a5 成等差数列,可得 a2+a5=2a4,即
*

出即可; (3)存在常数 λ= ,及

,使得 an+an+2=λan+1 对任意 n∈N 都成立.由 ,可得 ,由于 an>0,两边同除以 anan+1,得到

,进而

=…=

,即当 n∈N 时,都有

*

,再利用已知求出 a1,a2,a3 即可证明.

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】11.若 S n 为 等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 则 a5 与 a7 的等比中项为_______. 【知识点】等比数列的性质;等差数列的前 n 项和.D2 D3 【答案】 【解析】 ? 4 2 解析:∵ S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 ,

则由等比数列的性质可得 9a5 = - 36,13a7 = - 104 .解得 a5 = - 4, a7 = - 8 , 则 a5 与 a7 的等比中项为 ?

a5 a7

4 2 ,故答案为 ? 4 2 .

【思路点拨】 由条件利用等比数列的性质可得 S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 解得 a5 = - 4, a7 = - 8 , 从而求得 a5 与 a7 的等比中项的值.

【数学文卷·2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试(201411) 】17. (本小题满分 12 分) 公差不为零的等差数列 {an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 an ? bn?1 ? bn , b1 ? 1 ,求数列 {bn } 的通项公式 【知识点】等差数列,等比数列 D2 D3 【答案】 【解析】(Ⅰ) an ? 3n ? 2 解析:(Ⅰ) an ? 3n ? 2 . (Ⅱ) bn ? (Ⅱ) bn ?

3n 2 ? 7n ? 6 2
……6 分 ……12 分

3n 2 ? 7n ? 6 . 2

【思路点拨】由 a2 , a4 , a9 成等比数列,可求首项与公差,从而可求 {an } 的通项公式; 再由 an ? bn?1 ? bn , b1 ? 1 可得数列 {bn } 的递推公式, 利用叠加法即可求出数列 {bn } 的通项公 式.

D3

等比数列及等比数列前 n 项和

【数学理卷·2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考(201412) 】6 已知正项等比数列 ?an ?满 足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,则 A.

1 4 ? 的最小值为( m n

)

3 2

B.

5 3

C.

25 6

D. 不存在

【知识点】等比数列的性质;基本不等式 D3 E6 【答案】【解析】 A 解析:设等比数列 ?an ? 的首项为 a 1 ,公比为 q, a7 ? a6 ? 2a5 , 则 若

a1 ? q6 ? a1 ? q5 ? 2a1 ? q4 ?q2 ? q ? 2 ? 0?q ? 2或q ? ?1?舍?
? 1 4? ? 1 4? am ? an ? 4a1 , 则m ? n ? 6 ? 6 ? ? ? ? ? m ? n ? ? ? ? ?m n? ?m n? 1 4 9 3 ? n 4m ? ? 5?? ? ? ? 5 ? 4 ? 9 ? ? ? ? ,故选 A m n 6 2 ?m n ?

【思路点拨】根据条件求出等比数列的公比,再结合 am ? an ? 4a1 ,求出 m,n 的和,再结 合基本不等式,即可得到答案. 【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】13.已知数 列 {an } , {bn } 中, a1 ? a, {bn } 是公比为

a ?2 2 (n ? N * ), 若不等式 的等比数列 .记 bn ? n 3 an ? 1

an ? an?1 对一切 n ? N * 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.
【知识点】递推关系式;等比数列.D1 D3 【 答 案 】【 解 析 】 a > 2 解 析 : ∵ bn ?

an ? 2 b ?2 (n ? N * ), ∴ a n ? n . ∴ an ? 1 bn ? 1

an?1 ? an ?

bn?1 ? 2 bn ? 2 ? bn?1 ? 1 bn ? 1

bn?1 ? bn 1 1 ? ? ? ? bn ? 1 bn?1 ? 1 (1 ? bn?1 )(1 ? bn )
若 bn ?

1 ? bn 3 3 ? 0, 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 2 2 (1 ? bn )(1 ? bn ) 3

3 2 n ?1 3 ? 对一切正整数 n 成立,显然不可能; ,则 b1 ( ) 2 3 2 2 n ?1 ? 1 对一切正整数 n 成立,只要 0 ? b1 ? 1 即可,即 若 0 ? bn ? 1, 则 0 ? b1 ( ) 3

0?

a1 ? 2 ? 1, ,解得 a1 ? a ? 2. a1 ? 1 bn ? 2 3 . 再结合 an ? an?1 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 再分 2 bn ? 1

【思路点拨】先由已知变形为 a n ? 情况讨论即可。

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】7.若 S n 为 等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 则 a5 与 a7 的等比中项为_______. 【知识点】等比数列的性质;等差数列的前 n 项和.D2 D3 【答案】 【解析】 ? 4 2 解析:∵ S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 ,

则由等比数列的性质可得 9a5 = - 36,13a7 = - 104 .解得 a5 = - 4, a7 = - 8 , 则 a5 与 a7 的等比中项为 ?

a5 a7

4 2 ,故答案为 ? 4 2 .

【思路点拨】 由条件利用等比数列的性质可得 S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 解得 a5 = - 4, a7 = - 8 , 从而求得 a5 与 a7 的等比中项的值.

【数学理卷·2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题(201411) 】17. (本小题满分 12 分) 公差不为零的等差数列 (1)求数列

{an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列。 {b }

{an } 的通项公式; ? b ,b ? 1

n ?1 n 1 (2)设 n ,求数列 n 的通项公式 【知识点】等差数列和等比数列的性质 数列求和 D2 D3 D4

a ?b

【答案】 (1) an ? 3n ? 2

; (2) bn ?

3n 2 ? 7n ? 6 . 2

【解析】解析:(1)∵等差数列

{an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列

2 ?a42 ? a2 ? a9,即(a1 ? 3d) ? (a1 ? d)(a1 ? 8d),

整理得:

6a1d ? 9d 2 ? 9a1d ? 8d 2,即d 2 ? 3a1d,

d ? 0, ?d ? 3a1,又a3 ? a1 ? 2d ? 7a1 ? 7, ?a1 ? 1 ,d ? 3,
则数列{an}的通项公式为; (2)

an ? 1 ? ( 3 n ?1 ) ? 3n ? 2 ;

b1 ? 1 ,an ? 3n ? 2,an ? bn?1 ? bn, ?a1 ? b2 ? b1,a2 ? b3 ? b2, ?,an?1 ? bn ? bn?1, ? a1 ? a2 ? ?? ?an?1 ? bn ? b1 ,
(n ? 1)(a1 ? an ?1 ) (n ? 1)(3n ? 4) ? ? bn ? 1 2 2 即



bn ?

(n ? 1)(3n ? 4) 3n 2 ? 7n ? 6 ?1 ? 2 2

【思路点拨】 (1)由等差数列{an}中 a2,a4,a9 成等比数列,利用等比数列的性质列出关 系式,再利用等差数列的通项公式化简,得出首项与公差的关系,根据 a3 的值,确定出首 项与公差,即可得到等差数列的通项公式; (2)分别把 n=1,2,…,n-1 代入 an=bn+1-bn,等式左右两边分别相加,左边利用等差数 列. 【思路点拨】根据等差等比数列的性质可求得

a1 ? 1 ,d ? 3, 进而求得通项公式;根据已知

的形式可得采用累加的方法,对数列求和,然后化简,右边抵消合并后将 b1 的值代入,整 理后即可得到数列{bn}的通项公式.

【数学理卷· 2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题 (201411) 】 8. 若 等比中项,则圆锥曲线 A. B. C. 的离心率是( 或 ) D. 或

是 和 的

【知识点】等比中项 圆锥曲线的性质 D3 H5 H6
2 ? m ? ?4, 【答案】D【解析】解析:∵正数 m 是 2,8 的等比中项,? m ? 2 ? 8 ? 16,

若 m ? 4 ,∴椭圆

1 3 y2 e ? 1? ? x ? ?1 4 2 , 4 的方程为: ,∴其离心率
2

若 m ? ?4 ,则双曲线方程为

x2 ?

y2 ?1 4 ,离心率 e ? 1 ? 4 ? 5 ,故选择 D.

【思路点拨】正数 m 是 2,8 的等比中项,可求得 m ,从而可曲线为椭圆或双曲线,可求得 其离心率.

【数学理卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】7.设等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn,若 S10:S5=1:2,则 A.

7 2

B. ?

9 2

S 5 ? S10 ? S15 ? S10 ? S 5 9 C. 2

(

) D. ?

7 2

【知识点】等比数列 D3 【答案】 【解析】B 解 析 : 因 为 S10:S5 = 1:2 , 所 以 S1 0 ?

1 1 S5 , S 1? S ,5由 等 比 数 列 的 性 质 得 0 S ? 5 ? 2 2

1 1 3 1 1 ? ? S5 , ? S5 , S15 ? S5 成 等 比 数 列 , 所 以 S52 ? S5 ? S15 ? S5 ? , 得 S15 ? S5 , 所 以 2 2 4 4 2 ? ?

1 3 S ? S ? S5 5 5 S5 ? S10 ? S15 9 2 4 ? ? ? ,则选 B. 1 S10 ? S5 2 ? S5 2
【思路点拨】在等比数列中,若遇到等距的和时,可考虑利用等比数列的性质

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,

, 成等比数列进行解答..

【数学文卷· 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 (期中) (201412) 】 6. 已知 ?a n ? 为等差数列, ?bn ? 为正项等比数列,公比 q ? 1 ,若 a1 ? b1 , a11 ? b11 ,则( A. a 6 ? b6 B. a 6 ? b6 C. a 6 ? b6 D.以上都有可能 )

【知识点】等差数列等比数列 D2 D3 【答案】B 【解析】:∵{an}为等差数列,∴a 6 =

a 1 ? a11 , 2

∵{bn}为正项等比数列,∴b 6 = b1b11 ,公比 q≠1,由基本不等式可知 a6>b6, 【思路点拨】 本题是一道等差数列和等比数列结合的问题, 要考查的是等差中项和等比中项, 表示出两个数列的第五项,用基本不等式进行比较.

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】14.已知数

列 {an } , {bn } 中, a1 ? a, {bn } 是公比为

a ?2 2 的等比数列 .记 bn ? n (n ? N * ), 若不等式 3 an ? 1

an ? an?1 对一切 n ? N * 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.
【知识点】递推关系式;等比数列.D1 D3 【 答 案 】【 解 析 】 a > 2 解 析 : ∵ bn ?

an ? 2 b ?2 (n ? N * ), ∴ a n ? n . ∴ an ? 1 bn ? 1

an?1 ? an ?

bn?1 ? 2 bn ? 2 ? bn?1 ? 1 bn ? 1
1 ? bn 3 3 ? 0, 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 2 2 (1 ? bn )(1 ? bn ) 3

bn?1 ? bn 1 1 ? ? ? ? bn ? 1 bn?1 ? 1 (1 ? bn?1 )(1 ? bn )
若 bn ?

3 2 n ?1 3 ? 对一切正整数 n 成立,显然不可能; ,则 b1 ( ) 2 3 2 2 n ?1 ? 1 对一切正整数 n 成立,只要 0 ? b1 ? 1 即可,即 若 0 ? bn ? 1, 则 0 ? b1 ( ) 3

0?

a1 ? 2 ? 1, ,解得 a1 ? a ? 2. a1 ? 1 bn ? 2 3 . 再结合 an ? an?1 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 再分 2 bn ? 1

【思路点拨】先由已知变形为 a n ? 情况讨论即可。

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】11.若 S n 为 等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 则 a5 与 a7 的等比中项为_______. 【知识点】等比数列的性质;等差数列的前 n 项和.D2 D3 【答案】 【解析】 ? 4 2 解析:∵ S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 ,

则由等比数列的性质可得 9a5 = - 36,13a7 = - 104 .解得 a5 = - 4, a7 = - 8 , 则 a5 与 a7 的等比中项为 ?

a5 a7

4 2 ,故答案为 ? 4 2 .

【思路点拨】 由条件利用等比数列的性质可得 S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 解得 a5 = - 4, a7 = - 8 , 从而求得 a5 与 a7 的等比中项的值.

【数学文卷·2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试(201411) 】17. (本小题满分 12 分) 公差不为零的等差数列 {an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 an ? bn?1 ? bn , b1 ? 1 ,求数列 {bn } 的通项公式 【知识点】等差数列,等比数列 D2 D3 【答案】 【解析】(Ⅰ) an ? 3n ? 2 解析:(Ⅰ) an ? 3n ? 2 . (Ⅱ) bn ? (Ⅱ) bn ?

3n 2 ? 7n ? 6 2
……6 分 ……12 分

3n 2 ? 7n ? 6 . 2

【思路点拨】由 a2 , a4 , a9 成等比数列,可求首项与公差,从而可求 {an } 的通项公式; 再由 an ? bn?1 ? bn , b1 ? 1 可得数列 {bn } 的递推公式, 利用叠加法即可求出数列 {bn } 的通项公 式.

【数学文卷·2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试(201411) 】3.若公比为 2 且各 项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a4 ? a12 ? 64 ,则 a7 的值等于( B.4 C.8 【知识点】等比数列 D3 D.16 )A.2

【答案】 【解析】B 解析:因为 a4 ? a12 ? 64 所以 a8 ? 8? a7 ? 4 .故选 B. 【思路点拨】因为 a4 ? a12 ? 64 ,由等比数列性质可得 a4 ? a12 ? a82 ? 64 ,可求 a8 ,从而可 求 a7 .

【数学文卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】7.设等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn,若 S10:S5=1:2,则 A.

7 2

B. ?

9 2

S 5 ? S10 ? S15 ? S10 ? S 5 9 C. 2

(

) D. ?

7 2

【知识点】等比数列 D3 【答案】【解析】B 解 析 : 因 为 S10:S5 = 1:2 , 所 以 S1 0 ?

1 1 S5 , S 1? S ,5由 等 比 数 列 的 性 质 得 0 S ? 5? 2 2

1 1 3 1 1 ? ? S5 , ? S5 , S15 ? S5 成 等 比 数 列 , 所 以 S52 ? S5 ? S15 ? S5 ? , 得 S15 ? S5 , 所 以 2 2 4 4 2 ? ?

1 3 S5 ? S10 ? S15 S5 ? 2 S5 ? 4 S5 9 ? ? ? ,则选 B. 1 S10 ? S5 2 ? S5 2
【思路点拨】在等比数列中,若遇到等距的和时,可考虑利用等比数列的性质

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,

, 成等比数列进行解答..

D4

数列求和

【数学理卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期中) (201412) 】19. (12
2 分)各项都为正数的数列{an},满足 a1=1,a2 n+1-an=2.

(1)求数列{an}的通项公式; a2 n (2)求数列{2n}的前 n 项和 Sn.
【知识点】等差数列 数列求和 D2 D4 2n+3 【答案】(1) an= 2n-1(n∈N) (2) Sn=3- n 2
2 2 【解析】(1)因为 a2 n+1-an=2,a1=1,

所以数列{a2 n}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. 所以 a2 2=2n-1,因为 an>0,所以 an= 2n-1(n∈N). n=1+(n-1)× a2 n 2n-1 (2)由(1)知,an= 2n-1,所以 n= n , 2 2 2n-3 2n-1 1 3 5 于是 Sn= + 2+ 3+…+ n-1 + n ,① 2 2 2 2 2 2n-3 2n-1 1 1 3 5 S = + + +…+ n + n+1 ,② 2 n 22 23 24 2 2 2n-1 1 1 2 2 2 2 2n-1 1 1 1 1 1 ①-②得, Sn= + 2+ 3+ 4+…+ n- n+1 = +2( 2+ 3+ 4+…+ n)- n+1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 = +2× 2 1 - 2n 1 2n-1 3 2n+3 - n+1 = - n+1 , 1 2 2 2 1- 2 -

2n+3 所以 Sn=3- n . 2 【思路点拨】通过构造新数列求出等差数列通项,根据错位相减求出前 n 项和。

【数学理卷·2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题(201411) 】17. (本小题满分 12 分) 公差不为零的等差数列 (1)求数列

{an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列。 {b }

{an } 的通项公式; ? b ,b ? 1

n ?1 n 1 (2)设 n ,求数列 n 的通项公式 【知识点】等差数列和等比数列的性质 数列求和 D2 D3 D4

a ?b

3n 2 ? 7n ? 6 【答案】 (1) an ? 3n ? 2 ; (2) bn ? . 2
【解析】解析:(1)∵等差数列

{an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列

2 ?a42 ? a2 ? a9,即(a1 ? 3d) ? (a1 ? d)(a1 ? 8d),

整理得:

6a1d ? 9d 2 ? 9a1d ? 8d 2,即d 2 ? 3a1d,

d ? 0, ?d ? 3a1,又a3 ? a1 ? 2d ? 7a1 ? 7, ?a1 ? 1 ,d ? 3,
则数列{an}的通项公式为; (2)

an ? 1 ? ( 3 n ?1 ) ? 3n ? 2 ;

b1 ? 1 ,an ? 3n ? 2,an ? bn?1 ? bn, ?a1 ? b2 ? b1,a2 ? b3 ? b2, ?,an?1 ? bn ? bn?1, ? a1 ? a2 ? ?? ?an?1 ? bn ? b1 ,
(n ? 1)(a1 ? an ?1 ) (n ? 1)(3n ? 4) ? ? bn ? 1 2 2 即



bn ?

(n ? 1)(3n ? 4) 3n 2 ? 7n ? 6 ?1 ? 2 2

【思路点拨】 (1)由等差数列{an}中 a2,a4,a9 成等比数列,利用等比数列的性质列出关 系式,再利用等差数列的通项公式化简,得出首项与公差的关系,根据 a3 的值,确定出首 项与公差,即可得到等差数列的通项公式; (2)分别把 n=1,2,…,n-1 代入 an=bn+1-bn,等式左右两边分别相加,左边利用等差数 列. 【思路点拨】根据等差等比数列的性质可求得

a1 ? 1 ,d ? 3, 进而求得通项公式;根据已知

的形式可得采用累加的方法,对数列求和,然后化简,右边抵消合并后将 b1 的值代入,整 理后即可得到数列{bn}的通项公式.

【数学理卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】19. (本题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? ? (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn ?

?2 ( n ? 1) . ?2an ( n ? 2)

Sn ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . ( Sn ? log2 Sn )( Sn?1 ? log2 Sn?1 )

【知识点】数列的通项公式,数列求和 D1 D4

? 2 n?1 ( n ? 2) 1 1 【答案】 【解析】 (Ⅰ) an ? ? ; (Ⅱ) ? n ?1 3 2 ? n ?1 (n ? 1) ?2
解析: (Ⅰ) n ? 2 时, Sn ? 2an ? 2( Sn ? Sn?1 ) 所以 Sn ? 2n

S n? 2S n?1, S1 ? 2

? 2 n?1 ( n ? 2) an ? ? (n ? 1) ?2

(Ⅱ) bn ?

2n ? 1 1 1 ? n ? n?1 n n?1 ( 2 ? n)(2 ? n ? 1) 2 ? n 2 ? n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 . 2?1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 3 2 ? n 2 ? n?1 1 1 ? ? n ?1 3 2 ? n?1 ?
【思路点拨】一般遇到数列求和问题,通常先求出数列的通项公式,再结合通项公式特征确 定求和思路.

【数学文卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期中) (201412) 】18. (本小 题 12 分)已知等差数列 ?an ? 的前六项的和为 60,且 a1 ? 5 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an 及前 n 项和 S n ; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ?1 ? bn ? an (n ? N ? ) , b1 ? 3 ,求数列 { 【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和数列求和 D2 D4

1 } 的前 n 项和 Tn . bn

【答案】(1)an=2n+3,Sn= n2+4n(2)Tn=

3n2 ? 5n 4(n ? 1)(n ? 2)
6?5 d =60, 2

【解析】 (1) 等差数列{an}的公差为 d, ∵其前六项的和为 60, 且 a1=5. ∴6×5+ 解得 d=2.∴an=5+(n-1)×2=2n+3,Sn=

n(5 ? 2n ? 3) 2 =n +4n. 2

(2)∵数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N*),b1=3, ∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+3=Sn-1+3 =(n-1)2+4(n-1)+3=n2+2n. 当 n=1 时也适合. ∴

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). bn n(n ? 2) 2 n n ? 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? }的前 n 项和 Tn= [(1- )+( - ) +( - ) +…+( )+( ? )] 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 bn

∴数列{

3n2 ? 5n 1 1 1 1 = (1+ )= . 2 2 n ? 1 n ? 2 4(n ? 1)(n ? 2)
【思路点拨】 (1)等差数列{an}的公差为 d,利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即 可得出. (2)数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N*),b1=3,利用“累加求和”bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2) +…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+3=Sn-1+3 即可得出. 利用“裂项求和”即可得出.

1 1 1 1 1 ) .再 = = ( ? bn n(n ? 2) 2 n n ? 2

【数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 (201412) 】 16、 数列

是公比为 的

正项等比数列,





(1)求

的通项公式;

(2)令

,求

的前 n 项和



【知识点】数列的求和;数列递推式.D1 D4 【答案】 【解析】 (1) an = 琪 琪

骣 1 2 桫

n- 1

; (2) 2

n- 1

+

n ( n +1) 2

解析: (1)∵数列

是公比为 的正项等比数列,



。∴

a3 =

a1 - a2 a - a1q 2 2 ,∴ a1q = 1 ,∴2q +q﹣1=0, 2 2
n- 1

骣 1 1 解得 q=-1(舍去)或 q = ,∴ an = 琪 琪 2 2 桫
(2)∵



骣 1 an = 琪 琪 2 桫 ,

n- 1

,∴ bn = 2n- 1 + n ,

0 1 n- 1 + 1 + 2 +... + n = 2n - 1 + ∴ S n = 2 + 2 + ... + 2

(

) (

)

n ( n +1) 2

2 【思路点拨】 (1)由已知条件得 a1q =

a1 - a1q 1 ,解得 q=-1(舍去)或 q = ,由此能求出 2 2

骣 1 an = 琪 琪 2 桫

n- 1

; (2)先求出 bn = 2n- 1 + n ,在分组求和即可。

【数学文卷·2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试(201411) 】11.数列 ?an ? 满足

a1 ? 1 ,且对于任意的 n ? N * 都有 an?1 ? a1 ? an ? n, 则 1 1 1 等于( ) ? ? ? a1 a2 a2013 2012 4026 4024 A. B. C. 2013 2014 2014
【知识点】数列递推式;数列的求和 D1 D4

D.

2013 2014

【答案】 【解析】B 解析:因为 an?1 ? a1 ? an ? n ? 1 ? an ? n ,? an?1 ? an ? n ? 1

(a2 ? a1) ??? (an ? an ?1) ? 1 ? 2 ??? n ? 用叠加法: an ? a1 ?

n ? n ? 1? , 2

所以

1 2 1 1 ? ?( 2 ? ) , an n ? n ? 1? n n ?1 1 1 ? ? a1 a2 ? 1 a2013 ? 1 1 1 1 1 ? 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 3 4 ? 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? 2 ?1 ? ? 2013 2014 ? ? 2014 ?

所以

?

4026 ,故答案为:B. 2014

【思路点拨】先找递推关系 an?1 ? an ? n ? 1并求通项公式,再利用通项的特征求和,即可 得到结论.

【数学文卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】19.(本题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? ?

?2 ( n ? 1) . ?2an ( n ? 2)
2 Sn?1 )

(Ⅰ) 求 an ; (Ⅱ) 设 bn ?

Sn ? 1 ( Sn ? log2 Sn )( Sn?1 ? o lg
? 2 n?1 ( n ? 2) ?2 (n ? 1)

, 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

【知识点】数列的通项公式,数列求和 D1 D4 【答案】【解析】(Ⅰ) an ? ? ;(Ⅱ)

1 1 ? n ?1 3 2 ? n ?1

解析:(Ⅰ) n ? 2 时, Sn ? 2an ? 2( Sn ? Sn?1 ) 所以 Sn ? 2
n

S n? 2S n?1, S1 ? 2

? 2 n?1 ( n ? 2) an ? ? (n ? 1) ?2

(Ⅱ) bn ?

2n ? 1 1 1 ? n ? n?1 n n?1 ( 2 ? n)(2 ? n ? 1) 2 ? n 2 ? n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 . 2?1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 3 2 ? n 2 ? n?1 1 1 ? ? n ?1 3 2 ? n?1 ?
【思路点拨】一般遇到数列求和问题,通常先求出数列的通项公式,再结合通项公式特征确 定求和思路.

D5

单元综合

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】20. (本 小题满分 16 分) 已知数集 A ? ?a1 , a2 ,

an ??1 ? a1 ? a2 ?
aj ai

an , n ? 2? 具有性质 P ;对任意的

i, j ?1 ? i ? j ? n? , ai a j 与

两数中至少有一个属于 A .

(1)分别判断数集 ?1,3, 4? 与 ?1, 2,3,6? 是否具有性质 P ,并说明理由; (2)证明: a1 ? 1 ,且

a1 ? a2 ? ? an ? an ; ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? an
.k.s.5.

(3)证明:当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列. 【知识点】数列的应用.D5

【答案】 【解析】 (1)该数集具有性质 P; (2)见解析; (3)见解析 解析: (1)由于 3 ? 4 与

4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. 3

由于 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , , ∴该数集具有性质 P. (2)∵ A ? ?a1 , a2 ,

6 6 1 2 3 6 都属于数集 ?1, 2,3,6? , 2 3 1 2 3 6

an ? 具有性质 P,∴ an an 与

an 中至少有一个属于 A, an

由于 1 ? a1 ? a2 ? ∵ 1 ? a1 ? a2 ?

? an ,∴ an an ? an ,故 an an ? A .从而1 ? ? an , ∴ ak an ? an ,故 ak an ? A? k ? 2,3,
an ? A ? k ? 1, 2,3, ak an a ? an?1 , n ? an , a2 a1 an an ? ? a1 ? a2 ? a2 a1 ? an?1 ? an ,∴ , n ? .又∵ an a ? n ? an an ?1

an ? A ,∴ a1 ? 1 . an

, n? .
? an an ? , a2 a1

由 A 具有性质 P 可知



an a ? 1, n ? a2 , an an?1 an a ? n ? an an?1 ?

从而

a1 ? a2 ? ? an ? an . ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? an

(3)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有 ∵ 1 ? a1 ? a2 ?

a5 a 2 ? a2 , 5 ? a3 ,即 a5 ? a2a4 ? a3 , a4 a3

? a5 ,∴ a3a4 ? a2a4 ? a5 ,∴ a3a4 ? A ,
a a a4 a 2 ? A .由 a2 a4 ? a3 ,得 3 ? 4 ? A ,且 1 ? 3 ? a2 , a3 a2 a3 a2

由 A 具有性质 P 可知



a a a4 a3 a a ? ? a2 ,∴ 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? a2 , a3 a2 a4 a3 a2 a1

即 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是首项为 1,公比为 a2 成等比数列. 【思路点拨】 (1)根据性质 P:由于 3 ? 4 与

4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 3

P. 由于 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , ,

6 6 1 2 3 6 都属于数集 ?1, 2,3,6? ; ( 2 )由性质 P ,知 2 3 1 2 3 6

an an ? an , 故 ak an ? A? k ? 2,3,
an a ? n ? an an ?1 ?

, n? , 从 而 1=
?

∈A , a1=1 . 再 验 证 又 ∵

an an a a ? ,从而 n ? n ? a2 a1 an an?1

an an ? ? a1 ? a2 ? a2 a1

? an?1 ? an ,命题

得证; (3)只要证明

a5 a4 a3 a2 ? ? ? ? a2 即可. a4 a3 a2 a1


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