当前位置:首页 >> 数学 >>

三角函数专题(家教用,含高考题,方法技巧,题型分析)

三角函数专题
高考真题: 2006: (8)对于函数 f ? x ? ?

sin x ? 1 (0 ? x ? ? ) ,下列结论正确的是( sin x



A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值 (9)将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ? 示,则平秱后的图象所对应函数的解析式是( A. y ? sin( x ? B. y ? sin( x ?

?

? ? ? , 0 ? 平秱,平秱后的图象如图所 ? 6 ?


?
6

)

?
6

)

C. y ? sin(2 x ? D. y ? sin(2 x ?

?
3

)

?
3

)

(11)如果 ?A1B1C1 的三个内角的余弦值 分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值, 则( )

A. ?A1B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角 形 B. ?A1B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 C. ?A1B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A1B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 (17)(本大题满分 12 分)已知 0 ? ? ?

?
2

,sin ? ?

4 5

(Ⅰ)求

sin 2 ? ? sin 2? 5? ) 的值。 的值;(Ⅱ)求 tan(? ? 2 4 cos ? ? cos 2?

2007: 15.函数 f ( x) ? 3sin(2 x ?

?
3

) 的图象为 C ,如下结论中正确的是

____________(写出所有正确结论的编号).

①图像 C 关于直线 x ?

11 ? 对称; 12

②图像 C 关于点 (

2? , 0) 对称; 3 , ) 内是增函数; 12 12

③函数 f ( x) 在区间 ( ?

? 5?

④由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平

? 个单位长度可以得到图像 C . 3

16.(本小题满分 10 分) 解丌等式 (| 3x ? 1| ?1)(sin x ? 2) ? 0 .

2008(8).函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ? D. x ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是(
B. x ? ?



?
6

?
12

C. x ?

?
6

?
12

(17).(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2

? ?

9.设函数 值范围是

,其中

,则导数

的取

A.

B.

C.

D.

16.(本小题满分 12 分)



ABC 中,C-A=



sinB=



(I)求 sinA 的值;

(II)设 AC=

,求

ABC 的面积。

2010(16)△ABC 的面积是 30,内角 A,B,C,所对边长分别为 a,b,c,cosA=

12 . 13

??? ???? ? (1)求 AB ? AC
(2)若 c-b= 1,求 a 的值.

2011:(15)设 f ( x) = a sin 2 x ? b cos 2 x ,其中 a,b ? R,ab ? 0,若 f ( x) ? f ( ) 对一

?

6

切则 x ? R 恒成立,则 ① f(

11? )?0 12

[

② f(

? 7? ) < f( ) 5 10

③ f ( x) 既丌是奇函数也丌是偶函数 ④ f ( x) 的单调递增区间是 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

⑤存在经过点(a,b)的直线不函数的图 f ( x) 像丌相交 以上结论正确的是 (16)(本小题满分 13 分) 在 ? ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3 ,b= 2 , (写出所有正确结论的编号).

1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,求边 BC 上的高.

2012:(7)要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象 (A) 向左平秱 1 个单位 (B) 向右平秱 1 个单位 (C) 向左平秱

1 个单位 2 1 个单位 2

(D) 向右平秱

(16)(本小题满分 12 分) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, ,且有

2 sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C 。
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长。 参考答案 2006.(8) 解:令 t ? sin x, t ? (0,1] ,则函数 f ? x ? ?

sin x ? 1 (0 ? x ? ? ) 的值域为 sin x

函数 y ? 1 ? , t ? (0,1] 的值域,而 y ? 1 ? , t ? (0,1] 是一个减函减,故选 B。

1 t

1 t

? ? ? , 0 ? 平秱,平秱后的图象 ? 6 ? ? 7? ? 3? ? )? 所对应的解析式为 y ? sin ? ( x ? ) ,由图象知, ? ( ,所以 ? ? 2 ,因此 6 12 6 2
(9) 解:将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ?

?

选 C。 17.解:(Ⅰ)由 0 ? ? ?
2

?
2

,sin ? ?

sin 2 ? ? sin 2? 4 3 ,得 cos ? ? ,所以 = 5 5 cos 2 ? ? cos 2?

sin ? ? 2sin ? cos ? ? 20 。 3cos 2 ? ? 1
(Ⅱ)∵ tan ? ? 2007.15.①②③ 16.解:∵任意 x ? R , sin x ? 2 ? 0 ,∴原丌等式等价于 3x ?1 ?1 ? 0 .

sin ? 4 5? tan ? ? 1 1 ? ,∴ tan(? ? ) ? ? 。 cos ? 3 4 1 ? tan ? 7

即 3x ?1 ? 1 , ?1 ? 3 x ? 1 ? 1 , 0 ? 3 x ? 2 , 故解为 0 ? x ?

2 . 3

∴ 原丌等式的解集为 ? x 0 ? x ? ? .

? ?

2? 3?

2008. 8D 17 解:

(1)? f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2
1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
? sin(2 x ? ) 6

?

∴周期T ?
(2)? x ? [?

2? ?? 2

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6
?
6 ) 在区间 [? , ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递 12 3 3 2

? ?

因为 f ( x) ? sin(2 x ? 减, 所以 当 x ?

? ?

? ?

?
3

时, f ( x) 取最大值 1

又 ? f (?

?
12

)??

? 3 ? 1 3 ? f ( ) ? ,∴ 当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2
3 , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2

所以 函数 f ( x) 在区间 [? 2009.9. D

? ?

16. 【思路】(1)依据三角函数恒等变形可得关于 sin A 的式子,这之中要运用到倍 角公式; (2)应用正弦定理可得出边长,迚而用面积公式可求出 S? .

【解析】(1)∵

c? A?

?
2

且c ? A ? ? ? B



A?

?
4

?

B 2



sin A ? sin(

?
4

?

B 2 B B )? (cos ? sin ) 2 2 2 2

1 B B 1 1 sin2 A ? (cos ? sin )2 ? (1 ? sin B) ? 2 2 2 2 3 ∴

又 sin A ? 0 ∴

cos A ?

3 3

(2)如图,由正弦定理得

BC ?

AC BC ? sin B sin A ∴

AC ? sin A BC ? ? sin B

6? 1 3

3 3 ?3 2

又sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A ? sin B ? 3 2 2 1 6 ? ?? ? 3 3 3 3
S ? ABC ? 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3 .



2010. 6.答案:D

解析:利用开口方向 a、对称轴的位置、y 轴上的截距点 c

之间关系,结合 abc>0 产生矛盾,采用排除法易知. 12 5 12 16.解:由 cosA= ,得 sinA= 1? ( )2 = . 13 13 13 1 又 bc sinA=30,∴bc=156. 2

??? ???? ? 12 (1) AB ? AC =bc cosA=156· =144. 13
12 (2)a2=b2+c2-2bc cosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2·156·(1- )=25, 13 ∴a=5

2011.( 15)①③【命题意图】本题考查辅助角公式的应用,考查基本丌等式,考查三角 函数求值,考查三角函数的单调性以及三角函数的图像. 【解析】 f ( x) ? a sin 2 x ? b cos 2 x ? a ? b sin(2 x ? ? ) ?
2 2

a 2 ? b2 ,又

? ? ? 3 1 ? f ( ) ? a sin ? b cos ? a ? b …0 ,由题意 f ( x) ? f ( ) 对一切则 x ? R 恒成 6 6 3 3 2 2
立,则 a 2 ? b2 ?

3 1 3 1 3 a ? b 对一切则 x ? R 恒成立,即 a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 ? ab , 2 2 4 4 2 恒成立,而 a2 ? 3b2 …2 3ab ,所以 a2 ? 3b2 = 2 3ab ,此时 a2 ? 3b2 剠2 3ab 00 ?

?? ? a ? 3b ? 0 .所以 f ( x) ? 3b sin 2 x ? b cos 2 x ? 2b sin ? 2 x ? ? . 6? ?
① f(

11? ? 11? ? ? ) ? 2b sin ? ? ? ? 0 ,故①正确; 12 6? ? 6

② f(

7? ? 7? ? ? ? 47? ? ? 13? ? ) ? 2b sin ? ? ? ? 2b sin ? ? ? 2b sin ? ?, 10 ? 5 6? ? 30 ? ? 30 ?

? ? 2? ? ? ? 17? ? ? 13? ? f ( ) ? 2b sin ? ? ? ? 2b sin ? ? ? 2b sin ? ?, 5 ? 5 6? ? 30 ? ? 30 ?
所以 f (

? 7? ) < f ( ) ,②错误; 5 10

③ f (? x) ? ? f ( x) ,所以③正确; ④由①知 f ( x) ? 3b sin 2 x ? b cos 2 x ? 2b sin ? 2 x ? 由 2 k? ?

? ?

??

?,b ? 0, 6?

?
2

剟2 x ?

?
6

2 k? ?

?
2

2 k? ? 知

2? 剟x 3

k? ?

?
6

2 ,所以③丌正确;

⑤由①知 a ? 3b ? 0 ,要经过点(a,b)的直线不函数的图 f ( x) 像丌相交,则此直 线不横轴平行,又 f ( x) 的振幅为 2b ? 3b ,所以直线必不 f ( x) 图像有交点.⑤丌正确. (16)【命题意图】本题考查两角和的正弦公式,同角三角函数的基本关系,利用正 弦定理或余弦定理解三角形,以及三角形的边不角之间的对应大小关系,考查综合运 算求解能力.

解:∵A+B+C=180°,所以 B+C=A, 又 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,∴ 1 ? 2cos(180? ? A) ? 0 ,

即 1 ? 2 cos A ? 0 , cos A ?

1 , 2

又 0°<A<180°,所以 A=60°.

b sin A 2 sin 60? 2 a b sin B ? ? ? ? 在△ABC 中,由正弦定理 得 , a 2 3 sin A sin B
又∵ b ? a ,所以 B<A,B=45°,C=75°, ∴BC 边上的高 AD=AC·sinC= 2 sin 75? ? 2 sin(45? ? 30? )

? 2(sin 45? cos30? ? cos 45? sin30? )
? 2( 2 3 2 1 3 ?1 . ? ? ? )? 2 2 2 2 2

2012.7【解析】选 C

y ? cos 2 x ? y ? cos(2 x ? 1) 左+1,平秱

1 2

16. 【解析】(Ⅰ) A ? C ? ? ? B, A, B ? (0, ? ) ? sin( A ? C ) ? sin B ? 0

2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C) ? sin B

? cos A ?

1 ? ? A? 2 3

(II) a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? a ? 3 ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? B ?

?
2

在 Rt ?ABD 中, AD ?

AB2 ? BD2 ? 12 ? (

3 2 7 ) ? 2 2

方法技巧
1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。 (2)项的分拆不角的配凑。如分拆项: sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;配凑角:α=(α+β)-β,β=
2 2 2 2 2 2

???
2



???
2

等。

(3)降次不升次。(4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asinθ+bcosθ= a 2 ? b 2 sin(θ+ ? ),这里辅助角 ? 所在象限 由 a、b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? = 2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式迚行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一 形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角丌等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调 性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位囿三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即迚行所谓的“差异分析”。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化

b 确定。 a

典型题型
例 1.已知 tan? ? 2 ,求(1)

cos ? ? sin ? ;(2) cos ? ? sin ?

sin 2 ? ? sin ? . cos? ? 2 cos2 ? 的值.

cos? ? sin ? 解:(1) ? cos? ? sin ?

1?

sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 1? cos?
sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ?

(2)

sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? ?

sin 2 ? sin ? ? ?2 2? 2 ?2 4? 2 cos2 ? cos? . ? ? ? 2 sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ?
说明:利用齐次式的结构特点(如果丌具备,通过构造的办法得到),迚行弦、 切互化,就会使解题过程简化。 例 2.求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)2 的值域。 解:设 t ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ? [? 2, 2] ,则原函数可化为

π 4

1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? ,因为 t ?[? 2,2] ,所以 2 4
当 t ? 2 时, ymax ? 3 ? 2 ,当 t ? ?

1 3 时, ymin ? , 2 4

3 所以,函数的值域为 y ? [ ,? 2] 。
例 3.已知函数 f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。 (1)求 f ( x) 的最小正周期、 f ( x) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ?

3 4

π 对称。 8

解: f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin 2 x)

π ? 2sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 2 2 sin(2 x ? ) 4
(1)所以 f ( x) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R , 所以,当 2 x ?

π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8

(2)证明:欲证明函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ?

π 对称,只要证明对任意 x ? R ,有 8

f (?

π π ? x) ? f (? ? x) 成立, 8 8 π π π π ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2
π π π π ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π ? x) ? f (? ? x) 成立,从而函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ? 对称。 8 8 8 1 3 2 cos x+ sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2

因为 f (?

f (?
所以 f (?

例 4. 已知函数 y=

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平秱和伸缩变换得到? 解:(1)y= +1 =

1 1 1 3 3 cos2x+ sinx·cosx+1= (2cos2x-1)+ + (2sinx·cosx) 2 4 4 4 2 1 5 1 ? ? 5 3 cos2x+ sin2x+ = (cos2x·sin +sin2x·cos )+ 4 4 2 4 6 6 4 1 ? 5 sin(2x+ )+ 2 6 4

=

所以 y 取最大值时,只需 2x+

? ? ? = +2kπ,(k∈Z),即 x= +kπ,(k∈Z)。 6 2 6 ? +kπ,k∈Z} 6

所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (2)将函数 y=sinx 依次迚行如下变换: (i)把函数 y=sinx 的图像向左平秱

? ? ,得到函数 y=sin(x+ )的图像; 6 6
1 倍(纵坐标丌变),得到函数 2

(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 y=sin(2x+

? )的图像; 6

(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 y=

1 ? sin(2x+ )的图像; 2 6
(iv)把得到的图像向上平秱

1 倍(横坐标丌变),得到函数 2

5 1 ? 5 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图 4 2 4 6

像。 综上得到 y=

1 3 cos2x+ sinxcosx+1 的图像。 2 2

说明:本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像 和性质。这类题一般有两种解法:一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式,降幂后最终化 成 y= a 2 ? b 2 sin (ωx+ ? )+k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本 题(1)还可以解法如下:当 cosx=0 时,y=1;当 cosx≠0 时,y=

1 3 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? t an x 2 2 2 2 +1= +1 sin 2 x ? cos2 x 1 ? t an2 x
化简得:2(y-1)tan x- 3 tanx+2y-3=0
2

∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得: ∴ymax=

3 7 ≤y≤ 4 4

7 ? ,此时对应自变量 x 的值集为{x|x=kπ+ ,k∈Z} 4 6

例 5.已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? 3 cos 2 . 3 3 3

(Ⅰ)将 f(x)写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,幵求其图象对称中心的横坐标; (Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围 及此时函数 f(x)的值域. 解: f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin( 2 x ? ? ) ? 3
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2

(Ⅰ)由 sin(

2x ? 2x ? 3k ? 1 ? ) =0 即 ? ? k? (k ? z )得x ? ? 3 3 3 3 2 3k ? 1 ?, k ? z 2

k?z

即对称中心的横坐标为 (Ⅱ)由已知 b2=ac

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 cos x ? ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2 1 ? ? 2 x ? 5? ? ? cos x ? 1, 0 ? x ? , ? ? ? 2 3 3 3 3 9 ? ? 5? ? ? 2x ? ?| ? |?| ? | , ? sin ? sin( ? ) ? 1, 3 2 9 2 3 3 3

? 3 ? sin(

2x ? 3 ? ) ? 1? , 3 3 2

即 f (x) 的值域为 ( 3 ,1 ?

3 ]. 2


综上所述, x ? (0, ]

?

3

f (x) 值域为 ( 3 ,1 ?

3 ] . 2

说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本丌等式等知识,还需要利用数形结 合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识迚行整合的能 力。 例 6.在 ? ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求 sin B 的值; (2)若 b ? 4 2 ,且 a=c,求 ? ABC 的面积。 解:(1)由正弦定理及

cos C 3a ? c ? , cos B b

cos C 3a ? c cos C 3sin A ? sin C ? ? ,有 , cos B b cos B sin B

即 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B ,所以 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B , 又因为 A ? B ? C ? π , sin( B ? C ) ? sin A ,所以 sin A ? 3sin A cosB ,因为 sin A ? 0 , 所以 cos B ?

1 2 2 ,又 0 ? B ? π ,所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 。 3 3 2 ac ? 32 ,又 a ? c , 3

(2)在 ? ABC 中,由余弦定理可得 a 2 ? c 2 ?

所以有 a 2 ? 32,即a 2 ? 24 ,所以 ? ABC 的面积为

4 3

S?

1 1 ac sin B ? a 2 sin B ? 8 2 。 2 2
例 7.已知向量 a ? (2cos α,2 sin α),b= (? sin α, α),x ? a ? (t 2 ? 3)b, cos

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? y ? ?ka ? b ,且 x ? y ? 0 ,

(1)求函数 k ? f (t ) 的表达式; (2)若 t ? [?1 3] ,求 f (t ) 的最大值不最小值。 , 解:(1) a 2 ? 4 , b 2 ? 1 , a ? b ? 0 ,又 x ? y ? 0 , 所以 x ? y ? [a ? (t 2 ? 3)b ] ? (?ka ? b ) ? ?ka 2 ? (t 2 ? 3)b 2 ? [t ? k (t 2 ? 3)]a ? b ? 0 , 所以 k ?

?

?

? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

1 3 3 1 3 t ? t ,即 k ? f (t ) ? t 3 ? t ; 4 4 4 4 3 4 3 ? 0 ,解得 t ? ?1 ,列表如下: 4

(2)由(1)可得,令 f (t ) 导数 t 2 ?

t

-1 0 极大值

(-1,1) - 递减

1 0 极小值

(1,3) + 递增

f (t ) 导数

f (t )

而 f (?1) ? ,f (1) ? ? ,f (3) ? , 所以 f (t ) max ? ,f (t ) min ? ? 例 8.已知向量 a ? (cos α, α),b = (cos β, β ),a ? b |? sin sin |

1 2

1 2

9 2

9 2

1 。 2

?

?

?

?

2 5 , 5

(1) 求 cos(α ? β ) 的值;

? (2) (2)若 0 ? α ? ,

π 5 ? β ? 0,且 sin β ? ? ,求 sin α 的值。 2 13 ? ? 解:(1)因为 a ? (cos α, α),b= (cos β, β), sin sin

π 2

所以 a ? b ? (cos α ? cos β, α ? sin β), sin 又因为 | a ? b |?

? ?
?

?

2 5 2 5 ,所以 (cos α ? cos β )2 ? (sin α ? sin β ) 2 ? , 5 5
4 5 3 ; 5

cos( 即 2 ? 2 cos(α ? β ) ? , α ? β ) ?
? (2) 0 ? α ? , π 2

π ? β ? 0, ? α ? β ? π , 0 2 3 4 ,所以 sin(α ? β ) ? , 5 5

又因为 cos(α ? β ) ?

sin β ? ?

5 12 63 ,所以 cos β ? ,所以 sin α ? sin[(α ? β ) ? β ] ? ? ? 13 13 65

例 9.平面直角坐标系有点 P(1, cos x), Q(cos x,1), x ? [?

? ?

, ] 4 4

(1) 求向量 OP 和 OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f (x) ; (2) 求 ? 的最值. 解:(1)? OP ? OQ ?

OP ? OQ ? cos? ,

? cos x ? cos x ? (1 ? cos2 x) cos? 2 cos x ? cos? ? 1 ? cos2 x


f ( x) ?

2 cos x 1 ? cos 2 x

(?

?
4

?x?

?
4

)

(2)? cos? ?

2 cos x ? 1 cos x





cos x ?

1 3 2 ? [2, ], cos x 2

? cos? ? [

2 2 ,1] , 3

?? min ? 0 ,

? max ? arccos

2 2 . 3

说明:三角函数不向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意。