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山东省东营市一中2014届高三上学期第三次模块考试 数学(文)试题 Word版含答案


东营市一中 2013-2014 学年第一学期第三次模块考试 文科数学试题
命题人:高莉莉 审核人:梁景义 命制时间:2013.12

本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分, 共 4 页. 考试时间 120 分钟. 满 分 150 分. 答题前,考生务必用 0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定 的位置.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 一.选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知集合 M ? {?2, ?1, 0,1, 2},N ? {x | A. {?1, 0,1}
3

1 ? 2 x ?1 ? 8,x ? R} ,则 M ? N ? ( 2
C. {0,1} D. {?1, 0}



B. {?2, ?1, 0,1, 2}

2. a ? ( ) ,

2 x b ? x 2 , c ? log 2 x ,当 x ? 1 时, a, b, c 的大小关系为( ) 3 3 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? b ? a D. c ? a ? b
? ? 3 ? 2 ?

3.已知 ? ? ? ? , ? ?, cos ? ? ?

? 4 , 则 tan( ? ? ) 等于( 4 5
(C) ?

) (D) ? 7 )

(A)7

(B)
2

1 7

1 7

4.点 P ? 2, ?1? 为圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 25 内弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为( A. x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0

D. 2 x ? y ? 5 ? 0

5.已知等比数列 {a n } 中,公比 q ? 1 ,且 a1 ? a6 ? 8 , a3 a 4 ? 12 ,则 A.2 B.3

a11 = ( ) a6

C.6 D.3 或 6 ? x ? 2 y ? 2, ? 6. 设变量 x, y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 4, 则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值是( ) ?4 x ? y ? ?1, ?

A.6

B.3

C.-

3 2

D.1

7.设 a,b 是不同的直线, ?、? 是不同的平面,则下列命题: ①若 a ? b, a // ? , 则b // ? ③若 a ? ? , ? ? ? , 则a // ? 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 ②若 a // ? , ? ? ? , 则a ? ? ④若 a ? b, a ? ? , b ? ? , 则? ? ?

D.3

8.已知集合 A ? x | 2 x 2 ? x ? 3 ? 0 , B ? ? x | y ? 1g 则“ x ? A ? B ”的概率为( (A) ) (C)
2

?

?

? ?

1? x ? ? ,在区间 ?? 3,3? 上任取一实数 x , x ? 3?
1 12

1 4

(B)
2

1 8

1 3

(D)

9.若直线 y ? kx 与圆 ( x ? 2) ? y ? 1 的两个交点关于直线 2 x ? y ? b ? 0 对称,则 k , b 的值分 别为( (A) k ? )

1 1 , b ? 4 (D) k ? ? , b ? ?4 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ? 10. P 是 ?ABC 所在平面上的一点,满足 PA ? PB ? 2 PC ? 0 ,若 ?ABC 的面积为 1 ,则
(C) k ?

1 1 , b ? ?4 (B) k ? ? , b ? 4 2 2

?ABP 的面积为( )
A. 1 B. 2 C.

1 2

D.

1 3

11.设函数 f ( x) ? x sin x ? cos x 的图像在点 (t , ( f (t )) 处切线的斜率为 k,则函数 k=g(t) 的部 分图像为( )

12.设函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? a ? 0 ? a ? 2 ? 有三个零点 x1、x2、x3 , 且x1 ? x2 ? x3 , 则下列结论
3

正确的是( A. x1 ? ?1

) B.

x2 ? 0

C. 0 ? x2 ? 1

D. x3 ? 2

第 II 卷(共 90 分)
二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件,80 件,60 件。为了 解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查, 其中从丙车间的产品中抽取了 3 件,则 n =____ 14.设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是 C 上的点, a 2 b2

PF2 ? F1 F2 , ?PF1 F2 ? 30? ,则 C 的离心率为
15.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、 侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸, 可得这个几何体的体积是_____. 16.研究问题: “已知关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解
2

集为(1,2) ,解关于 x 的不等式 cx ? bx ? a ? 0 ” ,有如
2

下解法:由 ax 2 ? bx ? c ? 0 ? a ? b( ) ? c( ) 2 ? 0 ,令

1 x

1 x

1 1 1 2 ,则 y ? ( ,1) ,所以不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解集为 。根据上述解法,已知关 ( , 1 ) x 2 2 k x?b 于 x 的不等式 ? ? 0 的 解 集 为 (?3, ?2) ? (1, 2) , 则 关 于 x 的 不 等 式 x?a x?c kx bx ? 1 . ? ? 0 的解集为 ax ? 1 cx ? 1 y?
三.解答题: (本大题共有 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.) 17. ( 12 分)已知 ?ABC 的角 A 、 B 、 C ,所对的边分别是 a 、 b 、 c ,且 C ?

?
3

,设向量

?? ? ? ? m ? (a, b), n ? (sin B,sin A), p=(b-2,a-2) .
(1)若 m / /n ,求 B; (2)若 m ? p,S?ABC ? 3 ,求边长 c.

?? ?

?

?? ?

?

18.某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位: 千克/米 )如下表所示: A 身高 体重指标 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9
2

(Ⅰ)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9) 中的概率 19.(12 分)已知数列 ?an ? , a1 ? ?5 , a2 ? ?2 ,记 A(n) ? a1 ? a2 ? ? ? an ,

B(n) ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 , C (n) ? a3 ? a4 ? ? +an ? 2 ( n ? N * ),若对于任意 n ? N * ,
A(n) , B (n) , C (n) 成等差数列.
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 求数列 ?| an |? 的前 n 项和. 20. (12 分)三棱锥 P ? ABC ,底面 ABC 为边长为 2 3 的正三角形, 平 面 PBC ? 平 面 ABC , PB ? PC ? 2 , D 为 AP 上 一 点 , P D

AD ? 2 DP , O 为底面三角形中心.
(Ⅰ)求证: DO ∥面 PBC ; (Ⅱ)求证: BD ? AC ; (Ⅲ)求平面 DOB 截三棱锥 P ? ABC 所得的较大几何体的体积. A

C O B

21.(本小题满分 13 分)已知圆的方程为 x ? y ? 4 ,过点 M (2, 4) 作圆的两条切线,切点
2 2

分别为 A1 、 A2 ,直线 A1 A2 恰好经过椭圆 C1 : (1)求直线 A1 A2 的方程及椭圆 C1 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点和上顶点. a 2 b2

(2)椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率,求椭圆 C2 的方程; (3)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程. 22.(本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ?

??? ?

??? ?

a ? x ? 1? x2

,a

?0

(I)求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)若直线 x ? y ? 1 ? 0 是曲线 y ? f ? x ? 的切线,求实数 a 的值; (III)设 g ? x ? ? x ln x ? x f ? x ? ,求 g ? x ? 在区间 ?1, e ? 上的最小值.(其中 e 为自然对数的底
2

数)

阶段性测试答案(文) 1.A2.D3.B4.A5.B6.A7.B8.C9.A10.C11.B12.C 13.13 14.

3 5? 15. 3 3

16. ? ?1, ?

? ?

1? ?1 1? ??? , ? 2? ?3 2?

17.证明: (1)? m // n,? a sin A ? b sin B ????2 分 由正弦定理得

a 2 ? b 2即a ? b ???4 分
又? c ?

?
3
???4 分

? ?ABC为等边三角形 B?

?
3

由题意可知 m. p ? 0,即a (b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0

? a ? b ? ab ???①????8 分 1 由正弦定理和①②得, 3 ? . sin c.ab 2
?C ?

?
3

,? sin C ?

3 2

? ab ? 4 ???②????10 分
? c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? 3ab ? 16 ? 12 ? 4 ?c ? 2
18. ?????12 分

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)根据题意 A( n) , B ( n) , C (n) 成等差数列 ∴ A(n)+C (n) ? 2 B (n) ∴数列 ?an ? 是首项为 ?5 ,公差为 3 的等差数列 ∴ an ? ?5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 8 (Ⅱ) | an |? ? 整理得 an ? 2 ? an ?1 ? a2 ? a1 ? ?2 ? 5 ? 3 --------------2 分 --------------4 分 --------------6 分 --------------8 分

记数列 ?| an |? 的前 n 项和为 S n .

??3n ? 8, n ? 2 ?3n ? 8, n ? 3

n(5 ? 8 ? 3n) 3n 2 13 ?? ? n 2 2 2 (n ? 2)(1 ? 3n ? 8) 3n 2 13 ? ? n ? 14 当 n ? 3 时, S n ? 7 ? 2 2 2 ? 3 2 13 ? n ? n n?2 ? ? 2 2 综上, S n ? ? --------------12 分 ? 3 n 2 ? 13 n ? 14 n ? 3 ? ?2 2
当 n ? 2 时, S n ? 20. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连结 AO 并延长交 BC 于点 E , 连结 PE 、 DO . --------------1 分 D --------------2 分 A F O E B C P

? O 为正三角形 ABC 的中心,
∴ AO ? 2OE , 又 AD ? 2 DP , ∴ DO ∥ PE ,

? DO ? 平面 PBC , PE ? 平面 PBC --------------3 分

∴ DO ∥面 PBC .

--------------4 分

(Ⅱ)? PB ? PC ,且 E 为 BC 中点, ∴ PE ? BC , 又平面 PBC ? 平面 ABC ,∴ PE ? 平面 ABC . 由(Ⅰ)知, DO ∥ PE ,∴ DO ? 平面 ABC , ∴ DO ? AC 连结 BO ,则 AC ? BO , 又 DO ? BO ? O ,∴ AC ? 平面 DOB , --------------7 分 --------------6 分 --------------5 分

∴ AC ? BD . --------------8分 (Ⅲ)连结 BO 并延长交 AC 于点 F , 连结 DF , 则面 DOB 将三棱锥 P ? ABC 截成三棱锥 --------------9分 D ? ABF 和四棱锥 B ? DFCP 两个几何体 .

1 1 3 2 3 VD ? ABF ? ? S ?ABF ? DO ? ? 3? ? 3 3 2 3 3
1 1 VP ? ABC ? ? S?ABC ? PE ? ? 3 3 ? 3 3 3
∴所截较大部分几何体的体积为 21. (本小题满分 13 分)

-----------10分

--------------11分

2 3. 3

解: (Ⅰ) 观察知, x ? 2 是圆的一条切线,切点为 A1 (2, 0) ,--------------1 分 设 O 为圆心,根据圆的切线性质, MO ? A1 A2 , 所以 k A1 A2 ? ? --------------2 分 --------------3 分

1 k MO

??

1 , 2
1 ( x ? 2) 2

所以直线 A1 A2 的方程为 y ? ?

--------------4 分 --------------6 分

直线 A1 A2 与 y 轴相交于 (0,1) ,依题意 a ? 2, b ? 1 , 所求椭圆的方程为 (2)

x2 ? y2 ? 1 4

8分

9分

11 分

13 分 22. a>0 时 1分

3分
a ? 0时,在区间(-?,0),(2, +?)f?(x)>0,在区间(0,2)f?(x)<0 f(x)的增区间为(-?,0),(2, +?),减区间为(0,2)

4分


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