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安徽省长丰县高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(3)教案 新人教A版选修1-2

1.1回归分析的基本思想及其初步应用(3) 项目 课题 教学 2、 巩固掌握回归分析的基本思想、方法初步应用. 目标 3、 掌握函数模型拟合效果优劣判断方法。 教学重点: 通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为 教学 重、 难点 线性回归模型,了解在解决实际问题的过程中寻找更好的 模型的方法. 教学难点:了解常用函数的图象特点,选择不同的模型建模,并通过 比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学 直尺 准备 一、复习准备: 1. 给出例 3: 一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关, 现收集了 7 组观 测数据列于下表中,试建立 y 与 x 之间的回归方程. 温度 x / C 产卵数 y / 个 21 7 23 11 25 21 27 24 29 66 32 115 35 325 内容 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(3) 1、 通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法 修改与创新 (学生描述步骤,教师演示) 2. 讨论:观察右图中的散点图,发现样本点并没有分布在某个带状 区域内, 即两个变量不呈线性相关关系, 所以不能直接用线性回归方 教学 过程 程来建立两个变量之间的关系. 6EDBC319F25847 二、讲授新课: 1. 探究非线性回归方程的确定: ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域,可以选线性回归 模型来建模; 如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域, 就需选 择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲 线 y= C1eC2 x 的周围(其中 c1 , c2 是待定的参数) ,故可用指数函数模型 来拟合这两个变量. ③ 在 上 式 两 边 取 对 数 , 得 ln y ? c2 x ? ln c1 , 再 令 z ? ln y , 则 z ? c2 x ? ln c1 ,而 z 与 x 间的关系如下: 7 6 5 4 z 3 2 1 0 0 10 20 x 30 40 X z 21 1.946 23 2.398 25 3.045 27 3.178 29 4.190 32 4.745 35 5.784 观察 z 与 x 的散点图,可以发现变换后样本点分布在一条直线的附 近,因此可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 a ? ?3.843, b ? 0.272 , z 与 x 间的线性回归方程 为 z ? 0.272 x ? 3.843 , 因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程 为 y ? e0.272 x ?3.843 . ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题,可按“作散点图 ? 建模 ? 确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换, 将非线性回归问题转化成线性回归 问题. 三、巩固练习: 为了研究某种细菌随时间 x 变化,繁殖的个数,收集数据如下: 天数 x/天 繁殖个数 1 6 2 12 3 25 4 49 5 95 6 190 y/个 6EDBC319F25847 (1)用天数作解释变量,繁殖个数作预报变量,作出这些数据的散 点图; (2)试求出预报变量对解释变量的回归方程.(答案:所求非线性回 ? =e0.69 x ?1.112 .) 归方程为 y 1. 提问:在例 3 中,观察散点图,我们选择用指数函数模型来拟合 红铃虫的产卵数 y 和温度 x 间的关系,还可用其它函数模型来拟合 吗? 2. 讨论:能 用二次函数 模 型 t y 441 7 529 11 625 21 729 24 841 66 1024 115 1225 325 y ? c3 x2 ? c4 来拟合上述两个变量间的关系吗? (令 t ? x 2 , 则 y ? c3t ? c4 , 此时 y 与 t 间的关系如下: 400 300 200 100 0 0 500 t 1000 1500 观察 y 与 t 的散点图,可以发现样本点并不分布在一条直线的周围, 因此不宜用线性回归方程来拟合它,即不宜用二次曲线 y ? c3 x2 ? c4 来拟合 y 与 x 之间的关系. )小结:也就是说,我们可以通过观察变 换后的散点图来判断能否用此种模型来拟合. 事实上, 除了观察散点 图以外, 我们也可先求出函数模型, 然后利用残差分析的方法来比较 模型的好坏. 二、讲授新课: 1. 教学残差分析: ① 残差:样本值与回归值的差叫残差,即 ei ? yi ? yi . ② 残差分析:通过残差来判断模型拟合的效果,判断原始数据中是 否存在可疑数据,这方面的分析工作称为残差分析. 6EDBC319F25847 y ③ 残差图:以残差为横坐标,以样本编号,或身高数据,或体重估 计值等为横坐标, 作出的图形称为残差图. 观察残差图, 如果残差点 比较均匀地落在水平的带状区域中, 说明选用的模型比较合适, 这样 的带状区域的宽度越窄, 模型拟合精度越高, 回归方程的预报精度越 高. 2. 例 3 中的残差分析: 计算两种模型下的残差 一般情况下, 比较两个模型的残差比较困难 (某些样本点上一个 模型的残差的绝对值比另一个模型的小, 而另一些样本点的情况则相 反) ,故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合 效果. 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好. 由于两种模型下的残差平方和分别为 1450.673 和 15448.432, 故选用指数函数模型的拟合效果远远优于选用二次函数模型 . (当 然,还可用相关指数刻画回归效果) 3. 小结:残差分析的步骤、作用 三、巩固练习:练习:教材 P13 第 1 题 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(3) 板书 设计 1.非线性回归关系 2. 非线性回归方程的求解 例3 非线性回归关系是对线性回归关系的深化,它与线性回归关系又存在密切的联 教学 反思 系。对例 3,教师带领学生分析,由样本数据,画出散

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