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【北师大版】高中数学必修五__数列求和习题课-文档资料_图文

1 等差数列求和公式:

(1)Sn=n(a1+an)/2

(2) Sn=na1+n(n-1)d/2

2 等比数列求和公式:

(1)

Sn=

a1(1-qn) 1-q

q≠1

(2)

Sn=

a1-anq 1-q

q≠1

当q=1时,Sn=na1

一、知识要点
[等差(比)数列的性质]

{an}是公差为d的等差数列
性质1: an=am+(n-m)d

{bn}是公比为q的等比数列 性质1: bm ? bn q m?n

a a a a 性质2:若 n-k, n, n+k是{ n}中 性质2:若bn-k,bn,bn+k是{bn}

的三项, 则2an=an-k+an+k

b b b 的三项,则

2 n=

n-k?

n+k

性质3: 若n+m=p+q

性质3:若n+m=p+q

则am+an=ap+aq

则bn·bm=bp·bq,

性质4:从原数列中取出偶数项组 性质4:从原数列中取出偶数

成的新数列公差为2d.(可推广) 项,组成的新数列公比
为 q 2 .(可推广)

性质5: 若{cn}是公差为d′的等差 性质5: 若{dn}是公比为q′

数 列 , 则 数 列 {an+cn} 是 公 差 为 的等比数列,则数列{bn?dn}是

d+d′的等差数列。

公比为q·q′的等比数列.

{an}是公差为d的等差数列

{bn}是公比为q的等比数列

a 性质6:数列{ n}的前n项和为Sn
Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,???
成等差数列.

a 性质6:数列{ n}的前n项和为Sn
Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,???
成等比数列.

a 性质7:数列{ n}的前n项和为Sn
Sn?m ? Sn ? ndSm

a 性质7:数列{
Sn?m ? S

nn?}的q前nnS项m和为Sn

a 练习:等差数列{ n}中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24, a18 ? a19 ? a20 ? 78
则此数列前20项的和等于( B )

A.160

B.180

C.200

D.220

解:a1?a 2 ?a 3 ? ?24 ① a18 ?a19 ?a 20 ? 78 ②

① + ② 得:(a1?a 20 ) ? (a 2 ?a19 ) ? (a3 ?a18 ) ? 54

?a1?a20?a2?a19?a3?a18 ?3(a1?a 20 ) ? 54

? (a1?a 20 ) ? 18

?s 20 ?

20(a1?a 20 ) 2

?

20 *18 2

? 180

(2)在?an?中,a1 ? 1,an ? 3an?1 ? 4 (n ? 2,n? N ),求an

设:an ? t ? ( 3 an?1 ? t) 得:an ? 3an?1 ? 2t 令2t ? 4,解得t ? 2

换元法

?(an ? 2) ? 3(an?1 ? 2) ?{an ? 2}是以3为公比,以a1 ? 2为首项的等比数列

得:an ? 2 ? 3 ? 3n?1 ?an ? 3n ? 2

练习: 求和 1. 1+2+3+……+n 答案: Sn=n(n+1)/2 2. 2+4+8+……+2n 答案: Sn=2n+1-2
方法:直接求和法

例1 求数列 x, 2x2,3x3, … nxn,… 的前n项和。 解:⑴当x=0时 Sn=0

⑵当x=1时 Sn=1+2+3+…+ n=n(n+1)/2 ⑶当x ≠ 0且x≠1时

Sn=x+ 2x2+3x3+ … + nxn



xSn= x2 +2x3+3x4… + (n-1)xn +nxn +1 ②

①-②得:(1-x)Sn=x+ x2+x3+ … +xn - nxn +1

化简得: Sn =x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)

0

(x=0)

综合⑴⑵⑶得 Sn= n(n+1)/2

(x=1)

x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)

(x ≠ 0且x≠1)

小结 1:
“错位相减法”求和,常应用于形 如{anbn}的数列求和,其中{an}为等 差数列, {bn} 为等比数列.

练习 1
求和: 1/2+2/4+3/8+……+n/2n 方法: 可以将等式两边同时乘以2或1/2,
然后利用“错位相减法”求和.

例2:求和

11 1

1

Sn=2×5 +5×8 +8×11 + …+(3n-1) (3n+2)

解:∵数列的通项公式为

1

11 1

an=(3n-1) (3n+2) =3 (3n-1 -3n+2 )

∴Sn=13

1 (2

1 -5

1 +5

1 -8

1 +8

1 -11

1 +…+3n-4

-

1 11 3n-1 +3n-1 -3n+2 )

11 1

1

=3 (2 -3n+2 )=6n+4

小结2:
本题利用的是“裂项相消法”,此 法常用于形如{1/f(n)g(n)}的数列求和, 其中f(n),g(n)是关于n(n∈N*)的一 次函数。
方法:把数列中的每一项都拆成两项的 差,从而产生一些可以相消的项, 最后剩下有限的几项。
此方法应注意:对裂项公式的分析,通俗地 说,裂项,裂什么?裂通项。

练习 2: 求和

1

1

1×4 + 4×7

1 (3n-2)×(3n+1)

1 + 7×10

+…+

分析:an=(3n-2)×1 (3n+1)

1 =3

1 (3n-2

1 -3n+1

)

接下来可用“裂项相消 法”来求和。

例 3:求和

1

11

11

1+(1+2 )+(1+2 +4 )+…+(1+2 +4 +…+

1 解2n:-1 )∵an=1+12

1 +4

1 +…+2n-1

1×(1-21n ) =1

1 =2-2n-1

∴Sn=(2--210

1 )+(2--21

11-2

1

)+(2--22 )+…+(2--2n-1

)

111

1

=2n-( 20 +21 +22 +…+2n-1 )

1×(1-21n )

1

=2n-

1

=2n+2n-1 –2

1-

小结 3:
本题利用的是“分组求和法”
方法:
把数列的通项分解成几项,从 而出现几个等差数列或等比数 列,再根据公式进行求和。

练习 3
求和:1+(1+2)+(1+2+22)+…+(1+2+22 +…+2n-1)
分析:利用“分解转化求和”

总结:

常见求和方法

适用范围及方法

直接求和 (公式法) 倒序求和 错位相减
裂项相消

等差、或等比数列用求和公 式,常数列直接运算。
等差数列的求和方法
数列{ anbn}的求和,其中{an} 是等差数列,{bn}是等比数列。 数列{1/f(n)g(n)}的求和,其中 f(n),g(n)是关于n的一次函数。

分组求和法 把通项分解成几项,从而出现 几个等差数列或等比数列进行 求和。

巩固练习(今日作业):
⑴求 1 , 1 , 1 , 的前n 项和
1? 3 3? 5 5? 7

⑵求数列 9, 99, 999, 的前n项和

(3)求和12

1 ?

2

?

1 22 ?

4

?

32

1 ?

6

?

1 42 ?

8

?

?

n2

1 ?

2n

(4) 求和: Sn ? 2 ? 2? 22 ? 3? 23 ? ? n ? 2n

(5)求和:

1+

1 1+

2

+

1+

1 2+3

+?+ 1+

2+

1 3+?+

n

作业:P61. 4
再见!