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张景中院士主编的湖南版高中数学教材中的有关内容


张景中院士主编的湖南版高中数学教材中的有关精彩内容
自己引进的记号,使用时要说明。 温故知新:遇到一个问题而不知道如何解答 时,不妨想想过去做过的类似的问题。看哪 些经验适用于解决新的问题。

开区间的记号,可能和点的坐标写法混淆。 要根据上下文来确定它的具体意义。 德国有一位哲学家黑格尔说: “你能吃樱桃和 李子,但不能吃水果。 ” 必要条件,少了不行,充分条件,有它足够。 数学中更关心的,是那些能刻画明确的因果 关系的函数。 花功夫研究这种有大量应用的函数,才是一 本万利的事。――非技巧 关注数学与生活的联系,与一般思维的联系 学数学不要忘记了图形。 由差分法→微分法 集合与函数 日落月出花果香,物换星移看沧桑。因果变化多联系,安得良策破迷茫。集合奠基说严谨, 映射函数叙苍黄。看图列表论升降,科海扬帆有锦囊。 学集合是为了说话。数学里说话讲究简洁和准确。 为什么要学函数?函数是描述客观世界变化的数学模型。 函数的思想方法不仅将贯穿高中数 学课程的始终, 还会成为你今后可能学习或用到的数学知识的主旋律。 用函数的观点看数学 和其他学科的许多问题,必有纲举目张的效果。 自己引进的记号,使用时要说明。 数学里通用的专有符号,留心记住它们。 开会的时候, 先一一介绍在主席团和前排就座的贵宾, 用列举法。 主席致辞时说 “各位老师, 各位同学” ,用的就是描述法了。 把一个集合里的元素弄清楚,常常比表示这个集合难得多。例如,交通规则里清楚地说明了 什么是违章驾驶,但要把违章驾驶的司机都找出来,可真是不容易。 开区间的记号,可能和点的坐标写法混淆。要根据上下文来确定它的具体意义。 德国有一位哲学家黑格尔说: “你能吃樱桃和李子,但不能吃水果。 ” 文学家和数学家谈起美的问题。文学家说:诗词歌赋中有许多巧夺天工的联句,例如“”物 华天宝,人杰地灵“。数学家说,数学里有很多自然形成的对偶,如加和减,正和负,乘和 除,子集和它的补集。处处呈现出对称的美。 补集的思想,在生活中和数学中都是很有用的。把 8 点 57 分说成是 9 点差 3 分,重要的日 子到来之前的“倒记时” 。珠算加法口诀里的“3 下 5 去 2” 、 “9 退 1 进 1” 。几何里常常要用 到互补或互余的角,都含有补集的思想。 在一粒花生米上能画出很多曲线;在乒乓球的表面上,也能画很多曲线。有没有一条花生米 上的曲线,它和乒乓球上的某条曲线一模一样呢? 注意, ,不是数 2 和数 1。 1? 。方程(指一元二次方程)的解是数组(2,1) 1?? 不是 ?2, ?? 2,

必要条件,少了不行,充分条件,有它足够。 生活中,课堂上,映射无处不在。例如:住户有门牌;商店有招牌;商品有商标;国家有首 都;大人有身份证,学生有身份证;中国人有生肖;学习历史,每个事件都有对应的年份; 地理课上, 每个省区有人口数、 特产; 化学里, 元素的相对原子质量; 物理里, 物质的密度; ?? 名字和映射。 也许你说,可以编号,用号码代替名字。但这样做,号码就是名字了。还是要有名字,没有 名字,做事、说话都难。 一切知识都反映了客观事物的联系,映射正是描述事物联系的工具。 数码相机,数码电视,数码城市,数码世界,各种事物都可以用数来表示,所以映射也都可 以表示函数。在不少数学和计算机科学书上,所说的函数其实就是映射。 把这种集合到集合的确定性的对应说成是映射。 象棋盘上的马,从角上出发跳了 9999 步,能回到出发点吗?要 是具体地试验这 9999 步的各种跳法, 100 年也不够。 有一个巧妙 的方法来解决这个问题: 把棋盘上的交叉点交替地染成黑色和白 色,马走日字,一步只能由白到黑或由黑到白。跳两步不变色。 跳奇数步一定变色。??把点染成黑白两色,就是设计了一个从 格点集到两元素集 黑,白 的映射。 数学研究的对象是抽象的。抽象的东西看不见摸不着,把它表示 出来才好研究。所以数学讲究表示。 用解析式表示函数简捷明了, 便于计算函数值和推导函数的性质, 是最基本最常用的函数表 示方法之一。只要有可能,人们总是想用解析式来表示函数,哪怕是近似地来表示。 当然, 在知道了函数较多性质后, 利用这些性质, 可以描述较少的点也能得到较正确的图像。 数学中更关心的, 是那些能刻画明确的因果关系的函数。 这种函数会反复在实际问题和理论 探讨中出现。花功夫研究这种有大量应用的函数,才是一本万利的事。 谈到一个人,可以用几句话简单地概括他的特征和状况。??遇到一个函数,也常常从几个 方面看看它的总的特征,更细致地研究它就会方便一些。 幼儿园里有看图识字,小学有看图作文。现在要看图读出函数的性质。图里有丰富的信息, 学数学不要忘记了图形。 报纸上和网上几乎天天有这种股票指数走势图,它的升降和成千上万投资人的利益密切相 关。 函数的单调性把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系起来,因此十分重要。 在日常生活中,经常遇到常数函数的。??你能不能再举出一些常数函数的例子? 从图上观察函数的性质,难免有一些疑问:只考眼睛观察得到的认识是不是准确呢?例如, 从有界限的图怎能看出函数值是无界限的呢?曲线的对称性怎能看得那么精确呢?描点连 线画图的可靠性任何保证呢? 发现疑点,提出疑问,是学习数学的好习惯,是创新思维的开始。你能不能提出更多的问题 呢? 要回答这些问题,必须把描述函数性质的自然语言严密化、精确化,提炼成数学语言,再联 系函数的解析式作更深入的讨论。 从图像看函数的性质。从解析式看函数的性质。 通常,在描点连线时,两点之间用一段平滑曲线连起来就是了。但是,实际的情形可能要复 杂得多,这两点之间的曲线,可能会拐上几道弯。当然也许是平滑的。多取些点不能从根本

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上解决问题,这里需要的是数学思维,是推理。 想一想:有界函数的图像有什么特征???在定义域〔a,b〕上递减的函数 f(x) ,最大值是 多少?若在 f(x)在〔a,u〕上递减而在〔u,b〕上递增,最小值是多少? 研究函数增减性的有效方法,是检验其差分的正负。 好的表达方式,会启发出好的想法,会引导出好的解决问题的方法。用 x 和 x+h 代替 x1 和 x2,强调了两者的联系,引出了差分的概念,自然地产生了检验函数增减性质的可操作的方 法。差分的方法,进一步发展成为更有力的处理函数的方法,即微分法。那是后面的选修课 的重要内容,也是高等数学的主题之一。 画函数图像,首先要确定画在何处,也就是要知道图像的位置和范围。求出了函数的定义域 和值域,就知道了图像的位置和范围。 求值域:①从函数的图像上,也能直观地看出值域:把图像上的点向 y 轴上作投影,投影点 集合对应的数集,就是函数的值域。这种方法也观察法。②这种由是否存在自变量相对应来 确定函数值域的方法,叫作逆求法。③这一方法叫作不等式法。 从图上看函数的性质,直观简捷,但对于函数图像不是直线的函数,我们的观察是不是可靠 呢?配合解析式的分析就更全面了。 知道了函数的解析式,检查奇偶性比作图观察既方便又准确。 写出 f(x)=(x-m)2 在区间〔-1,1〕上的最大值和最小值。让 m 取具体数值,就容易 明白了。

温故知新,是学习知识的一般规律。 温故知新,用新知识解决老问题。 从特殊过渡到一般,是思考数学问题的好方 法。 有时候,解题的困难,在于不知道要求的东 西究竟是什么,也就是问题没有说清楚。把 问题说清楚了,往往就有了解决的办法。

有时对特殊问题可用特殊方法。如求函数 y =sinxcosx 的极值。 以直代曲。

猜一猜, 如果知道了 f ?( x ) 和 g ?( x ) , 是不是有 ( f ( x) g ( x))? ? f ?( x) g ?( x) 呢?用具体例子试 试看。让 f ( x) ? 3 , g ( x) ? x ,有 ( f ( x) g ( x))? ? f ?( x) g ?( x) 吗?很遗憾,我们得不到这么 方便的公式。还是从从定义出发,老老实实地推算吧。 类比是一种相似,即类比的对象是某些部分 或关系上的相似。 一个算法,就是一个映射。 因与果就是一个映射。三相推理也如此。 顺序结构。有些事情,只要按顺序做,就能一气呵成。 条件结构。使用公式解题,有时也要判断一下题目中的已知数是否符合公式要求的条件,不 要贸然行事,以免徒劳无功。 循环结构。循环结构做的是大量的同类型的操作。循环必须有始有终,何时退出循环,就要 条件作判断。所以,循环结构离不开条件结构。

选修 2-2
求积问切难题多,瞬速极值奈若何。群贤同趋坎坷路,双雄竞渡智慧河。百年寻谜无穷小,

万代受益财富多。撑起数学参天树,人类精神凑凯歌。 温故知新:遇到一个问题而不知道如何解答时,不妨想想过去做过的类似的问题。看哪些经 验适用于解决新的问题。

从特殊过渡到一般,是思考数学问题的好方法。 有时候,解题的困难,在于不知道要求的东西究竟是什么,也就是问题没有说清楚。把问题 说清楚了,往往就有了解决的办法。 过去我们常常把分母有理化,这一次反其道而行之,要把分子有理化才能解决问题。 猜一猜, 如果知道了 f ?( x ) 和 g ?( x ) , 是不是有 ( f ( x) g ( x))? ? f ?( x) g ?( x) 呢?用具体例子试

) g (?x) 试看。让 f ( x) ? 3 , g ( x) ? x ,有 ( f ( x) g( x)) ? ?f (?x
方便的公式。还是从从定义出发,老老实实地推算吧。

吗?很遗憾,我们得不到这么

导函数与原函数的单调性的独特处理:在同一直角坐标系中,画出导函数与原函数的图 像??有用差分判断单调性与求导判断单调性的比较。 有导数绝对值大小和函数的性态关系 的分析。 有时对特殊问题可用特殊方法。如求函数 y=sinxcosx 的极值。 策略:化整为零,以直代曲。 ―――――积零成整。

多罗嗦呀!严谨是要付出代价的。如果不严谨,就说不清楚,就无法论证,就要付出更大代 价。 类比是一种相似,即类比的对象是某些部分或关系上的相似。 “问君能于多少愁,恰似一江春水向东流” (李煜)――类比 伽利略妙用反证法。

算法
一个算法,就是一个映射,也可以叫作一个函数。问题中的已知数据就是函数的自变量,最 后得到的答案就是函数值。 不过, 这里的自变量可能不是一个数而是几个数, 或是一些符号; 函数值也可能是几个数,或一些符号。 这是一类特殊数:从自变量出发,能够一步一步地构造出函数值来。所以,算法也可以看成 是可构造的函数,或可计算的函数。 算法就是对一类问题的有章可循的通用求解方法。 判断器,执行器,输入器,输出器。

顺序结构。有些事情,只要按顺序做,就能一气呵成。 条件结构。使用公式解题,有时也要判断一下题目中的已知数是否符合公式要求的条件,不 要贸然行事,以免徒劳无功。 循环结构。循环结构做的是大量的同类型的操作。循环必须有始有终,何时退出循环,就要 条件作判断。所以,循环结构离不开条件结构。 窥一斑而知全貌。

统计
大量的原始数据如果不经过有序的分析、整理,并通过适当的形式表示出来,就好比一堆没 有经过冶炼的矿物,没有什么用途。 分析整理数据的方法之一是用图表把它们表达出来。 图表中包含的信息极多, 因为数据中的 大量信息都可以概括在图表内。图表使人一目了然。一幅图或一张表往往胜过 1000 个字。 树茎,树叶。双茎叶图。 对于没有分段的观察数据可以用数据的茎叶图展示它的特征。 分布。相关性。 元素。样本点。基本事件。 在概率的语言中,我们将“随机”解释成“等可能” 。 用数据说话。 随机对照实验――走向科学,减少人为因素

计数
分类时,首先要根据问题的特点确定一个适当的分类标准,然后用这个分类标准进行分类。 分类时还要注意两条基本原则: 一是完成这件事的任何一种方法必须分入相应的类; 二是不 同类的方法必须是不同的方法。只要满足这两条基本原则就可以使记数不重不漏。 使用分步记数原理时,首先要根据问题的特点确定一个合理的分步标准。其原则是:如果分 成 n 个步骤,那么需要而且只需要依次完成这 n 个步骤,这件事就最终完成。 比较:如果完成一件事有 n 类办法,这些办法之间是相互独立的,无论哪一类办法中的哪一 种方法都能完成这件事,求完成这件事的方法数时,用分类记数原理。 如果完成一件事需要分成 n 个不可缺少的步骤, 即只有依次完成所有的步骤, 才能完成这件 事,而完成每一个步骤都有若干不同的方法,求完成这件事的方法数时,用分步记数原理。 捆绑法。

三角函数
近测高塔远看山,量天度海只等闲。 古有九章勾股法,今看三角正余弦。 边角角边细推算,周长面积巧周旋。 前贤思想多奥妙,佳品醇香越千年。 怎样度量平面上的转动?―――想不出来也不要紧,在下面的课程中我们一起研究。

用数据说话。

一幅图或一张表往往胜过 1000 个字。

分类时,首先要根据问题的特点确定一个适当的分类标准,然后用这个分类标准进行分类。 分类时还要注意两条基本原则: 一是完成这件事的任何一种方法必须分入相应的类; 二是不 同类的方法必须是不同的方法。只要满足这两条基本原则就可以使记数不重不漏。 弧度制―――新概念最能体现创新精神,是 创新教育的根本所在――新概念新方法―― 创新的成果 圆弧 ? AB 的长度与角 ? 的大小成正比,可以 用来度量角 ? 的大小。

为什么在角度之外还要引入弧度制?为什么在科学研究中更偏向于使用弧度制而不偏向于 使用角度制?这是因为弧度制能使微积分中的有关公式特别简单。 你以后学了高等数学就会 知道。 为什么可以将“弧度”略去?弧度数的大小是弧长与半径两个长度之比,应是一个没有单位 的数,因此可以将“弧度”这个单位略去。 三角的精髓―――――转化 请尝试自己利用三角函数线研究 π ± ? 与 (前面有一定经验) ? 之间的三角函数的关系

用函数线来研究三角函数真是十分便利。怎样想到的?单位圆、函数线是有机的整体,函数 线是单位圆的派生。函数线只是在三角局部范围内有效的分析方法。 转动超过一圈,角度就超过 360°。 规定了一个旋转方向为正,与它相反方向旋转的角度就为负。 判断角所在的象限,只管终边位置,不计较旋转过程。 弧度制―――新概念最能体现创新精神, 是创新教育的根本所在――新概念新方法――创新 的成果――问题――怎样研究(方法)――研究成果 圆弧 ? AB 的长度与角 ? 的大小成正比,可以用来度量角 ? 的大小。 为什么在角度之外还要引入弧度制?为什么在科学研究中更偏向于使用弧度制而不偏向于 使用角度制?这是因为弧度制能使微积分中的有关公式特别简单。 你以后学了高等数学就会 知道。 为什么可以将“弧度”略去? 弧度数的大小是弧长与半径两个长度之比,应是一个没有单位的数,因此可以将“弧度”这 个单位略去。 ﹡三角的精髓―――――转化―――化任意角为?? ﹡数形结合――函数,三角 请尝试自己利用三角函数线研究π ± ? 与 ? 之间的三角函数的关系(前面有一定经验) ﹡转化、转换(角度) 这个法则可总结为口诀: “函数名不变,符号看象限” 。 “符号看象限”是说根据 ? 为锐角 时 kπ ± ? 所在象限判断符号。 ﹡用函数线来研究三角函数真是十分便利。怎样想到的?单位圆、函数线是有机的整体,函 数线是单位圆的派生。函数线只是在三角局部范围内有效的分析方法。 ﹡﹡转化、数形结合、分类是基本方法,具体问题具体分析是精髓,是灵魂。

数列
玉兔子孙世代传,棋盘麦塔上摩天,坛坛罐罐求堆垛,步步为营算连环。 数列寻根属函数,自成一格意盎然。等差等比初学步,登堂入室看来年。

数列求和的方法之一:累加法。 数列求和的方法之二: “倒序”求和法。 数列 ?an ? 成等差数列的充要条件为 an ? dn ? b 。

首项 a1 和公差 d 是等差数列最重要的量,把已知条件用涉及 a1 和 d 的方程表示。 答案是否正确,是否切实可行,最终要靠实 践来检验。 如此简单的等式

1? 1? 1 ? ? b ? a ? b ? a 居然代表了这么一个几何定理。你觉得神奇吗? 2 2 2 ??? ? ??? ? ???? 1 1 OA ? OB ? OC 的几何意义是:AB 的中点就是 OC 的中点。――一不小心就算出了 2 2

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一个几何定理――解释

b ? a ?b ? a? b ? a ?b 什 想一想: a = a 对不对,为什么?由 a ? a 能不能推广到 a?
么时候正确?

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首项 a1 和公差 d 是等差数列最重要的量,把已知条件用涉及 a1 和 d 的方程表示。 例 已知数列 ?an ? ,求证: (1)若数列 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ,则数列 10 为 q ? 10d 的等比数列; (2)若数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, ,则数列 ?lg an ? 是公差为 d ? lg q 的等差数列。 ――――两类数列类比的基础

? ? 是公比
an

a a a an ? a1 ? 2 ? 3 ? ?? n 这就是“累乘”法或错位相约法。 a1 a2 an?1
Q 倍错位相减法。 当公比没有确定时,运用求和公式一般要对公比 q 是否为 1 进行讨论。 利用等比数列求和公式时,要讨论公比是否为 1。????统一到更一般的情形 数形结合,看图说话。

□ 向量
方向距离一笔挥,茫茫大海系安危,展开合并等闲算,勾股余弦未足奇。 将这个实际问题用数学语言描述出来,变成一个数学问题―――这就是数学建模。

答案是否正确,是否切实可行,最终要靠实践来检验。 向量只有两要素:方向、大小。只管方向和大小,不计较出发点。 证明过程中用到平行四边形的判定和性质定理。 这一事实说明向量加法交换率暗藏了平行四 边形的判定定理和性质定理。 从 A 到 B 再到 A;走去又走回,一步也没移。 有的书也称- a 为 a 的负向量。但这并非说 a 是正的、- a 是负的,只是说它们的和为 0 。 特别,零向量的相反向量(负向量)等于它本身。

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 位置的改变量 AB 自然用位置的改 AB ? OB ? OA .点 A,B 的位置用位置向量 OA, OB 表示,
变量来表示。 想一想:若 OA 的任一实数倍 PQ ? ?OA ,则直线 PQ 与 OA 有怎样的位置关系? 向量与实数相乘的分配率暗藏了关于三角形相似的几何定理。 如此简单的等式

??? ?

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??? ?

1? 1? 1 ? ? b ? a ? b ? a 居然代表了这么一个几何定理。你觉得神奇吗? 2 2 2 ??? ? ??? ? ???? 1 1 OA ? OB ? OC 的几何意义是:AB 的中点就是 OC 的中点。――一不小心就算出了 2 2

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一个几何定理――解释 应当认识到, 向量运算与数的运算是不同的, 这些运算对于向量是否成立, 不是理所当然的, 需要加以证明。虽然你可以不掌握这个证明,但应当感谢别人为你证明过了。

b ? a ?b ? a? b ? a ?b 什 想一想: a = a 对不对,为什么?由 a ? a 能不能推广到 a?
么时候正确? 两个非零数的乘积一定不为零。 但两个非零向量的数量积却可能等于零, 只要它们相互垂直。 这没有什么奇怪: 两个向量的数量积不是两个数的乘积而是三个数的乘积, 即使两个向量都 不为零,也只能说明这三个数中有两个数 (两个向量的模)不为零, 第三个数 (夹角的余弦) 还可能等于零。以做功为例:即使力 F 与位移都不为零,只要力与位移垂直,做的功仍然 等于零。 一不小心就由如此简单的乘法公式得出了如此重要的勾股定理和余弦定理, 向量的运算真神 奇!

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设 ABCD 是四边形, 则 AC ? BD ? AB ? CD ? BC ? DA .本题如果用几何方法证明,
2 2 2 2

没有固定的方法可循,需要像等待“神仙下凡”那样突然想出一个巧妙的思路。而用向量计 算来证明,像“愚公移山”那样按部就班地算下去就得到了结果。其中的关键是要将几何性 质翻译为向量算式来算。 不要以为向量离了坐标就活不成,一见到向量就赶快写成坐标。上例没有用坐标,向量活得 很潇洒,干得很漂亮。如果硬要用坐标,你试试看能否从繁琐的运算中突出重围。 不拘泥代数、几何,谁更方便就用谁。 用不用坐标,怎样用坐标,应当视具体问题而定,不要千篇一律。 (用向量推导三角公式) (三角与单位圆)

学而时习之。温故而知新。上下而求索。

□ 立体几何
对一个较复杂的图形我们往往把它分割成几个部分来各个击破, 这种分割的方法是求面积或 体积的一种重要方法。 同学们应当逐渐习惯用集合语言来描述数学的关系。 你习惯了用集合语言叙述的这个推理过程吗?这其实是说??引导 在处理空间的线面之间的关系问题时,我们往往要尽量转化为一个平面内的问题来解决。 (平面与平面平行的性质定理)实现了由“面面平行”到“线面平行”的转化。――一条定 理一条路。 (平面与平面平行的判定定理) 这个定理由线面平行得到了面面平行。 又是一次很好的转化。 定理 5 中把“两条相交直线”改为“两条直线”还成立吗?为什么? 这里又由线线垂直得到了线面垂直。看来转化的思想确实十分有用。 本例又用反证法证,你知道如何用反证法了吗? (两个平面垂直的判定定理)又是由线面垂直得到面面垂直,还是在转化。 割补的方法对求体积十分有用,要认真体会。 注意还要进一步探求。看还有没有特殊性,不能到此就止。 你是否会问:假如△ABC 不是求直角三角形,怎样求它的面积?你应当提出这个问题,暂 时回答不出来也没有关系,以后再研究。

解析几何
(A,B)是直线 Ax ? By ? C ? 0 的法向量,这是解决直线方程问题的钥匙。掌握了这把钥 匙,你就得心应手了。 凑。凑一个(a,b)与垂直的向量。 想一想,你能把这些算法推广到一般的情况吗? 判定直线的位置关系,还是用法向量这把钥匙。你喜欢这把钥匙吗? (a+b)2 展开产生了一次项,反过来,怎样消除一次项呢?可以用配方法! 这个公式不需要记住,只要会用配方法将一般方程化为标准方程就可以。

基本函数
◇ 指数函数、对数函数和幂函数,是描述增加或衰减过程的三种基本数学模型,又是共同 乘法和加法两种基本元素的桥梁。 用数学语言、符合或图形来刻画、描述和反映特定问题或具体之间关系所形成的数学结构,

叫数学模型。这里所的数学结构,可以是方程、方程组、函数、集合、图形、表格或这些数 学对象的组合。把实际问题化成数学问题,叫作建立数学模型。 概念形成之后,它就要服从推理的规律。
m ?n

a ?a 如果把 a 看成常数, a 就成了 n 的函数。记 f(n)= a ,则 a ?
n n
m n

就是 f(m)f(n)=

f(m+n)。 如 果 函 数 f 满 足 f(m)f(n) = f(m+n) , 并 且 f ( c ) = 0 , 则 对 任 意 的 x , 有 f(x)=f(x-c+c)=f(x-c)f(x)=0 ,可见, f(x) 只要不恒为 0 ,就处处不等于 0 。又因为: f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),可见只要 f(x)不恒为 0,一定有 f(0)=1。指数函数 f(x)= a , 当 x=0 时,取值为 1,绝非偶然。
x

(a ? b) 2 。注意,当被开方表达式含有字母时,有些同学会忽略正负号的考虑,在 a<b
时开出(a-b)来。
m m n

规定:a>0,m,n ? N 且 n≥2 时, n a m ? a n ,

1
n

am

?a

?

。――好的符号不仅能简化运

算,更能启迪思维,为新概念的出现提供创新的环境。 ﹡在一定条件下,负数也有分数指数幂,我们这里不讨论。 比较大小,可用求商法,也可找第三个数帮忙。 (对数的引进)社会生活中遇到一个复杂的问题,一时不好解决,有时就成立一个委员会或 其他机构,研究处理有关的问题,例如,精简机构办公室,计划生育办公室。数学里对于一 下子不好解决的问题,常常是先起个名字,引进一种运算或概念,定义一个函数来研究它, 研究清楚了,问题就解决了。 一件事可以有两种说法。数学里也常常用不同的形式来表达同一个事实。例如 3x=4y 可以 写成

x y ? ,0<x<1,可以写成 x ? (0,1) 。你能举出更多的例子吗? 4 3
2

将 log x b ? 2 改写成指数式: x ? b (x>0,x≠1) 。――这里,x>0,x≠1 是哪里来的? 不写上行吗? 对数的运算法则中, 最重要的是 loga (MN ) ? loga M ? loga N ,它刻画了对数运算的基本性 质:化乘为加。你用这一条法则推导出其他法则吗? 画出函数 y ?

1 的图像,曲线下在区间〔1,e〕上的这块面积恰好等于 1。 x

(自然对数,常用对数)如果在一个国际会议上,会议代表使用的语言有 10 种,每两种语

言用一个翻译,要用 45 个翻译。实际上多少个就够了呢? 武侠小说里的大侠,讲究练内功。从概念出发解决问题,是数学内功。 很多有关对数的问题,可以运用基本概念化为幂指数的问题来解决。少背公式,多用概念, 是增强数学功力的要诀之一。 对数函数 y=f(x)满足 f(uv)=f(u)+f(v), 反过来, 满足这个关系的不恒为 0 的单调函数, 一定是对数函数。

y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x , y ?
同之点?

1 1 , y ? 2 这 6 个幂函数,各有什么特色?它们有没有共 x x

在等式 A ? B 中,取定一个字母为常量,另两个设置为自变量 x 和函数值 y,这样一个能
C

够得到几类函数?都是哪些函数? 幂函数 y=f(x)有如下性质:f(uv)=f(u)f(v),如果有不恒为 0 的函数满足上述关系,那 么,令 v=1,有:f(u)=f(u)f(1),所以 f(1)=1。 必须指出,只有在 ? ≥0 的条件下,才能保证两根 x1和x2 都是实根。 方程 x ? 5x ? m ? 0 的两个实根都大于 1,求实数 m 的变化范围。――两根都大于 1,小根
2

当然也大于 1,反过来,小根大于 1,那么另一根当然更大于 1。――先画出 y ? x2 ? 5x 的 图像,然后平移。 从图像(局部)上看, y ? log1.1 x 好像比 y ? 1.1 跑得快。其实不然。图很大很大时,就能
x

看见后者追上前者。现在可用计算器来探索。


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