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第2部分专题一第4讲 不等式


第 4 讲 不等式 不等式的解法[学生用书 P15]自主练透 夯实双基 1.一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0), 再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根, 最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. 2.简单分式不等式的解法 f(x) (1) >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); g(x) f(x) (2) ≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. g(x) 3.指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式,可利用函数的单调性求解. [题组通关] 1.设函数 f(x)=? ?2x-3,x≥2, ? 2 ?x -3x-2,x<2, ? 若 f(x0)>2,则 x0 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) 5 ? B.(-∞,-1)∪? ?2,+∞? 5 ? C.(-∞,-1)∪? ?2,+∞? D.(-∞,-1)∪[2,+∞) ?x0≥2, ?x0<2, ? ? 5 B [解析] 不等式 f(x0)>2 可化为? 或? 2 解得 x0> 或 x0< 2 ? ?2x0-3>2, ? ?x0-3x0-2>2, -1,故选 B. 2.已知函数 f(x)=(ax-1)(x+b),若不等式 f(x)>0 的解集是(-1,3),则不等式 f(-2x) <0 的解集是( ) 3 1 -∞,- ?∪? ,+∞? A.? 2 ? ? ?2 ? 3 1 - , ? B.? ? 2 2? 1 3 -∞,- ?∪? ,+∞? C.? 2 ? ? ?2 ? 1 3 - , ? D.? ? 2 2? A [解析] 由 f(x)>0,得 ax2+(ab-1)x-b>0, 又其解集是(-1,3), ab =2, ?1- a 所以 a<0,且? b ?-a=-3, 1 解得 a=-1 或 (舍去), 3 所以 a=-1,b=-3,所以 f(x)=-x2+2x+3, 所以 f(-2x)=-4x2-4x+3, 由-4x2-4x+3<0,得 4x2+4x-3>0, 1 3 解得 x> 或 x<- ,故选 A. 2 2 3.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是________. [ 解 析 ] 当 a = 2 时 , 不 等 式 化 为 - 4 < 0 , 恒 成 立 ; 当 a≠2 时 , 由 条 件 知 ? ?a-2<0, ? 解得-2<a<2.综上所述,a 的取值范围是(-2,2]. 2 ?Δ =4(a-2) +16(a-2)<0, ? [答案] (-2,2] 不等式的求解技巧 (1)对于和函数有关的不等式,可先利用函数的单调性进行转化. (2)求解一元二次不等式的步骤:第一步,二次项系数化为正数;第二步,解对应的一 元二次方程;第三步,若有两个不相等的实根,则利用“大于在两边,小于夹中间”得出不 等式的解集. (3)含参数的不等式的求解,要对参数进行分类讨论. 基本不等式及其应用[学生用书 P15]共研典例 类 题通法 1.六个重要的不等式 (1)|a|≥0,a2≥0(a∈R); (2)a2+b2≥2ab(a,b∈R); a+b (3) ≥ ab(a>0,b>0); 2 (4)ab≤? (5) a+b?2 ? 2 ? (a,b∈R); a2+b2 a+b 2ab ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0); 2 2 a+b (6)2(a2+b2)≥(a+b)2(a,b∈R,当 a=b 时等号成立).

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