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陕西省西工大附中2015届高三下学期二模考试数学文(B)试题Word版含答案

2015 届第二次模拟考试 ------文科数学试题(B 卷)
命题 武老师 审题 史老师
(满分 150 分,考试时间 120 分钟)

第Ⅰ卷(共 60 分)

一.选择题:(5′× 12=60′)
1.设 i 是虚数单位,若复数 a ? A.-3 B. -1

10 (a ? R ) 是纯虚数,则 a 的值为( 3?i
C.1 D.3 ) D. ?1, 2 ?



2.已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩B=( A. ? 0, 1? B. ? 0, 2? C. ?1 , 2?

3.“a=0”是“直线 l1:x+ay ? a=0 与 l2:ax ? (2a ? 3)y ? 1=0”垂直的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件



D.既不充分也不必要条件 )

4.已知向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1, a ? b ? ? A. 3 B. 2

1 ,则 | a ? 2b |? ( 2

C. 5

D. 7

5.总体编号为 01,02,…19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取 方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来 的第 5 个个体的编号为( )

A.08
2

B.07

C.01 )

D.02

6.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) 的图象大致是(

A. B. C. D. 7.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示 该四棱锥侧面积和体积分别是( ) A. 4 5,8 B. 4( 5 ? 1),

8 3

C. 8,8

D. 4 5,

8 3

8.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长, 则该矩形面积大于 20cm2 的概率为( :A. ) C.

1 6

B.

2 3

1 3

D.

4 5

-1-

9.圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0?a, b ? R?对称, 则 ab 的取值范围是( A. ? ? ) B. ? ? ?, ?

? 1 ? ,0 ? ? 4 ?

? ?

1? 4?

C. ? ? ?, ? 4

? ?

1? ?

D. ? 0, ? 4

? ?

1? ?
)

10.x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上为 ( A. 周期函数 B.奇函数 C.偶函数 D.增函数

11.将函数 y ? f ?x ? cos x 的图像向左平移

? 个单位后,再做关于 x 轴的对称变换得到函数 4
) D. 2 sin x

y ? 2 cos2 x ? 1 的图像,则 f ?x ? 可以是(
A. ? 2 cos x B. 2 cos x

C. ? 2 sin x

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1, A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的 12. 椭圆 C : 4 3
取值范围是 ??2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是( A. ? , 1? ) D. ? , ? 8 4

?1 ? ?2 ?

B. ? , 1?

?3 ? ?4 ?

C. ? , ? 2 4

?1 3? ? ?

?3 3? ? ?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二.填空题:(5′× 4=20′)
13.定义运算 a ? b 为执行如图所示的程序框图输出的 S 值, 则 ? 2cos

? ?

5? ? ? 5? ? ? ? ? 2 tan ? 的值为 3 ? ? 4 ?

? x ? y ? 1, ? 14.已知不等式组 ? x ? y ? ?1, 所表示的平面区域为 D,若直线 y=kx ? 3k ?y ? 0 ?
与平面区域 D 有公共点,则 k 的取值范围为 15. ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,若 a ? c ? 2b, 且 sin B ? 6 cos A ? sin C ,
2 2

则 b=

n ?1 16. 将数列 3 按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下: (1) , (3,9) ,

? ?

(27,81,243) ,…,则第 10 组中的第一个数是_____________

-2-

三.解答题: (12′×5+10′=70′)
n ? 17. 已知数列 ?xn ? 的首项 x1 ? 3 ,通项 xn ? p 2 ? qn n ? N , p, q为常数 ,

?

?

且 x1 , x4 , x5 成等差数列,求: (Ⅰ)p,q 的值; (Ⅱ)数列 ?xn ? 前 n 项和 S n 的公式.

18. 若函数 f ? x ? ? sin2 ax ? sin ax cos ax

? a ? 0? 的图像与直线 y=m (m 为常数)相切,
? . 2
? ??

并且切点的横坐标依次成等差数列,且公差为 (Ⅰ)求 m 的值;

(Ⅱ)若点 A ?x0 , y0 ? 是 y=f(x)图像的对称中心,且 x0 ? ?0, ? ,求点 A 的坐标. ? 2? 19. 甲乙两人进行两种游戏,两种游戏规则如下:游戏Ⅰ:口袋中有质地、大小完全相同的 5 个球, 编号分别为 1,2,3,4,5,甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号, 如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.游戏Ⅱ:口袋中有质地、大小完全相同的 6 个 球,其中 4 个白球,2 个红球,由裁判有放回的摸两次球,即第一次摸出记下颜色后放回再摸 第二次,摸出两球同色算甲赢,摸出两球不同色算乙赢. (Ⅰ)求游戏Ⅰ中甲赢的概率; (Ⅱ)求游戏Ⅱ中乙赢的概率;并比较这两种游戏哪种游戏更公平?试说明理由.

20. 18.如图:三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90° , AC=BC=

1 AA1 ,D 是侧棱 AA1 的中点. 2

(Ⅰ)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 21. 设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 .
2

(Ⅰ)若 b ? ?12 ,求 f ( x) 在 ?1 , 3? 的最小值; (Ⅱ)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围;

-3-

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答. 注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一个题目计分. 22.选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B、C,∠APC 的平分线分别交 AB、AC 于点 D、E, (Ⅰ)证明:∠ADE=∠AED; PC (Ⅱ)若 AC=AP,求 的值. PA 23.选修 4-4:极坐标系与参数方程 C E D O B P A

? ?x ? ? 已知直线 l 的参数方程是 ? ?y ? ? ?
(Ⅰ)求圆心 C 的直角坐标;

2 t ? 2 (t 是参数), 圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos(θ+ ). 4 2 t?4 2 2

(Ⅱ)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 24.选修 4-5:不等式选讲 设不等式 2 x ? 1 ? 1 的解集为 M , 且 a ? M , b ? M . (Ⅰ) 试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小; (Ⅱ) 设 max A 表示数集 A 中的最大数, 且 h ? max ?

? 2 ? a

,

a?b ab

,

2 ? ? , 求 h 的范围. b?

-4-

2015 届第二次模拟考试数学(文)参考答案
一、选择题:(5′× 12=60′) (A 卷) CDABD (B 卷) 二、填空题:(5′× 4=20′) 13.4; 14. ? 三、解答题: (12′×5+10′=70′)
17.解:(Ⅰ)由 x1 ? 3 得 2p+q=3,又∵ x4 ? 2 4 p ? 4q, x5 ? 25 p ? 5q, 且x1 ? x5 ? 2x4 ∴3 ? 2 p ? 5q ? 2 p ? 8q , 解得 p=1,q=1
5 5

ABCAD BB

1 ? k ? 0 ; 15.3; 16. 345; 3

………..………………………….…..6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 xn ? 2 n ? n ∴ S n ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 2
2 3 n n ?1

?2?

n?n ? 1? 2

……….……….12

分 18.解:(Ⅰ) ∵ f ?x ? ?

1 2 ? ?? ? sin? 2ax ? ? 2 2 4? ?

…………….………………………….……3 分

∴ m?

1 2 ? 2 2

……………………………………………………………………..5 分

(Ⅱ) ∵切点的横坐标依次成等差数列,且公差为 ∴T ? 分 ∵ 点 A ?x0 , y0 ? 是 y=f(x)图像的对称中心

? , 2
……………………………....7

?
2

?

2? ? 1 2 ? ?? ? a ? 2 f ?x ? ? ? ? sin? 4 x ? ? 2a a 2 2 4? ?
∴4 x0 ?

?
4

? k? ? x0 ?

k? ? ? ….9 4 16

-5-

分 ∵ x0 ? ?0, ? ? 2?

? ??

∴ x0 ?

3? 7? 或 16 16

? 3? 1 ? ? 7? 1 ? A? , ?或? , ? ……………………….12 ? 16 2 ? ? 16 2 ?

分 19.解: (Ⅰ)∵游戏Ⅰ中有放回地依次摸出两球基本事件有 5*5=25 种,其中甲赢包含(1,1) (1,3) (1,5) (3,3) (3,5) (5,5) (3,1) (5,1) (5,3) (2,2) (2,4) (4,4) (4,2)13 种基本事件, ∴ 游戏Ⅰ中甲赢的概率为 P=

13 25

…………………………..……………..5 分

(Ⅱ)设 4 个白球为 a,b,c,d, 2 个红球为 A,B,则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球基本事件有 6*6=36 种,其中乙赢包含(a,A), (b,A),(c,A) (d,A) (a,B) (b, B) (c, B) (d, B) (A,a) (A,b) (A,c) (A,d) (B,a) (B,b) (B,c) (B,d)16 种基本事件, ∴ 游戏Ⅱ中乙赢的概率为 P’=

16 8 ? 30 15

………………………………...……………….10 分



13 1 8 1 ? ? ? 25 2 15 2

∴ 游戏Ⅰ更公平

………………………………....12 分

20.解:解: (1)证明:由题设可知

BC ? CC1 , BC ? AC, CC1 ? AC ? C ? BC ? 平面ACC1 A1

又DC1 ? 平面ACC1 A1 ? DC1 ? BC …………………………………………2 分
?

又? ?A1 DC1 ? ?ADC ? 450 ? ?CDC1 ? 900 即DC1 ? DC …………4 分
又DC ? BC ? C,? DC1 ? 平面BDC

又DC1 ? 平面BDC1,故平面BDC1 ? 平面BDC …………………………6 分
?

(2)设棱锥 B ? DACC1 的体积为 V ,
/

设AC ? 1,?V / ?

1 1 1? 2 1 BC ? S DACC1 ? ? 1 ? ?1 ? 3 3 2 2 ……………………………………9 分
……………12 分

又三棱柱的体积为 V=1,故平面 BDC1 分棱柱所得两部分的体积比为 1:1 21.解:

-6-

其中第一问 6 分,第二问 6 分,共 12 分. 四、选考题(本题满分 10 分):请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。 注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一个题目计分. 22.解: (Ⅰ )∵ PA 是切线,AB 是弦,∴ ∠ BAP=∠ C 又∵ ∠ APD=∠ CPE,∴ ∠ BAP+∠ APD=∠ C+∠ CPE. ∵ ∠ ADE=∠ BAP+∠ APD, ∠ AED=∠ C+∠ CPE. ∴ ∠ ADE=∠ AED …………………………5 分

PC AC (Ⅱ )由(Ⅰ )知∠ BAP=∠ C,又∠ APC=∠ BPA,∴ ?APC∽ ?BPA, = , PA AB ∵ AC=AP, ∠ BAP=∠ C=∠ APC, 由三角形的内角和定理知:∠ C+∠ APC+∠ PAC=180? , ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ∠ BAC=90? ,∴ ∠ C+∠ APC+∠ BAP=90? ,∴ ∠ C=∠ APC=∠ BAP=30? , 在 Rt?ABC 中, AC PC = 3,∴ = 3 AB PA ………………………10 分

? 23.解: (Ⅰ )∵ ρ=2cos(θ+ ) 4 ∴ ρ= 2 cosθ- 2sinθ,∴ ρ2= 2ρcosθ- 2ρsinθ ∴ 圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2- 2x+ 2y=0 ∴ 圆心 C 的直角坐标为( 2 2 ,) 2 2 …………………2 分 …………………3 分 …………………5 分

(Ⅱ )法一: 由直线 l 上的点向圆 C 引切线长为 ( 2 22 2 2 t- ) +( t+ +4 2)2-1= t2+8t+40= (t+4)2+24≥2 6, 2 2 2 2 ………………………10 分

∴ 直线 l 上的点向圆 C 引切线长的最小值为 2 6

-7-

法二:直线 l 的普通方程为 x-y+4 2=0,

………………………6 分

|
圆心 C 到 直线l 距离是

2 2 ? ?4 2| 2 2 ? 5, 2

……………………………8 分

∴ 直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 52 ? 12 ? 2 6 24.(Ⅰ ) M ? ?x | 0 ? x ? 1 ? , a, b ? M ,

………………………10 分

? 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1 ab ? 1 ? a ? b ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0

? ab ? 1 ? a ? b
(Ⅱ )h ?

…………………………………… 4 分

2 a

,h ?

a?b ab

,h ?

2 b

4(a ? b) 4(a 2 ? b 2 ) 4 ? 2ab h ? ? ? ?8 ab ab ab
3

? h ? ?2,?? ? ……………10 分

-8-


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