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上海市崇明区2017届高三数学第二次4月模拟考试试题


崇明区 2016-2017 学年第二次高考模拟考试试卷 数 学

一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,其中 1~6 题每题 4 分,7~12 题每题 5 分) 1.函数 y ? 1 ? 2sin 2 (2 x) 的最小正周期是 ▲ . ▲ . ▲ ▲ . . .

2.若全集 U ? R ,集合 A ? ?x x ≥1?∪?x x ? 0? ,则 CU A ? 3.若复数 z 满足 z ? i ?

2?i (i 为虚数单位) ,则 z ? i



4.设 m 为常数,若点 F (0, 5) 是双曲线

y2 x2 ? ? 1 的一个焦点,则 m ? m 9

5.已知正四棱锥的底面边长是 2,侧棱长是 3 ,则该正四棱锥的体积为

? x ? y ? 1≤ 0 ? 6.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 3 ≥ 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y≤4 ?
n





1? ? 7.若 ? x ? ? 的二项展开式中各项的二项式系数的和是 64,则展开式中的常数项的值为 x? ?
▲ . ▲ .

8.数列 ?an ? 是等比数列,前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? a2 ? 2 , a2 ? a3 ? ?1 ,则 lim Sn ?
n??

9.若函数 f ( x) ? 4x ? 2 x ?1 的图像与函数 y ? g ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称,则
g (3) ?





10. 甲与其四位朋友各有一辆私家车, 甲的车牌尾数是 0, 其四位朋友的车牌尾数分别是 0, 2, 1, 5,为遵守当地 4 月 1 日至 5 日 5 天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数 日车牌尾数为偶数的车通行) ,五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的 车最多只能用一天,则不同的用车方案总数为 ▲ . ▲ .

? ? 2 x?0 ? x ? sin( x ? ), 11.已知函数 f ( x) ? ? , ? ? ?0, 2? ? 是奇函数,则 ? ? 3 2 ? ? ? x ? cos( x ? ? ), x ? 0

12.已知 ? ABC 是边长为 2 3 的正三角形,PQ 为 ? ABC 外接圆 O 的一条直径,M 为 ? ABC 边

-1-

???? ? ???? ? 上的动点,则 PM ? MQ 的最大值是
二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)





【每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂 黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 】 13.一组统计数据 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 与另一组统计数据 2 x1 ? 3, 2 x2 ? 3, 2x3 ? 3, 2x4 ? 3, 2x5 ? 3 相比较 (A)标准差相同 (B)中位数相同 (C)平均数相同 (D)以上都不相同

14. b ? 2 是直线 y ? 3x ? b 与圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 相交的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?a1 x ? a3 y ? 2 15.若等比数列 {an } 的公比为 q,则关于 x, y 的二元一次方程组 ? 的解的情况下列 ?a2 x ? a4 y ? 1
说法正确的是 (A)对任意 q ? R (q ? 0) , 方程组都有唯一解 (C)当且仅当 q ? (B)对任意 q ? R (q ? 0) , 方程组都无解 (D)当且仅当 q ?

1 时, 方程组有无穷多解 2

1 时, 方程组无解 2

16.设函数 f ( x) ? a x ? b x ? c x ,其中 c ? a ? 0, c ? b ? 0 .若 a、b、c 是 ? ABC 的三条边长, 则下列结论中正确的个数是 ①对于一切 x ? (? ?, 1) 都有 f ( x) ? 0 ; ②存在 x ? 0 使 xa x , b x , c x 不能构成一个三角形的三 边长;③若 ? ABC 为钝角三角形,则存在 x ? (1, 2) ,使 f ( x) ? 0 . (A)3 个 (B)2 个 (C)1 个 (D)0 个

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分) 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 】 17. (本题满分 14 分,本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分) C 在三棱锥 C ? ABO 中,OA、OB、OC 所在直线两两垂直, 且 OA ? OB ,CA 与平面 AOB 所成角为 60 ? ,D 是 AB 中点,
-2-

O D

B

三棱锥 C ? ABO 的体积是

3 . 6

(1)求三棱锥 C ? ABO 的高; (2)在线段 CA 上取一点 E,当 E 在什么位置时,异面直线

1 BE 与 OD 所成的角为 arccos ? 4

18.(本题满分 14 分,本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分) 设 F1、F2 分别为椭圆 C:
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 A 为椭圆 C 的左顶点, a 2 b2

点 B 为椭圆 C 的上顶点,且 AB ? 3 , ? BF1 F2 为直角三角形. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 y ? k x ? 2 与椭圆交于 P、Q 两点,且 OP ? OQ ,求实数 k 的值.

19.(本题满分 14 分,本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分)
??? ? 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 ABCD 内举行机器人拦截挑战赛,在 E 处按 EP 方向

释放机器人甲,同时在 A 处按某方向释放机器人乙,设机器人乙在 Q 处成功拦截机器人甲.若 点 Q 在矩形区域 ABCD 内(包含边界) ,则挑战成功,否则挑战失败. 已知 AB ? 18 米,E 为 AB 中点,机器人乙的速度是机器人甲的速度的 2 倍,比赛中两机器
??? ? ??? ? 人均按匀速直线运动方式行进,记 EP 与 EB 的夹角为 ? .

(1) 若 ? ? 60? , AD 足够长, 则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功? (结果精确到 0.1? ) (2)如何设计矩形区域 ABCD 的宽 AD 的长度,才能确保无论 ? 的值为多少,总可以通过设置 D
-3-

C

P

机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域 ABCD 内成功拦截机器人甲?

-4-

20.(本题满分 16 分,本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 5 分,第(3) 小题满分 7 分) 对于函数 f ( x) ,若在定义域内存在实数 x 0 ,满足 f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) ,则称 f ( x) 为“M 类函数” .

?? ? (1)已知函数 f ( x) ? sin ? x ? ? ,试判断 f ( x) 是否为“M 类函数”?并说明理由; 3? ?
(2)设 f ( x) ? 2x ? m 是定义在 ??1, 1? 上的“M 类函数” ,求实数 m 的最小值;

?log ( x 2 ? 2mx) , x ≥ 2 ? (3)若 f ( x) ? ? 2 为其定义域上的“M 类函数” ,求实数 m 的取值范围. , x?2 ? ??3

21.(本题满分 18 分,本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 8 分)
n 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? p , n ? N * .

(1)若 p ? 1 ,写出 a 4 所有可能的值; (2)若数列 ?an ? 是递增数列,且 a1 , 2a2 , 3a3 成等差数列,求 p 的值; (3)若 p ?

1 ,且 ?a2n?1? 是递增数列, ?a2 n ? 是递减数列,求数列 ?an ? 的通项公式. 2

-5-

崇明区 2016-2017 学年第二次高考模拟高三数学参考答案及评分标准 一、填空题 1.

? ; 2

2. [0,1) ; 8.

3. 10 ; 9.0;

4.16; 10.64;

7.15;

8 ; 3

4 ; 3 7? 11. ; 6
5.

6.2; 12.3

二、选择题 13.D; 14.A; 15.C; 16.A

三、解答题 17.解 : ( 1 ) 因 为

O ?C ,

? O

A , O 所C 以

O

B

O ?C 平面
所 以

A O B ...............................2 分
?C A 就 O


CA







AOB













?CAO ? 60? ..............................3 分
设 OA ? OB ? a ,则 OC ? 3a 所 以

1 3 3 3 VC ? ABO ? S ABO ? CO ? a ? ................................................ 3 6 6
....................6 分 所 以

a ?1













C?

A

B 的

O 高

OC ? 3 ........................................................7 分
(2)建立如图所示空间直角坐标系,则 C (0, 0, 3), D( , , 0) , 设 E(1 ? ?,0 3? )(? ?[0,1]) , 则

1 1 2 2

-6-

??? ? ???? 1 1 BE ? (1 ? ? , ?1, 3? ), OD ? ( , , 0) ............................................... 2 2
................10 分 设

BE



OD











?





??? ? ???? |B ? E |O D1 ? s ???? ? ...................................12 分 c ?? o ??? 4| O |B ? E| D|
所 以

??

1 2



? ? ?1





去 ) ............................................................................ .....13 分

1 所以当 E 是线段 CA 中点时, 异面直线 BE 与 OD 所成的角为 arccos .....................14 4
分 18.解: (1) | AB |? a 2 ? b2 ? 3 ,所以 a ? b ? 3
2 2





? BF1 F2



















b ? c ..........................................................................3
分 又

b2 ? c 2 ? a 2 , ...................................................................
............................................4 分 所 以

a? 2 b? ,

, 1















x2 ? y 2 ? 1........................................................6 分 2

(2)由

? x2 ? ? y2 ? 1 ?2 ?y ? kx ? 2 ?







(1 ? 2k 2 ) x2 ? 8kx ? 6 ? 0 .............................................8 分


? ? (8k )2 ? 4(1 ? 2k 2 ) ? 6 ? 0






-7-

k2 ?


3 ............. .............................................9 分 2

P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 )







x1 ? x2 ? ?

8k 6 , x1 ? x2 ? .......................10 分 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

因为 OP ? OQ

??? ? ???? 6 ? 10k 2 2 ? 4 ? 0 .....12 分 所以 OP ? OQ ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? (1 ? k ) x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2

1 ? 2k





k2 ? 5







k2 ?

3 .......................................................................... 2

..............13 分 所 以

k ? ? 5 ........................................................................
.....................................14 分 19.解 : ( 1 )

? AEQ





A ?2

Q

,?

E Q ?1 2 A? 0E Q 分 ............................................2

由正弦定理,得:

EQ AQ ? sin ?QAE sin ?AEQ




s ?Q

?

3 i A .......... ....................................................... 4

...........................4 分

所以 ?QAE ? arcsin

3 ? 25.7? 4
??? ?

所以应在矩形区域 ABCD 内,按照与 AB 夹角为 25.7? 的向量 AQ 方向释放机器人乙,才能

????

-8-







功 .............................................................................. ...............................6 分 (2)以 AB 所在直线为 x 轴, AB 中垂线为 y 轴,建平面直角坐标系, 设

Q( x, y)( y ? 0) ...................................................................
........................8 分
2 2 2 2 由题意,知 AQ ? 2EQ ,所以 ( x ? 9) ? y ? 2 x ? y





( x ? 3)2 ? y 2 ? 36( y ? 0) ..........................................................
........11 分 即点 Q 的轨迹是以 (3, 0) 为圆心,6 为半径的上半圆在矩形区域 ABCD 内的部分 所以当 AD ? 6 米时,能确保无论 ? 的值为多少,总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器 人 乙 在 矩 形 区 域

ABCD

















甲...........................................14 分

?? ?? ? ? 20.解(1)由 f (? x) ? ? f ( x) ,得: sin ? ? x ? ? ? ? sin ? x ? ? .................1 分 3? 3? ? ?
所 以

3

x ? ..................................................................... c

............ ..............3 分 所以存在 x0 ? 所 以

?
2

? R 满足 f (? x0 ) ? ? f ( x0 )
函 数

f(

?? ? ? x) ? ? ? s 3? ?

x是 i

n “

M





数”.....................................................4 分 (2)因为 f ( x) ? 2 x ? m 是定义在 ??1, 1? 上的“M 类函数” ,

-9-

所以存在实数 x0 ?[?1,1] 满足 f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) , 即 方 程

2x ?

?x

? m 2?

2 在

0? ??1,1





解,.....................................................5 分 令

?1 ? t ? 2x ? ? , 2? ................................................................... ?2 ?
..........................6 分 则m ? ?

1 1 (t ? ) 2 t
1 1 1 (t ? ) 在 [ ,1] 上递增,在 [1, 2] 上递减..............................8 分 2 t 2


因为 g (t ) ? ?





t?

1 2



t?2





m









?

5 ....................................................9 分 4
x 2 ? 2mx ? 0

(3)由



x?2











m ? 1 ...........................................10 分
?log ( x 2 ? 2mx) , x ≥ 2 ? 因为若 f ( x) ? ? 2 为其定义域上的“M 类函数” , x?2 ? ??3
所以存在实数 x 0 ,满足 f (? x0 ) ? ? f ( x0 )

①当 x0 ? 2 时, ? x0 ? ?2 ,所以 ?3 ? ? log2 ( x02 ? 2mx0 ) ,所以 m ?

1 4 x0 ? 2 x0

因为函数 y ?

1 4 x ? ( x ? 2) 是增函数,所以 m ? ?1 ..............................12 分 2 x

②当 ?2 ? x0 ? 2 时, ?2 ? ? x0 ? 2 ,所以-3=3,矛盾.............................13 分

③当 x0 ? ?2 时, ? x0 ? 2 ,所以 log2 ( x02 ? 2mx0 ) ? 3 ,所以 m ? ?

1 4 x0 ? 2 x0

因为函数 y ? ?

1 4 x ? ( x ? ?2) 是减函数,所以 m ? ?1 .............................15 2 x

- 10 -

分 综 上 所 述 , 实 数

m













[?
21.

1 , 1 ) ............................ .........................16 分
( 1 )

a4













-2, 0, 2, 4 ...............................................................4 分
n (2)因为数列 ?an ? 是递增数列,所以 an?1 ? an ? an?1 ? an ? p .



a1 ? 1







a2 ? p ? 1, a3 ? p 2 ? p ? 1 .............................................6 分


a1 ,2a2 ,3a3

















4a2 ? a1 ? 3a3 .....................................8 分
所以 3 p 2 ? p ? 0 .解得 p ? 或 p ? 0 3 当 p ? 0 时, an?1 ? an ,这与 ?an ? 是递增数列矛盾,所以 p ? ...........10 分 (3)因 为 ?a2n?1? 是递增数列,所以 a2 n +1 ? a2 n ?1 ? 0 , 所以 ? a2n +1 ? a2n ? ? ? a2n ? a2n?1 ? ? 0 ① 但

1

1 3

1 1 ? 2 n?1 ,所以 a2n+1 ? a2n ? a2n ? a2n?1 ② 2n 2 2
2 n ?1

?1? 由①,②知, a2n ? a2n?1 ? 0 ,所以 a2 n ? a2 n ?1 ? ? ? ?2?
因为 ?a2 n ? 是递减数列,同理可得 a2n?1 ? a2n ? 0

? ?1? ?

2n

22 n ?1

③......13 分

? ?1? ?1? 所以 a2 n ?1 ? a2 n ? ? ? ? ? 22 n ?2?
2n

2 n ?1

④ , ④ 知 ,





an ?1 ? an
16 分

? ?1? ??
2n

n ?1

.............................................................

- 11 -

所以 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 )

?1?

? ?1? 1 1 ? 2 ??? 2 2 2n

n

n ?1

?1?

1 2

? ?1? 1?
2n 1 1? 2

n ?1

?

4 1 ? ?1? ? ? 3 3 2n ?1


n







?an ?











4 1 ? ?1? an ? ? ? n ?1 ...........................................18 分 3 3 2

- 12 -


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