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全称量词与存在量词


全称量词与存在量词

全称量词

思考一:
下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?

(1)x>3; (2)2x+1是整数; (3)对所有的x∈R,x>3; (4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。 常见的全称量词还有 语句(1)(2)不能判断真假,不是命题; “一切” “每一个” 语句(3)(4)可以判断真假,是命题。 “任给” 等 。 全称量词: “所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫 做全称量词,并用符号“ ”表示。 ? 含有全称量词的命题,叫做全称命题。

全称命题举例:
对任意的n∈Z,2n+1是奇数; 所有的正方形都是矩形。

全称命题符号记法:
通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表 示,变量x的取值范围用M表示,那么,
全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立 ”可用符号简记为:

?x ? M,p( x),
读作“对任意x属于M,有p(x)成立”。

例1 判断下列全称命题的真假:

(1)所有的素数都是奇数; (2) (3)对每一个无理数x,x2也是无理数。

小 结:
判断全称命题"?x ? M,p(x)"是真命题的方法:

——需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立
判断全称命题"?x ? M,p(x)"是假命题的方法:

——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立即可 (举反例)

练习:
1. 判断下列全称命题的真假: (1)每个指数函数都是单调函数; 真命题 假命题

(2)任何实数都有算术平方根;

存在量词

思考二:
下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?

(1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x0∈R,使2x+1=3; (4)至少有一个x0∈Z,x能被2和3整除。 语句(1)(2)不能判断真假,不是命题; 常见的存在量词还有 语句(3)(4)可以判断真假,是命题。 “有些”“有一个”

存在量词定义: “存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通 常叫做存在量词,并用符号“ ”表示。 ? 含有存在量词的命题,叫做特称命题。

“对某个”“有的” 等。

特称命题举例:
命题:有的平行四边形是菱形; 有一个素数不是奇数。

特称命题符号记法:
通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表 示,变量x的取值范围用M表示,那么,
特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立 ”可用符号简记为

?x0 ? M,p( x0 ),

读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”。

例2 判断下列特称命题的真假:

(1)有一个实数x0,使x02+2x0+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数。

小结:
——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 成立即可 (举例证明) 判断特称命题"?x0 ? M,p(x0 )"是假命题的方法:

——需要证明集合M中,不存在元素x,使p(x)成立。

练习:
2 . 判断下列特称命题的真假:

(1) x0 ? R, x0 ? 0; ?
(2)至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数;

(3)

含有一个量词的命题的否定

思考三:
写出下列命题的否定

? 1)所有的矩形都是平行四边形; x ? M,p(x)
2)每一个素数都是奇数; 3)?x ? R, x2 ? 2x ? 1 ? 0 否定:
2)存在一个素数不是奇数;

?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x)

1)存在一个矩形不是平行四边形;

3)?x ? R, x2 ? 2x ?1 ? 0

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

结论 一般地,对于含有一个量词的 全称命题的否定,有下面的结论:

全称命题p: ?x∈M ,p(x),
它的否定?p: ?x0∈M,?p(x0)
全称命题的否定是特称命题.

例3. 写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2)p:每一个四边形的四个顶点共圆; (3)p:对任意x∈Z, x? 的个位数字不等于3.
解:(1)?p:存在一个能被3整除的整数, 不是奇数; (2)?p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆; (3)?p: ?x0∈Z, x0? 的个位数字等于3.

思考四:
写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数;

2)某些平行四边形是菱形;
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形; 3) ?x ? R, x2 ? 1 ? 0
?x ? M,?p(x)

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

结论
一般地,对于含有一个量词

的特称命题的否定,有下面的结论:

特称命题p: ?x0∈M ,p(x0),
它的否定?p: ? x∈M,?p(x)
特称命题的否定是全称命题

例4 :写出下列特称命题的否定: (1)p: ?x0∈R, x0? 0+2≤0; +2x (2)p:有的三角形是等边三角形; (3)p:有一个素数含三个正因数. 解:(1)?p: ?x∈R, x? +2x+2>0; (2)?p:所有的三角形都不是等边三角形;

(3)?p:每一个素数都不含三个正因数.

例题
例5 :写出下列命题的否定,并判断其真假:

(1) p :任意两个等边三角形都是相似的;
(2)p:?x0∈R, x0? 0+2=0. +2x 解:(1)?p : 存在两个等边三角形, 它们不 相似; (2)?p : ?x∈R, x? +2x+2≠0.

小结:
1. 全称量词、全称命题的定义。 2. 存在量词、特称命题的定义。 3. 全称命题、特称命题的符号记法。 4. 会写出全称命题、特称命题。


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