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福建省福州市第八中学2015届高三第四次质检考试数学(文)试题

福州八中 2014—2015 学年高三毕业班第四次质量检查数学(文)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合 M ? ?0,1, 2,3? , N ? x x 2 ? 3 x ? 0 ,则M ? N = A. ?0? B. ? x x ? 0? C. ? x ? ? x ? 3?

?

?

( D. ?1, 2? )



2. 在复平面内,复数 z ? A.第一象限

i ? i 2013 表示的点所在的象限是 ( 1? i
C.第三象限

B.第二象限

D.第四象限 )

3.直线 x ? 2ay ? 1 ? 0与( a ? 1) x ? ay ? 1 ? 0 平行,则 a 的值为( A.

1 2

B. 或0

1 2

C.0

D.—2 或 0

4. 已知向量 a,b 的夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|= A. 2 B.2 2 C.3 2 D. 4 2 5. 已知平面 ? , ? ,直线 m, n ,下列命题中不 正确的是 ( ) . A. B. C. D. 若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? 若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? 若 m ∥ ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n 若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ?

?? x ? ?? x ? ) ? ? sin ? ? ? 的一个单调递减区间为( ? 4 2? ? 4 2? ? ? ?? ? ? 3? ? A. ? ? , ? B. ? 0, ? ? C. ? , D. ?? , 2? ? ? 2 2? ?2 2 ? ? 7.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0截直线x ? y ? 5 ? 0 所得的弦长等于( )
6. 函数 y ? 2sin ? A. 6 B.

5 2 2
4 49

C.1

D. 5

8.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 2 26 3 39 5 54 )

? 为 9. ? ?a ? ? bx ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y 4, 据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 (
A.63.6 万元 B.67.7 万元 C.65.5 万元 D.72.0 万元

9.已知双曲线 C :

x2 y2 - =1 的焦距为 10 ,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为( a2 b2 x2 y2 C. - =1 80 20 x2 y2 D. - =1 20 80
( )



x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 20 5 5 20

10. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , S n ? 2an ?1 ,,则 S n ?

-1-

A. ( ) n ?1 11.已知椭圆 C:

3 2

B. 2 n ?1
2 2

C. ( ) n ?1

2 3

D.

1 2 n ?1

x y + =1,M,N 是坐标平面内的两点,且 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦 4 3 ) B.8 C.12 D.16

点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|= ( A.4

12.已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x) 的集合:存在非零常数 k,对定义域中的任意 x,等式
f (kx) =

k + f ( x) 恒成立. 现有两个函数: f ? x ? ? ax ? b ? a ? 0 ? ,g ? x ? ? log 2 x ,则函数 f ? x ? 、g ? x ? 2
) B. f ? x ? ? M , g ? x ? ? M D. f ? x ? ? M , g ? x ? ? M 第Ⅱ卷(共 90 分)

与集合 M 的关系为 ( A. f ? x ? ? M , g ? x ? ? M C. f ? x ? ? M , g ? x ? ? M

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在答题纸上。 13.已知在 ?ABC 中, ?A ? 1200 , 且三边长构成公差为 2 的等差数列, 则 ?A 所对的边 a = 14. 圆心在 x 轴上,且与直线 y ? x 切于 (1,1) 点的圆的方程为__ ____

15. 在直角坐标系 xOy 中,设集合 ? ? ?( x, y ) 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1? ,在区域 ? 内任取一点 P ( x, y ) , 则满足 x ? y ? 1 的概率等于 16.定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1: y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a= 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 每年 5 月 17 日为国际电信日,某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠,优惠 方案如下:选择套餐一的客户可获得优惠 200 元,选择套餐二的客户可获得优惠 500 元,选择套餐三的 客户可获得优惠 300 元. 电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示,现将频率视为概率. (1) 求某人获得优惠金额不低于 300 元的概率; (2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出 6 人,再从该 6 人中随机选出两人,求这两人 获得相等优惠金额的概率.
150
100
入网人数
2 2 2

50

套餐1

套餐2

套餐3

套餐种类

-2-

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 sin ? x cos ? ? x ? 的最短距离为π . (1)求 f(x)的解析式及其图像的对称中心; (2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 A 是锐角, 且f? 求△ABC 的面积.

? ?

??

2 1 2 , 直线 y ? 1 ? 与 f(x)的曲线交点之间 ? ? 2sin ? x ? 2 4? 2

?A ?? 3 ? ? ? , c ? 4, a ? b ? 4 2 , ?2 8? 2

19. (本小题满分 12 分)已知正项数列 ?an ? 满足: a1 ? (1)求通项 an ; (2)若数列 ?bn ?满足 bn ? a n ? 3?1 ?

3an 3 , an ?1 ? 2 2an ? 3

? ?

1 ? ? ,求数列 ?bn ?的前 n 和. 2n ?

20.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ?PAB 是正三角形,四边形 ABCD 是矩形, 且平面 PAB ? 平面 ABCD , PA ? 2 , PC ? 4 . (Ⅰ)若点 E 是 PC 的中点,求证: PA / / 平面 BDE ; (Ⅱ)若点 F 在线段 PA 上,且 FA ? ? PA ,当三棱锥 B ? AFD 的体积为

4 时,求实数 ? 的值. 3

-3-

21.(本小题满分 12 分)

1 2 x ? 6 x ? a ln x 的一个极值点。 2 (Ⅰ)若函数 f ( x) 在区间 (2m ? 1, m ? 1) 上单调递减,求实数 m 的取值范围;
已知 a 为实数,x=1 是函数 f ( x) ? (Ⅱ)设函数 g ( x) ? x ?

1 , 对于任意 x ? 0 和 x1 , x2 ? [1,5] , 有不等式 | ? g ( x) | ?5ln 5 ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | x

恒成立,求实数 ? 的取值范围.

22. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点. AF 的最大 a 2 b2 3 值是 M , BF 的最小值是 m ,满足 M ? m ? a 2 . 4
如图,椭圆 (1) 求该椭圆的离心率; (2) 设线段 AB 的中点为 G , AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点, O 是坐标原点. 记 ?GFD 的面积为 S1 , ?OED 的 面积为 S 2 ,求

y
A G
F D B

S1 的取值范围. S2

O E

x

-4-

福州八中 2014—2015 学年高三毕业班第四次质量检查 数学(文)试卷参考答案及评分标准
一、选择题: (每小题 5 分,满分 60 分) 1. D 2. B 3. A 4. C 5. C 7. A 8. C 9. A 10. A 11. B 二、填空题(每小题 4 分,满分 16 分) 13. 7 14. ( x ? 2) ? y ? 2
2 2

6. B 12. B

15.

1 2

16.

9 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 解:(1) 设事件 A =“某人获得优惠金额不低于 300 元”, 150 ? 100 5 则 P( A) ? ???6 分 ? 50 ? 150 ? 100 6 (2) 设事件 B =“从这 6 人中选出两人,他们获得相等优惠金额” ,由题意按分层抽样方式选出的 6 人中,获 得优惠 200 元的 1 人,获得优惠 500 元的 3 人,获得优惠 300 元的 2 人,分别记为 a1 , b1 , b2 , b3 , c1 , c2 , 从中选出两人的所有基本事件如下:a1b1 , a1b2 ,a1b3 ,a1c1 ,a1c2 ,b1b2 ,b1b3 ,b1c1 ,b1c2 ,b2 b3 ,b2 c1 ,b2 c2 ,
b3 c1 , b3c2 , c1c2 ,共 15 个,???9 分

其中使得事件 B 成立的为 b1b2 , b1b3 , b2 b3 , c1c2 ,共 4 个, 则 P( B) ? 18. 解:(1) f ? x ? ?

4 . ???12 分 15

1 1 2 ?? ? sin 2? x ? cos 2? x ? 1 ? sin ? 2? x ? ? ? 1 ,???3 分 2 2 2 4? ?
2?

由题意知函数的最小正周期为π ,所以 2? ? 所以 f ? x ? ?

?

,? ? 1 ,

2 ?? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 , 2 4? ?

???4 分

令 2x ?

?
4

? k? , x ?

k? ? ? k? ? ? ? ? k ? Z ? ,所以函数的对称中心为 ? ? ,1? ? K ? Z ? ;??6 分 2 8 ? 2 8 ?

(2) 因为 f ?

2 1 2 ?A ?? 3 , sin A ? ,sin A ? ? ? ? ,所以 2 2 2 ?2 8? 2

又 A ? ? 0,

? ? ? ? 高三数学(文)第四次质检试卷答案 第1页 共4页 ? ,所以 A= ,???9 分 4 ? 2?
2

又 c ? 4, a ? b ? 4 2 ,由余弦定理得 a ? 4 2 ? b

?

?

2

? b 2 ? 16 ? 4 2b ,得 b ? 2 2 ,

所以 S

ABC

1 1 2 ? bc sin A ? ? 4 ? 2 2 ? ? 4 .???12 分 2 2 2

-5-

20.解: (Ⅰ)如图,连接 AC ,设 AC

BD ? Q ,又点 E 是 PC 的中点,

则在 ?PAC 中,中位线 EQ // PA ,???3 分 又 EQ ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE 。 所以 PA / / 平面 BDE ???5 分 (Ⅱ)依据题意可得: PA ? AB ? PB ? 2 ,取 AB 中点 O ,所以 PO ? AB ,且 PO ? 又平面 PAB ? 平面 ABCD ,则 PO ? 平面 ABCD ; ???6 分 作 FM / / PO 于 AB 上一点 M ,则 FM ? 平面 ABCD , 因为四边形 ABCD 是矩形,所以 BC ? 平面 PAB ,则 ?PBC 为直角三角形,??8 分 所 以 BC ?

3

1 PC 2 ? PB 2 ? 2 3 , 则 直 角 三 角 形 ?ABP 的 面 积 为 S ?ABP = AB ? AD ? 2 3 2 4 1 2 3 2 3 ???10 分 =VB ? AFD ? VF ? ABD ? S ?ABD ? FM ? FM ? FM = 3 3 3 3 2 3 FM FA 2 由 FM / / PO 得: ????12 分 = =? ? 3 =? ? ? = PO PA 3 3

-6-

22.解:(1) 设 F (?c, 0)(c ? 0) ,则根据椭圆性质得

3 2 3 a ,所以有 a 2 ? c 2 ? a 2 , 4 4 c 1 即 a 2 ? 4c 2 , a ? 2c ,因此椭圆的离心率为 e ? ? . ???5 分 a 2
M ? a ? c, m ? a ? c, 而 M ? m ?
(2) 由(1)可知 a ? 2c , b ?

a 2 ? c 2 ? 3c ,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 . ???6 分 4c 2 3c 2

高三数学(文)第四次质检试卷答案 第 3 页 共 4 页 根据条件直线 AB 的斜率一定存在且不为零,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c ) ,

? y ? k ( x ? c) 并设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 则由 ? 消去 y 并整理得 ? x2 y2 ? ? 1 ? 2 ? 4c 3c 2

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8ck 2 x ? 4k 2 c 2 ? 12c 2 ? 0
从而有 x1 ? x2 ? ?

???8 分

8ck 2 6ck , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2c) ? 2 ,???10 分 2 4k ? 3 4k ? 3

G (?

4ck 2 3ck , 2 ). 2 4k ? 3 4k ? 3

-7-

3ck ck 2 4k 2 ? 3 因为 DG ? AB ,所以 , . ???12 分 x ? ? ? k ? ?1 D 4k 2 ? 3 4ck 2 ? 2 ? xD 4k ? 3
由 Rt ?FGD 与 Rt ?EOD 相似,所以

S1 GD ? ? S 2 OD 2

2

(?

4ck 2 ck 2 2 3ck 2 ? ) ?( 2 ) 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ? 9 ? 9 ? 9 . ck 2 2 k2 (? 2 ) 4k ? 3

???14 分

-8-


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