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2013-2014学年第一学期重庆大学数理统计试题及参考答案

2013-2014 学年第一学期(秋) 《数理统计》 (A)课程试卷
重庆大学
请保留四位小数,部分下侧分位数为: u0.95 ? 1.65 , u0.99 ? 2.33 , ?0.95 (1) ? 3.841 ,
2

f0.95 (3,6) ? 9.78
一、 (18 分)设 X 1 , X 2 ,…, X 64 是来自总体 N (0, ? )的样本, X , S 分别是样本
2
2

均值和样本方差: (1)求参数 c 满足 P{ X ? S ? c} ? 0.1 ; (2)求概率 P{

2 X 12 ? X 2 ? 1} ; 2 X 32 ? X 4

(3)求 D ?

? 32

?(X ?
i ?1

32 ? i

? ? X i ? 2 X )2 ? 。(请写出计算过程) ?

解 :( 1 )

n?X nX ? n ? c} ? 0.1 ~ t (n ? 1) ? P{ X ? S ? c} ? P{ S S



n ? c ? t0.95 (63) 故 c ? 1.65 ? 0.2063 8
(2) X ~ N (0, ? ) ? ( X1 / ? )2 ? ( X 2 / ? )2 ~ ? 2 (2) 同理 ( X 3 / ? ) ? ( X 4 / ? ) ~
2
2 2

? 2 (2)

2 X12 ? X 22 ( X1 / ? )2 ? ( X 2 / ? )2 ( X 3 / ? )2 ? ( X 4 / ? )2 X 12 ? X 2 ? 2 2? / ~ F (2,2) P{ 2 ? 1} ? P{F (2, 2) ? 1} 2 X3 ? X4 X3 ? X4 2 2 2 2 X 2 ? X2 X 12 ? X 2 1 ? 1} ? 1 ? P { ? 1} ? 0.5 ? F0.5 (2, 2) ? 1 得 P{ 12 2 2 X3 ? X4 X 32 ? X 4 F0.5 (2, 2)

且 F0.5 (2, 2) ?

(3)令 Yi ? X i ? X n?i ~ N (2? ,2? 2 ) , Y ?

n 1 n 2 ? T ? (Yi ? Y )2 ? (n ? 1) SY Y ? 2 X ? ?i n i ?1 i ?1

32 ? 32 ? D ?? ( X 32?i ? X i ? 2 X )2 ? ? DT ? D[? (Yi ? Y )2 ] i ?1 ? i ?1 ?

Yi ? Y ~ N (0, 2? 2 (1 ? 1/ n))

?

Yi ? Y 2? 2 (1 ? 1/ n)
2

~ N (0,1)

= D[2? (1 ? 1/ n)

?(
i ?1

32

Yi ? Y 2? (1 ? 1/ n)
2

) 2 ? 4? 4 (1 ? 1/ n) 2 D( ? 2 (32)) ? 256? 4 (1 ? 1/ 32) 2
2

二、 ( 26 分 ) 设 X 1 , X 2 , … , X n 是 来 自 总 体 X ~ N (2, ? )(? ? 0) 的 样 本 ,

2 ?; (1)求参数 b ? ( A ? 2) 的矩估计量 b P{X ? A} ? 0.95 。 1 (2)求参数 b 的最大似然估计

? ,并评价 b ? 的无偏性、有效性、相合性; 量b (3)求参数 b 的置信度是 1 ? ? 的置信区间。 2 2
(4)试确定检验问题: H 0 : b ? b0 , H1 : b ? b0 (b0 ? 0) 的检验统计量和拒绝域。 解:

X ~ N (2, ? 2 ) ?

X ?2

?

A?2

?

~ N (0,1) 0.95 ? P{ X ? A} ? P{

X ?2

?

?

A?2 }

?

?

2 2 2 且 EX ? ( EX ) ? DX ? u0.95 即 A ? 2 ? ? u0.95 (1) b ? ( A ? 2)2 ? ? 2u0.95

??2 ?4 ?

n 1 n 2 1 n 2 ? ? ( 1 X 2 ? 4)u 2 ? X ? ? ? X ? 4 ? b ? i ? i ? i 1 0.95 n i ?1 n i ?1 n i ?1

(2) A ? 2 ? ? u0.95 ? b ?? ?
n

b u0.95

? 1 f ( x) ? e 2??

( x ? 2)2 2? 2

( x ? 2) u0.95 ? u 2b 建立似然 ? 0.95 e 2??

2 2

函数 L(b) ? (2? ) 2 u0.95b 2 e
n

?

n

?

n

? i?1

2 ? ( xi ?2)2u0.95

2b

u2 n n n ln L(b) ? ? ln(2? ) ? n ln u0.95 ? ln b ? 0.95 ? ( xi ? 2) 2 2 2 2b i ?1
n

( xi ? 2)2 2 i ?n n d ln L(b) n 1 u0.95 n 2 ? ? ? 1 ( x ? 2)2 u 2 ? ? ? ? 2 ? ( xi ? 2) ? 2 (u0.95 i ?1 ? b) b ? i 2 0.95 db 2 b 2b i ?1 2b n n i ?1
? )? 无偏性:E (b 2
2 n u0.95 u2 2 ? 是参数 b 的无偏估计。 E (? ( xi ? 2) 2 ) ? 0.95 ? n? 2 ? u0.95 ?2 ?b?b 2 n n i ?1
n

有效性:

d ln L(b) n 2 ? 2 (u0.95 db 2b

? ( x ? 2)
i ?1 i

2

n

? b)且c(b) ?

n 仅是b的函数; 2b 2

? )? 又 E (b 2

2 n u0.95 ? 是 b 的有效估计量。 E (? ( xi ? 2)2 ) ? b ? b 2 n i ?1

相合性:因为 T ?

2 n ' ' 2 u0.95 E (? ( xi ? 2)2 ) , g ' (b) ? 1 ,所以 I (b) ? c(b) g (b) ? 1 2 , DT ? g (b) ? 2b n n 2b c(b) n i ?1
2

? 是 b 的相合估计量。 ? ) ? 2b ? 0(n ? ?) 故 T ? b DT ? D(b 2 2 n
(3) b ? ? u0.95 ? b 的置信度是 1 ? ? 的置信区间既是 ? 的置信度 1 ? ? 的置信区间。因
2 2

2

均 值 ? 已 知 设 样 本 方 差 为 S

2

, 得 ?

2

置 信 度 为 1?? 的 置 信 区 间

(

(n ? 1) S 2 (n ? 1) S 2 63S 2 63S 2 , ) ? ( , ) ? b 的置信度是1 ? ? 的置信区间为 2 2 ? 2 ? (n ? 1) ? ? (n ? 1) ? 2 ? (63) ? ? (63)
1? 2 2
2 u0.95 ? 2 ? (63)2 1?

1?

2

2
2 2 u0.95 ?? (63)

(

2 u0.95 S2

?

2

?

2

63
选 择 检

,

2 u0.95 S2

?

2

?

2

63
计 量 :

)
(n ? 1) S 2 ~ ? 2 (n ? 1)



4







?2









Ko ? {

u

2 2 0.95 2

S

2 ? 2 ? u0.95

?

?

1?

2

63



u

2 2 0.95 2

S

2 2 ?? u0.95

?

?

2

63

)
2

三、 (14 分) 假设飞机上用的铝制加强杆有两种类型 A 与 B, 它, 它们的抗拉强度 ( kg / mm ) 分别服从 N ( ? A , ? A ) 与 N ( ?B , ? B ) 。 由生产过程知其标准差 ? A ? 1.2 , ? B ? 1.5(1) 若从 A、
2 2

B 两类加强杆中抽取的样本容量相同,那么要使得 ? A ? ?B 的 0.90 的置信区间长度不超过 2.5kg/mm2 需要多少样本量?(2)给出统计假设 H 0 : ? A ? 1.1?B , ? A ? 1.1?B 的检验统计量和 拒绝域。若对 A,B 两类加强杆各自独立地抽取了 7 根,测得抗拉强度的样本均值分别是 87.6 与 74.5,试对统计假设进行检验(显著性水平取 0. 1) 。 解:1)设 X、Y 分别表示铝制加强杆两种类型 A、B 的抗拉强度, X 、 Y 为样本均值。则 X、Y 相互独立且 X ~ N ( ? A ,
2 2 2 ?A ??B ?2 ?A ) ) , X ~ N (?B , B ) ? X ? Y ~ N (? A ? ?B , n n n

? P{

X ? Y ? (? A ? ?B ) (? ? ? ) / n
2 A 2 A

? u0.95 } ? 0.90

由题置信区间的长度 2u0.95 (? A ? ? B ) / n ? 2.5
2 2

解得样本容量 n ? 7 。 2)由题意知 X ? 87.6 , Y ? 74.5 当 H 0 成立时 X ? Y ~ N (0.1?B ,(? A ? ? B ) / n)
2 2

拒绝域 K 0 ? {

X ? Y ? 0.1? B )
2 2 (? A ?? A )/n

? u0.9 }

四、 (12 分)用铸造与锻造两种方法制造某种零件,从各自制造的零件中分别随机抽取 100 只,经检验发现铸造的有 10 个不合格品,锻造有 3 个不合格品。试问在显著水平 ? ? 0.05 下,能否认为零件的不合格率与制造方法有关? 解:根据题意,我们提出如下统计假设:

H 0 :零件的不合格率与制造方法无关; H1 :零件的不合格率与制造方法有关。
知 n ? 200, m ? 2, r ? 0 .在显著性水平 ? ? 0.05 下,选择检验统计量 ? ?
2

?
i ?1

2

(vi ? npi ) , npi

拒绝域为: {? ? ?0.95 (1) ? 3.841}
2 2

根据原假设,不同制造方法下零件不合格品的理论频数 np ? 6.5 , ? 的样本值为
2

(vi ? npi ) (10 ? 6.5)2 (6.5 ? 3)2 2 ? ?? ? ? ? 1.8846 ? ?0.95 (1) ? 3.841 落在接受域内,故 npi 6.5 6.5 i ?1
2 2

认为零件的不合格率与制造方法无关。 五(18 分)设样本 ( xi , Yi ) , i ? 1, 2 (1)求参数 , n 满足 Yi ? 2 ? ?1 xi ? ? i , ? i ~ N (0, ? 2 ) 。

? ;( 2 ) 分 析 ? ? 的 分 布 ;( 3 ) 求 ES 2 , 其 中 ?1 的 最 小 二 乘 估 计 量 ? E 1 1
2 ? x , i ? 1, 2, ?i ) 2 , y ?i ? 2 ? ? SE ? ? (Yi ? y 1 i i ?1 n

, n.。
2 n ?S E ? ?2? xi ( yi ? 2 ? ?1 xi ) ??1 i ?1

解: (1)由题得: S ?
2 E

?(y ? 2 ? ? x )
i ?1 i 1 i

n

2

n ?S 2 令 E ? 0 ??2? xi ( yi ? 2 ? ?1 xi ) ? 0 ??1 i ?1

? ? 得? 1

? (x y ? 2x )
i ?1 i i i

n

?x
i ?1

n

2 i

? ? (2) ? 1

? (x y ? 2x )
i ?1 i i i

n

?x
i ?1

n

, Yi ? 2 ? ?1 xi ? ? i , Yi ~ N (2 ? ?1 xi , ? )
2

2 i

? ~ N (E? ? , D? ? ) 服从正态分布。 由正态分布的性质推知 ? 1 1 1
n n n n ? n ? ( x Y ? 2 x ) E [ x Y ? 2 x ] x EY ? 2 xi ? ? ? ? i ? i i i i i ?? i i i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 ? ?? E ?1 ? E ? ? n n n 2 2 ? ? x x xi2 ? ? ? i i ? ? i ?1 i ?1 i ?1 ? ?

EYi ? E (2 ? ?1 xi ? ? i ) ? 2 ? ?1 xi

? ?? ? E? 1 1

n n n ? n ? ( x Y ? 2 x ) D [ x Y ? 2 x ] xi 2 DYi ? ? ? i ? i i i ?? i i ?2 i ?1 i ?1 i ?1 ? ? D ? i ?1 ? D? ? ? ? 1 n n n n 2 2 2 2 2 ? ? x ( x ) ( x ) xi2 ? ? ? ? i i i ? ? i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 ? ?
n n n

2 (3) ES E ?E

? (Yi ? 2 ? ?1xi )2 ? ?[D(Yi ? 2 ? ??1xi ) ? E 2 (Yi ? 2 ? ??1xi )] ? ?[D(Yi ? 2 ? ??1xi )]
i ?1 i ?1 i ?1

? x )] ? [ DY ? D( ? ? x ) ? 2cov(Y , ? ? x )] ? ?[ D(Yi ? ? ? i 1 i 1 i i 1 i
i ?1 i ?1

n

n

??
i ?1

n

xi2

?x
i ?1

n

2 i

? 2 ? 2?
i ?1

n

xi2

?x
i ?1
n i ?1

n

? 2 ? n? 2 ? ? 2 ? 2? 2 ? (n ? 1)? 2

2 i

? x ) ? cov(Y , cov(Yi , ? 1 i i xi2

? (x Y ? 2x )
i i n i

?x
i ?1

xi ) ?

xi

2 i

?x
i ?1

n

2 i

cov(Yi , ? ( xiYi ? 2 xi )) ?
i ?1

n

xi

?x
i ?1

n

2 i

cov(Yi , ? xiYi )
i ?1

n

?

?x
i ?1

n

cov(Yi , Yi ) ?

xi2

2 i

?x
i ?1

n

?2

2 i

则 ES ? n? ?
2 E 2

?
i ?1

n

xi2

?x
i ?1

n

2 i

? ? 2?
2 i ?1

n

xi2

?x
i ?1

n

? 2 ? n? 2 ? ? 2 ? 2? 2 ? (n ? 1)? 2

2 i

六、 (12 分) 某食品公司对一种食品设计了四种新的包装。 为了考察哪种包装最受顾客欢迎, 选了 10 个地段繁华程度相似, 规模相近的商店做试验, 其中两种包装各指定两个商店销售, 另两种包装各指定三个商店销售。在试验期内各店货架排放的位置、空间都相同,营业员 的促销方法也基本相同,经过一段时间,记录其销售量数据(见下表) : 包装类型 1 2 3 4 销售量 12 14 19 24 18 12 17 30 13 21

若使用单因素方差分析(1)指出方差分析中的指标、因素和水平; (2)指出方差分析中假 设检验的原假设 H 0 和备择假设 H1 ;(3)指出方差分析方法使用的条件,并完成下列方差 分析表,分析哪种包装方式效果好。 ( ? ? 0.05 ) 方差来源 因素 随机误差 总和 DF(自由度) S2(平方和) 258 46 304
S 2 均方差

F值

解;(1)方差分析中的指标是该食品的销售量;因素为该食品的包装;水平为 1、2、3、4 这四 种包装。 (2)记 ?1 、 ? 2 、 ?3 、 ? 4 分别为四种包装下食品销售量的均值,提出如下假设:

H 0 : ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4

H1 : ? 、 ?、 ? 、 ? 不全相等 1 2 3 4

(3)方差分析表使用的条件:1)每个水平服从正态分布且相互独立,方差相同。 2)每个水平下取的样本独立同分布且有代表性。

完成后的方差分析表 方差来源 因素 随机误差 总和 DF(自由度) 3 6 9 S2(平方和) 258 46 304
S 2 均方差

F值 11.2125

86 7.67

因 F=11.2125>F0.95(3,6)=9.78.所以拒绝原假设 H 0 .认为包装对食品销售量影响显著。 计算因素包装各个水平下的效应值

? 2 ? y2 ? y ? 13 ? 18 ? ?5 ? ?1 ? y1 ? y ? 15 ? 18 ? ?3 ? ?3 ? y3 ? y ? 19 ? 18 ? 1 ?
? 4 ? y4 ? y ? 27 ? 18 ? 9 计算结果表明,包装 4 效果好。 ?


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