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2013-2014学年高二数学(苏教版选修2-2) 第1章 导数及其应用 本章练测 Word版含解析]


第1章
建议用时 120 分钟

导数及其应用(苏教版选修 2-2)
实际用时 满分 160 分 实际得分

一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.函数 2.函数
2 f ( x) ? ?2πx? 的导数是

. .

f ( x) ? x ? e? x 的一个单调递增区间是

3. 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线

y ? ax2 相切,则

前 n 项和的公式是 . 12.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x ∈(-∞,0)时,不等式恒成立. 若, , ,则 a、b、 c 的大小关系 是 . 13. 设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函 数,当 x<0 时, ,且 g(-3)=0,则不等式的 解集是 . 1 3 7 2 2 14.已知函数 f(x)= x -x - x, 则 f(-a )与 f(-1) 2 2 的大小关系为 二、解答题(共 90 分) 15. (14 分)求下列函数的导数: (1)y=5-4; .

a ? ______ .
4.已知函数 f(x)的导数为 f′(x)=4-4x,且 f(x)的图 象过点(0,-5),当函数 f(x)取得极大值-5 时,x 的 值应为 是 为 . . . 5. 曲线 y= -2 -4x+2 在点(1 ,- 3)处的切线方程 6. 函 数 y=x+2cosx 在 [0, 上 取 得 最 大 值 时 , x 的 值 7.函数 f(x)=,已知 f(x)有两个极值点,则 = .

8.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架, 要求长方体的长与宽之比为 2∶1, 则该长方体的长、 宽、 高各为 时, 其体积最大. (2)y=3+xcos x;

9.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,导函数 f′(x)在 (a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b) 内的极值点的个数是 .

(3)y=tan x;

sin x 10.已知 y ? ,x ? (?π,π) ,当 y ? ? 2 时, 1 ? cos x . x?
11.对正整数 n ,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x=2 处的切

线与

? a ? y 轴交点的纵坐标为 an ,则数列 ? n ? 的 ? n ? 1?

(4)y=x;

17. (14 分) 已知函数

f ( x) ? ax4 ln x ? bx4 ? c (x>0)

在 x=1 处取得极值-3-c,其中 a, b, c 为常数. (1)试确定 a , b 的值; (5)y=lg x-.

16. (14 分) 设函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 2 分别在 x1、x2
3

处取得极小值、极大值.xOy 平面上点 A、 B 的坐 标分别为 、 ,该平面上动点 (x1 ,f ( x1 )) (x2 ,f ( x2 ))

(2)讨论函数 f ( x ) 的单调区间;

?4 ,点 Q 是点 P 关于直线 P 满 足 P A? P B y ? 2 (x ? 4的对称点 ) .
求:(1)求点 A、 B 的坐标;

(2)求动点 Q 的轨迹方程.

(3) 若对任意 x >0, 不等式 求 c 的取值范围.

f ( x) ? ?2c 2 恒成立,

18. (16 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x (a ? R) . (1) 若 a 斜率;

? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的

19. (16 分)已知函数 f(x)=aln x++1. (1)当 a=-时,求 f(x)在区间[,e]上的最值;

(2)求 f ( x) 的单调区间;

(2)讨论函数 f(x)的单调性.

(3) 设

, )均 存 在 x2 ??0 , ? 1, 使 得 x1 ? ( 0 ? , ?

g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 , 若 对 任 意

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范围.

20 .( 16 分 ) 已 知 函 数 f

?

x x ?? ?

g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 .
(1 ) 若x 点,求实数 a 的值;

a2 , x

? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值

(2 )若对任意的 x1 , x2 ? 取值范围.

?1,e? (e为自然对数 的底数) 都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立, 求实数 a 的

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第 1 章导数及其应用(苏教版选修 2-2) 答题纸
得分: 一、填空题 1. 8. 14. 二、解答题 15. 2. 9. 3. 10. 4. 11. 5. 12. 6. 13. 7.

16.

17.

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18.

19.

20.

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第1章

导数及其应用(苏教版选修 2-2) 答案

一、填空题 1.

f ?( x) ? 8π 2 x

解析: f ( x) ? ?2πx? ? 4π 2 x 2 ,? f ?( x) ? 2 ? 4π 2 x ? 8π 2 x ;
2

或 f ?( x) ? 2 ? ?2 πx ? ? ?2 πx ?? ? 4 πx ? 2 π ? 8π 2 x . 2. ( 解析: f ( x) ? x ? e ? x ?
x x x ? e x , ?1 ? x ? ? e . ? f ?( x) ? 1 ? e ? x ? 0,? x ? 1 . x 2 2 e ex ex

? ?

? ?

或 f ?( x) ? 1 ? e? x ? x ? e? x ? ?? 1? ? (1 ? x) ? e ? x ? 0. ?e? x ? 0,? x ? 1. ∴ 函数 3.

f ( x) ? x ? e? x 的单调递增区间是(.

1 4

解析:设切点 P( x0 , y0 ) .因为错误!未指定书签。 ,所以
2 0

y? ? 2ax .
① ② ③

由题意知 x0 ? y0 ? 1 =0,

y0 ? ax , 2ax0 ? 1,
由①②③解得 a ? 4.0 c= 5.5x+y-2=0

1 . 4

解析:可以设 f(x)=-2+c,其中 c 为常数.由于 f(x)过(0,-5),所以 f(x)=-2-5,所以 -5.由 f′(x)=0,得极值点为 x=0 或 x=±1.当 x=0 时,f(x)=-5,故 x 的值为 0. 解析:∵ y′=3-4x-4,∴ 曲线在点(1,-3)处的切线斜率 k=y′=-5,∴ 切

线方程为 y+3=-5(x-1),即 5x+y-2=0. 6. 解析:y′=1-2sin x,令 1-2sin x=0,得 sin x=.∵ x∈[0,],∴ x=.当 x∈[0,)时,y′>0;当 x∈[,]时,y′≤0,∴ f(). 7.1 解析: ,由,得的两个解,则=1. 解析:设长方体的宽为 x (m) ,则长为 2 x (m),高为 8.2 cm,1 cm,1.5 cm

h?

18 ? 12 x 3? ? ? (4.5 ? 3x)(m) ? 0<x< ? . 4 2? ?

故长方体的体积为 V ( x) ? 2 x 2 (4.5 ? 3 x) ? (9 x 2 ? 6 x 3) (m3 )(0<x< ). 从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 ? 18x(1 ? x). 令 V ?( x) ? 0 ,解得 x =0(舍去)或 x =1,因此 x =1. 当 0< x <1 时, V ?( x) ? 0 ;当 1< x < 3 时, V ?( x) ? 0 ,
2

3 2

故在 x =1 处 V ( x ) 取得极大值,并且这个极大值就是 V ( x ) 的最大值.
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因此体积最大时长方体的长为 2 cm,宽为 1 cm,高为 1.5 cm. 9.3 10. 11.
y?
x ?2

解析:根据导函数图象,导数值异号的分界点有 3 个,故有 3 个极值点. 解析:

Sn ? 2n?1 ? 2
n







y? ? nxn?1 ? (n ? 1) xn



? ?2n?1 ? n ? 2 ? , 切线方程为 y ? 2n ? ?2n?1 ? n ? 2 ? ( x ? 2) ,令 x =0,求出切线与

y 轴交点的纵

2 1 ? 2n an a n ? ? n 坐标为 y0 ? ? n ? 1? 2 ,所以 ? 2 ,则数列 ? ? 2n?1 ? 2 . ? 的前 n 项和 Sn ? n ?1 1? 2 ? n ? 1? 12. 解析:设 g(x)=xf(x),由 y=f(x)为 R 上的奇函数,可知 g(x)为 R 上的偶函数.
而 g′(x)=[xf(x)]′=f(x)+xf′(x). 由已知得,当 x∈(-∞,0)时,g′(x)>0,故函数 g(x)在(-∞,0)上单调递增. 由偶函数的性质可知,函数 g(x)在(0,+∞)上单调递减. 因为=g(-2)=g(2), 且,故. 13.(-∞,-3)∪(0,3) 解析:因为 ,则在 x<0 时递增. 又因为分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 所以为奇函数,关于原点对称,所以在 x>0 时也是增函数. 因为 所以当时,可转化为,即; 当时,可转化为,即. 14.f(-a )f(-1)
2

?

?

解析:由题意可得.

1 7 由= (3x-7)(x+1)=0,得 x=-1 或 x= . 2 3 当时,为增函数; 当时,为减函数; 当 x>时,为增函数. 所以 f(-1)是函数 f(x)在(-∞,0]上的最大值. 2 2 又因为-a ≤0,故 f(-a )≤ f(-1). 二、解答题 15.解:(1)y′=-12. (2)y′=(3+xcos x)′=6x+cos x-xsin x. (3)y′=()′==. (4)y′=+ln x. (5)y′=+. 16.解: (1)令 当x 解得 x ? 1或x ? ?1 . f ?( x) ? (? x3 ? 3x ? 2)? ? ?3x 2 ? 3 ? 0,

? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . x ? ?1 处 取 得 极 小 值 , 在 x ? 1 处 取 得 极 大 值 , 故

所 以 函 数 在

x1 ? ?1, x2 ? 1, f (?1) ? 0, f (1) ? 4 .
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所以点 A、B 的坐标为 A(?1,0), B(1,4) . (2) 设 P(m, n) , Q ( x, y ) ,PA ? PB ?

? ?1 ? m, ?n ? ? ?1 ? m, 4 ? n ? ? m2 ?1 ? n2 ? 4n ? 4 ,

k PQ ? ?

1 y?n 1 ? ? . 又 PQ 的 中 点 在 y ? 2( x ? 4) 上 , 所 以 , 所 以 2 x?m 2

y?n ? x?m ? ? 2? ? 4? , 2 ? 2 ?
消去 m, n 得

?x ? 8?2 ? ? y ? 2?2 ? 9 .
1 ? 4bx 3 ? x3 (4a ln x ? a ? 4b) . x

17.解: (1)由题意知 f (1) ? ?3 ? c ,因此 b ? c ? ?3 ? c ,从而 b ? ?3 . 又对 f ( x ) 求导得 f ?( x) ? 4ax ln x ? ax ?
3 4

由题意知 f ?(1) ? 0 ,因此 a ? 4b ? 0 ,解得 a (2)由(1)知 当0 ? 当x

? 12 .

,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . f ?( x) ? 48x3 ln x ( x ? 0 )

x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 为减函数;

? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 为增函数.

因此 f ( x ) 的单调递减区间为 (0, 1) , f ( x) 的单调递增区间为 (1 ,∞ ? ). (3)由(2)知, f ( x ) 在 x 要使

? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 ? c ,此极小值也是最小值,

f ( x) ≥ ?2c2 ( x ? 0 )恒成立,只需 ?3 ? c ≥ ?2c 2 .
2

即 2c ? c ? 3 ≥ 0 ,从而 (2c ? 3)(c ? 1) ≥ 0 ,解得 c ≥ 所以 c 的取值范围为 (??, ? 1] 18.解:(1)由已知 f ?( x) ? 2 ? 故曲线 y ? f ( x) 在 x (2) f ?( x) ? a ?

3 或 c ≤ ?1 . 2

?3 ? , ? ?? . ? ?2 ?

? 1 处切线的斜率为 3 .

1 ( x ? 0) , f ?(1) ? 2 ? 1 ? 3 . x

①当 a ? 0 时,由于 x ? 0 ,故 ax ? 1 ? 0 , f '( x) ? 0 , 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为. ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?

1 ax ? 1 ? ( x>0) . x x

1 . a 1 a

在区间 (0, ? ) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (? , ??) 上, f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( 0, ?

1 a

1 1 ) ,单调递减区间为 (? ,?? ) 错误!未指定书签。. a a

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(3)由已知,转化为 由(2)知,当 a

f ( x)max ? g ( x)max , g ( x)max ? 2 .

? 0 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,值域为 R,故不符合题意.

(或者举出反例:存在 当a

f (e3 ) ? ae3 ? 3 ? 2 ,故不符合题意.)

1 1 ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0,? ) 上单调递增,在 (? ,?? ) 上单调递减, a a 1 1 故 f ( x ) 的极大值即为最大值, f (? ) ? ?1 ? ln( ) ? ?1 ? ln(? a) , a ?a 1 所以 2 ? ?1 ? ln(?a) ,解得 a ? ? 3 . e
19.解:(1)当 a=-时,f(x)=-ln x++1, ∴ f′(x)=+=. ∵ f(x)的定义域为(0,+∞),由 f′(x)=0 得 x=1. ∴ f(x)在区间[,e]上的最值只可能在 f(1), f(),f(e)取到,而 f(1)=,f()=+,f(e)=+, ∴ =f(e)=+,=f(1)=. (2)f′(x)=,x∈(0,+∞). ①当 a+1≤0,即 a≤-1 时,f′(x)<0,∴ f(x)在(0,+∞)上单调递减; ②当 a≥0 时,f′(x)>0,∴ f(x)在(0,+∞)上单调递增; ③当-1<a<0 时,由 f′(x)>0,得>,∴ x>或 x<-(舍去), ∴ f(x)在(,+∞)上单调递增,在(0,)上单调递减. 综上,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当-1<a<0 时,f(x)在(,+∞)上单调递增,在(0,)上单调递减; 当 a≤-1 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减. 20.解: (1)方法一:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ?? , x

a2 1 ? . x2 x 2 ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 .

a ? 0 ,∴ a ? 3 . 经检验当 a ? 3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,
∵ ∴

a ? 3.
a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ?? , x

方法二:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 1 ? . x2 x a2 1 2 2 令 h? ? x ? ? 0 ,即 2 ? 2 ? ? 0 ,整理,得 2 x ? x ? a ? 0 . x x 2 ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,


h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ?

当 x 变化时, h

? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 (舍去) , x2 ? , 4 4

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x
h? ? x ?

? 0, x2 ?
— 单调递减

x2
0 极小值

? x2 , ???
+ 单调递减

h ? x?
依题意,

?1 ? 1 ? 8a 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 ,∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 4 (2)对任意的 x1, x2 ??1 ,e? 都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立等价于对任意的 x1, x2 ??1 ,e? 都
有? ? f ? x ?? ? min ≥ ? ? g ? x ?? ? max .

当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ? ∴ 函数 g

? x? ? x ? ln x 在 ?1,e? 上是增函数.
max

1 ?0. x

∴ ? ? g ? x ?? ?

? g ?e? ? e ?1 .

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? ,且 x ??1,e? , a ? 0 . x2 x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ① 当0 ? a ? 1 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? x2 a2 ∴ 函数 f ? x ? ? x ? 在[1, e ]上是增函数, x
∵ f ?? x? ? 1? ∴ ? ? f ? x ?? ? min ? f ?1? ? 1 ? a .
2

由 1 ? a ≥ e ? 1 ,得 a ≥
2

e.

又 0 ? a ? 1 ,∴ a ≥ ②当1≤ a ≤ e 时,

e 不合题意.

若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ?

x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 . 若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? x2 a2 ∴ 函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数. x ∴ ? ? f ? x ?? ? min ? f ? a ? ? 2a .
由 2 a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ;

e ?1 . 2

e ?1 ≤a≤e. 2

③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴ 函数 f ? x ? ? x ? ∴ ? ? f ? x ?? ? min

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 在 ?1 ,e? 上是减函数. x a2 ? f ?e? ? e ? . e
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由e?

又 a ? e ,∴

a2 ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , e

a ? e.

综上所述, a 的取值范围为 ?

? e ?1 ? , ?? ? . ? 2 ?

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