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高中数学必修5(北师版)第一章数列1.2 等差数列(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修5(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 数列 1.2 等差数列

一、知识清单
等差数列的概念与性质

二、知识讲解
1.等差数列的概念与性质 描述: 等差数列 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列(arithmetic sequence),这个常数叫做等差数列的公差(common difference), 公差通常用字母 d 来表示. 由三个数 a ,A ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A 叫做 a 与 b 的等差 中项(arithmetic mean),且 2A = a + b. 等差数列的通项公式:an = a1 + (n ? 1)d . 等差数列的性质 (1)an ,am 是数列 {an } 中任意两项,则 an = am + (n ? m)d. (2)若 n,m ,p ,q 均为下标,且 n + m = p + q ,则 an + am = ap + aq . (3)下标(项的序号)成等差数列,且公差为 m 的项:ak ,ak+m ,ak+2m ,? (k, m ∈ N ? ) 组成公差为 md 的等差数列. 等差数列的前 n 项和 一般地,我们称 a1 + a2 + a3 + ? + an 为数列的前 n 项和,用 S n 表示,即 S n = a1 + a2 + a3 + ? + an . 等差数列的前 n 项和公式:S n =

n(a1 + an ) n(n ? 1) = na1 + d. 2 2 n = 1, 通项 an 与 S n 的关系为:an = { S 1 , S n ? S n?1 , n ≥ 2. 等差数列前 n 项和的性质 (1)等差数列 {an } 中连续 m 项的和 S m ,S 2m ? S m ,S 3m ? S 2m ,? 仍为等差数列,公 差为 m 2 d. (2)等差数列 {an } 中,记奇数项的和为 S 奇 ,偶数项的和为 S 偶 . S奇 a 当项数为 2n 时,S 偶 ? S 奇 = nd, = n ;当项数为 2n + 1 时,S 奇 ? S 偶 = an+1 , a S偶 n+1 S奇 n+1 . = n S偶 S (3)若数列 {an } 为等差数列 ? S n = An2 + Bn (A 、B 为常数). n = An + B ,故数 n Sn 列 { } 仍为等差数列,且公差为 A . n

n
(4)利用等差数列前 n 项和 S n = na1 + 以求其最大值或最小值.

n(n ? 1) d d d = n2 + (a1 ? )n 的函数特征 ,可 2 2 2

例题: 判断下列数列是否为等差数列: (1)1, 3, 5, 7, 9, ? ; (2)2, ?2, 2, ?2, 2, ? ; (3)0, 1, 1, 1, 1, ? . 解:(1)该数列从第 2 项起,每一项与前一项的差等于同一个常数 2 ,所以是等差数列; (2)a2 ? a1 = ?2 ? 2 = ?4 ,a3 ? a2 = 2 ? (?2) = 4,因为 a2 ? a1 ≠ a3 ? a2 ,所以该数 列不是等差数列; (3)该数列从第 3 项起,每一项与前一项之差都为常数 0 ,但整体不是等差数列. 已知 {an } 为等差数列,且 a3 = 5 ,a7 = 13 : (1)求通项公式; (2)29 是数列中的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由. 解:(1)设首项为 a1 ,公差为 d ,则

{ a3 = a1 + 2d = 5, a7 = a1 + 6d = 13.
解方程组,得

{ a1 = 1, d = 2.
所以数列 {an } 的通项公式为

an = 1 + (n ? 1) × 2 = 2n ? 1.
(2)如果 29 是这个数列的项,则方程

2n ? 1 = 29
有正整数解.解方程,得 n = 15 ,所以 29 是数列中的项,且为第 15 项. 在等差数列 {an } 中: (1)若 a2 = 2 ,a3 = 4 ,求 a10 ; (2)若 a7 + a9 = 16,a4 = 1 ,求 a12 ; (3)若 a1 + a3 + a5 = 8 ,a2 + a4 + a6 = 20 ,求公差 d . 解:(1)因为 a2 = 2 ,a3 = 4 ,所以

d = a3 ? a2 = 2,
因此

a10 = a2 + 8d = 18.
(2)因为 {an } 为等差数列,所以 a7 + a9 = a4 + a12 ,因此 a12 = 15 . (3)因为 {an } 为等差数列,所以

{

{ a1 + a3 + a5 = 3a3 = 8, a2 + a4 + a6 = 3a4 = 20.
因此公差

d = a4 ? a3 = 4.
已知单调递增的等差数列 {an } 的前三项之和为 21,前三项之积为 231 ,求数列 {an } 的通项 公式. 解:依题意,设等差数列 {an } 的前三项分别为 a ? d ,a ,a + d ,则

{
解方程组,得

(a ? d) + a + (a + d) = 21, (a ? d) ? a ? (a + d) = 231.

{ a = 7, 或 { a = 7, d = 4, d = ?4.
因为数列 {an } 为单调递增的数列,所以 d > 0.因此

{ a = 7, d = 4.
所以

an = 4n ? 1.
在等差数列 {an } 中,前 n 项和为 S n : (1)a2 = 1 ,a4 = 5 ,求数列 {an } 的前 5 项和 S 5 ; (2)S 5 = 25,a8 = 15 ,求 a21 . 解:(1)因为 {an } 为等差数列,所以 a2 + a4 = 2a3 = 6 ,即 a3 = 3 .所以

S5 =
(2)设首项为 a1 ,公差为 d ,则

5(a1 + a5 ) 5 × 2a3 = = 15. 2 2

5×4 ? = 5 + d = 25, S a 5 1 ? 2 ? a8 = a1 + 7d = 15. { a1 = 1, d = 2.

解方程组,得

所以 a21 = a1 + 20d = 41 . 在等差数列 {an } 中,a1 = 25 ,S 17 = S 9 ,求前 n 项 和 S n 的最大值. 解:因为 a1 = 25 ,S 17 = S 9 ,所以

25 × 17 +

17 × (17 ? 1) 9 × (9 ? 1) d = 25 × 9 + d, 2 2

解得 d = ?2 ,所以

S n = 25n +

n(n ? 1) × (?2) = ?(n ? 13)2 + 169. 2

由二次函数性质得,当 n = 13 时,S n 有最大值 169 .

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