当前位置:首页 >> 数学 >>

【优化方案】2012高中数学 第3章3.4基本不等式ab≤a+b2课件 新人教A版必修5


3.4 .

a+b + 基本不等式: 基本不等式: ab≤ ≤ 2

学习目标 1.理解基本不等式的内容及其证明. 理解基本不等式的内容及其证明. 理解基本不等式的内容及其证明 2.能应用基本不等式解决求最值、证明不等式 .能应用基本不等式解决求最值、 等问题. 等问题.

课前自主学案

3.4 基 . 本不等式: 本不等式: a+b + ab≤ ≤ 2
知能优化训练 课堂互动讲练

课前自主学案

温故夯基

a+b + 1.两个正数 a 与 b 的等差中项为 . ,正的等比 2 中项为______ 中项为 ab. 2.由不等式性质可知,对任意 a,b∈R,(a-b)2 .由不等式性质可知, , ∈ , - ≥ _______ ≥ 0,因此 a2+b2 _____2ab.什么时候等 , 什么时候等
= 号成立呢?当且仅当 a=b 时 取等号. 号成立呢?当且仅当_______时,取等号.

知新盖能 1.基本不等式 . (1)重要不等式:对于任意实数a、b,都有 2+b2 重要不等式:对于任意实数 、 ,都有a 重要不等式 ≥ = ___2ab,当且仅当______时,等号成立. ,当且仅当 a=b 时 等号成立. (2)基本不等式 基本不等式

a+b + ab≤ ≤ ; 形式: 2 ① 形式:_____________
> , > ②成立的前提条件:_______________; 成立的前提条件: a>0,b>0 ; ③等号成立的条件:当且仅当______时取等号; 等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号 = 时取等号;

a+b + 对任意两个正实数 、 , ④对任意两个正实数 a、b, 叫做 a,b 的 , 2 几何平均数. 算术平均数 , 几何平均数. ___________, ab叫做 a,b 的_____________ 叫做 ,
思考感悟 1.基本不等式中的a,b可以是任意为正值的代 .基本不等式中的 , 可以是任意为正值的代 数式吗? 数式吗? 提示:可以. 提示:可以.

2.应用基本不等式求最值 . 如果x, 都是正数 都是正数, 如果 ,y都是正数,那么 = (1)若积 是定值 ,那么当 x=y 时,和x+y 若积xy是定值 若积 是定值P,那么当________时 + 有最___值 有最 小 值. = (2)若和 +y是定值 ,那么当 x=y 时,积xy有 若和x+ 是定值 是定值S,那么当_______时 若和 有 最___值. 大值

思考感悟 2.两个正数的积为定值,它们的和一定有最小 .两个正数的积为定值, 值吗? 值吗?

提示:不一定.应用基本不等式求最值时还要求 提示:不一定.应用基本不等式求最值时还要求 1 等号能取到. ,+∞ 等号能取到.如: x+x,x∈[2,+∞). + ∈ ,+ .

课堂互动讲练

考点突破 利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式时, 利用基本不等式证明不等式时,要充分利用基本 不等式及其变形, 不等式及其变形,同时注意利用基本不等式成立 的条件.对要证明的不等式作适当变形, 的条件.对要证明的不等式作适当变形,变出基 本不等式的形式, 本不等式的形式,然后利用基本不等式进行证 明.

例1

已知a, , 为不全相等的正实数. 已知 ,b,c 为不全相等的正实数.求证

a2+b2+c2>ab+bc+ca. + +

【思路点拨】 思路点拨】 → 得到结论
【证明】 证明】

构造基本不等式的条件 →

运用基本不等式证明 → 判断等号成立的条件

∵a>0,b>0,c>0, > , > , > ,

∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca. , , ∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca), + + , 即a2+b2+c2≥ab+bc+ca. + +

成立. 又 a,b,c 为不全等的正实数,故等号不成立 . , , 为不全等的正实数,故等号不成立 + + ∴a2+b2+c2>ab+bc+ca. 本例条件不变, 互动探究 本例条件不变, 求证 a+b+c> ab+ + + > + bc+ ca. + 证明: > , > , > , 证明:∵a>0,b>0,c>0, ∴a+b≥2 ab>0, + ≥ > , b+c≥2 bc>0, + ≥ > , c+a≥2 ca>0. + ≥ >

∴2(a+b+c)≥2( ab+ bc+ ca), + + ≥ + + , 即 a+b+c≥ ab+ bc+ ca. + + ≥ + + 由于 a,b,c 为不全相等的正实数,故等号不成 , , 为不全相等的正实数, 立. ∴a+b+c> ab+ bc+ ca. + + > + +

利用基本不等式求函数的最值 利用基本不等式求函数的最值,要满足: 利用基本不等式求函数的最值,要满足: (1)函数式中各项必须都是正数; 函数式中各项必须都是正数; 函数式中各项必须都是正数 (2)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数 函数式中含变数的各项的和或积必须是常数 (定值 ; 定值); 定值 (3)等号成立条件必须存在. 等号成立条件必须存在. 等号成立条件必须存在

例2

3 (1)设 0<x< , 设 < < 求函数 y=4x(3-2x)的最 = - 的最 2

大值; 大值; 1 9 (2)已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小 已知 > , > , x y , + 值.
【思路点拨】 思路点拨】 不等式求解. 不等式求解. 构造和或积的定值,利用基本 构造和或积的定值,

3 【解】 (1)∵0<x< ,∴3-2x>0, ∵ < < - > , 2 ∴y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)] = - = - 2x+(3-2x) 2 9 + - ) ]= . ≤2[ 2 2 当且仅当 2x=3-2x, = - , 3 等号成立. 即 x= 时,等号成立. = 4 3 3 ∵ ∈(0, ), , , 4 2 3 9 ∴函数 y=4x(3-2x)(0<x< )的最大值为 . = - < < 的最大值为 2 2

1 9 (2)∵x>0,y>0, + =1, ∵ > , > ,x y , 1 9 ∴x+y=(x+ y)(x+y) + = + y 9x =x+ y +10≥6+10=16. ≥ + = y 9x 1 9 当且仅当x= y ,又x+ y =1, , 上式取等号. 即 x=4,y=12 时,上式取等号. = , = 故当 x=4,y=12 时,(x+y)min=16. = , = +

变式训练 1 最大值; 最大值;

4 (1)已知 x<3,求 f(x)= 已知 < , = +x 的 x-3 -

x2 的最小值. (2)已知 x>1,求 y= 已知 > , = 的最小值. x-1 - 解:(1)∵x<3,∴x-3<0. ∵ < , - < 4 4 ∴f(x)= = +x= = +(x-3)+3 - + x-3 x-3 - - 4 4 =-[ ·(3-x)+3 =- +(3-x)]+3≤-2 - + ≤ ( - ) 3-x 3-x - -

=-1, =- ,

4 当且仅当 =3-x,即 x=1 时取等号. - , = 时取等号. 3-x - 的最大值为- ∴f(x)的最大值为-1. 的最大值为 2 x2-1+1 + x 1 (2)y= = = =x+1+ + + x-1 x-1 x-1 - - - 1 =x-1+ - + +2≥2+2=4, ≥ + = , x-1 - 1 当且仅当 =x-1, - , x-1 - 等式成立, > , 即(x-1)2=1 时,等式成立,∵x>1, - ∴当 x=2 时,ymin=4. =

利用基本不等式解应用题 基本不等式在实际中的应用是指利用不等式解决 生产、科研和日常生活中的问题, 生产、科研和日常生活中的问题,解答不等式的 应用题一般可分为四步: 阅读并理解材料 阅读并理解材料; 应用题一般可分为四步:(1)阅读并理解材料;(2) 建立数学模型; 讨论不等关系 讨论不等关系; 作出结 建立数学模型;(3)讨论不等关系;(4)作出结 论.

例3

某食品厂定期购买面粉, 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需

用面粉6吨 每吨面粉的价格为 用面粉 吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的 元 保管费及其他费用为平均每天3元 保管费及其他费用为平均每天 元,购买面粉每 次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面 元 次需支付运费 粉,才能使平均每天所支付的总费用最小? 才能使平均每天所支付的总费用最小?

【思路点拨】 思路点拨】

设出变量 → 列函数关系式 →

利用基本不等式求最值 → 作出结论

【解】

设该厂每隔x天购买一次面粉, 设该厂每隔 天购买一次面粉, 天购买一次面粉

其购买量为6x吨 其购买量为 吨. 由题意可知, 由题意可知,面粉的保管费及其他费用为 3×[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1] × + - + - + + × =9x(x+1). + . 设平均每天所支付的总费用为y 设平均每天所支付的总费用为 1元,
1 则 y1=x[9x(x+1)+900]+6×1800 + + + × 900 900 =9x+ x +10809≥2 9x· x +10809=10989, + ≥ = ,

900 等号成立. 当且仅当 9x= x ,即 x=10 时,等号成立. = = 天购买一次面粉, ∴该厂每 10 天购买一次面粉, 才能使平均每天支 付的总费用最少. 付的总费用最少.
【名师点评】 解实际应用题要注意以下几点: 名师点评】 解实际应用题要注意以下几点: (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量 定义为函数. 定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需 根据实际问题抽象出函数的解析式后, 根据实际问题抽象出函数的解析式后 利用基本不等式求得函数的最值. 利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时,一定要在定义域 使实际 在求函数的最值时, 在求函数的最值时 一定要在定义域(使实际 问题有意义的自变量的取值范围)内求 内求. 问题有意义的自变量的取值范围 内求.

万元购得一块空地, 变式训练 2 某单位用 2160 万元购得一块空地, 计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房. 经测算, 如果将楼房建为 x(x≥10) 平方米的楼房. 经测算, ≥ 层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单 + 单 位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最 . 少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用= 该楼房应建为多少层? 注 平均综合费用= 平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 平均建筑费用 平均购地费用,平均购地费用= 购地总费用 ) 建筑总面积

解:设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x) 元, 2160×10000 × 则 f(x)=(560+48x)+ = + + 2000x 10800 =560+48x+ x (x≥10,x∈N*). + + ≥ , ∈ . 10800 所以 f(x)=560+48x+ x = + +

≥560+2 48×10800=2000, + × = , 10800 当且仅当 48x= x ,即 x=15 时取等号. = = 时取等号. 因此, x=15 时, 取值最小值 f(15)=2000, 当 f(x)取 因此, = = , 即为了楼房每平方米的平均综合费用最少, 即为了楼房每平方米的平均综合费用最少,该 楼房应建为 15 层.

方法感悟

a+b + 1.两个不等式 a +b ≥2ab 与 . ≥ ab都是带 都是带 2 有等号的不等式,对于“当且仅当… 有等号的不等式,对于“当且仅当…时,取‘= 这句话的含义要有正确的理解. 号”这句话的含义要有正确的理解. a+b + 一方面: 一方面:当 a=b 时, = = ab; ; 2 a+b + 另一方面: 另一方面:当 = ab时,也有 a=b. 时 = 2
2 2

2.利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、 .利用基本不等式求最值必须满足 一正 二定、 一正、 三相等”三个条件,并且和为定值,积有最大值; 三相等 三个条件,并且和为定值,积有最大值; 三个条件 积为定值,和有最小值. 积为定值,和有最小值. 3.解决实际应用问题,关键在于弄清问题的各种 .解决实际应用问题, 数量关系,抽象出数学模型. 数量关系,抽象出数学模型.利用基本不等式解 应用题,既要注意条件是否具备, 应用题,既要注意条件是否具备,还要注意有关 量的实际含义. 量的实际含义.


相关文章:
...第3章3.4基本不等式ab≤a+b2课件 新人教A版必修5_图....ppt
【优化方案】2012高中数学 第3章3.4基本不等式ab≤a+b2课件 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。高中 数学 课件 3.4 . a+b + 基本不等式: 基本不...
...3.4基本不等式:√ab≤a+b2二课件新人教A版必修5.ppt
高中数学第三章不等式3.4基本不等式:√ab≤a+b2课件新人教A版必修5 - 第三章 不等式 §3.4 基本不等式: (二) 学习 目标 1.熟练掌握基本不等式及其...
...3.4基本不等式:√ab≤a+b2一课件新人教A版必修5.ppt
高中数学第三章不等式3.4基本不等式:√ab≤a+b2课件新人教A版必修5 - 第三章 不等式 §3.4 基本不等式: (一) 学习 目标 1.理解基本不等式的内容及...
...不等式3.4基本不等式:ab≤a+b2课件新人教A版必修5_....ppt
2017_2018学年高中数学第三章不等式3.4基本不等式:ab≤a+b2课件新人教A版必修5 - 3.4 a+b 基本不等式: ab≤ 2 考 纲 定 位 重 难 突 破 ...
...不等式3.4基本不等式:ab≤a+b2课件新人教A版必修508....ppt
2017高中数学第三章不等式3.4基本不等式:ab≤a+b2课件新人教A版必修50801454 - 3.4 a+b 基本不等式: ab≤ 2 考 纲 定 位 重 难 突 破 ...
高中数学第三章不等式3.4基本不等式:ab≤a+b2新人教A版....ppt
高中数学第三章不等式3.4基本不等式:ab≤a+b2新人教A版必修5 - 3.4
高中数学第三章不等式3.4基本不等式:√ab≤a+b2一学案....doc
高中数学第三章不等式3.4基本不等式:√ab≤a+b2一学案新人教A版必修5 - 3.4 基本不等式:√ab≤(a+b)2(一) [学习目标] 1.理解基本不等式的内容及证明...
【优化方案】2012高中数学 第3章3.4不等式的实际应用课....ppt
【优化方案】2012高中数学 第3章3.4不等式的实际应用课件 新人教B版必修5_...(式)的大小,也 可证明不等式. a+bab(a>0,b>0) 2 2.均值不等式...
...高中数学第三章不等式3.4基本不等式:ab≤a+b2优化练....doc
2017_2018学年高中数学第三章不等式3.4基本不等式:ab≤a+b2优化练习新人教A版必修5 - 3.4 基本不等式 [课时作业] [A 组 基础巩固] 1.下列不等式正确的...
【优化方案】2012高中数学_第3章3.2第一课时均值不等式....ppt
【优化方案】2012高中数学_第3章3.2第一课时均值不等式课件_新人教B版必修5_...a2+b2-2ab ;由(a-b)2≥0,则a2+b2≥2ab,对于a,b∈R都 成立. 知新...
...4基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版必修5_....ppt
2017_2018年高中数学第三章不等式3.4基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版必修5 - 第三章 不等式 a+ b 3.4 基本不等式: ab≤ 2 第 1 课时 基本...
高中数学第三章不等式3.4基本不等式:√ab≤a+b2二学案....doc
高中数学第三章不等式3.4基本不等式:√ab≤a+b2二学案新人教A版必修5 - 3.4 基本不等式:√ab≤(a+b)2(二) [学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形...
高中数学第三章不等式34基本不等式ab≤a+b2优化练习新....doc
高中数学第三章不等式34基本不等式ab≤a+b2优化练习新人教A版必修50731454,高中数学笔记必修5第三章不等式,高中数学必修五第三章不等式知识点,高中数学基本不等式...
【优化方案】2012高中数学 第3章3.2第一课时均值不等式....ppt
【优化方案】2012高中数学 第3章3.2第一课时均值不等式课件 新人教B版必修5_...(a- ___; a2+b2-2ab 两数差的平方公式为 : (a - b)2 = ___ ;由...
【优化方案】2012高中数学_第3章3.1.2第一课时不等式的....ppt
【优化方案】2012高中数学_第3章3.1.2第一课时不等式的性质课件_新人教B版必修5_数学_高中教育_教育专区。3.1.2 不等式的性质 学习目标 1.认识并掌握不等式的...
...三章不等式3.4基本不等式:√ab≤(ab)2(一)课件新人教A版必修5_....ppt
2018版高中数学第三章不等式3.4基本不等式:√ab≤(ab)2(一)课件新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。2018 第三章 不等式 §3.4 基本不等式: (一) ...
【优化方案】2012高中数学_第3章3.1.2不等式的性质课件....ppt
【优化方案】2012高中数学_第3章3.1.2不等式的性质课件_新人教A版必修5 - 复习 比较大小 1. 1 3? 2 和 10 b 2. a 和 b?m a?m a ?1 (a...
【优化方案】2012高中数学 第3章本章优化总结课件 新人....ppt
【优化方案】2012高中数学 第3章本章优化总结课件 新人教A版必修5 - 本章优化总结 知识体系网络 本章优化总结 专题探究精讲 知识体系网络 专题探究精讲 不等式...
【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.2不等式的性质课件....ppt
【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.2不等式的性质课件 新人教A版必修5_数学...,= bc2,故 A 为假命题; 为假命题; a b 1 1 由 a>b>0,有 ab>0?ab...
...第三章不等式3.4基本不等式课件新人教A版必修5.ppt
2016_2017学年高中数学第三章不等式3.4基本不等式课件新人教A版必修5 - 3.4 基本不等式 a+b ab≤ 2 自主学习 新知突破 1.了解基本不等式的代数和几何...
更多相关标签: