当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学解题思路大全:巧用判别式

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

巧用判别式
张金祥

在解题中,大家往往会遇到有关一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a、b、c ? R ,a≠0) 的问题,而利用判别式 ? ? b 2 ? 4ac 解题,却能使问题化繁为简、化难为易,收到事半功 倍的效果。所以,如果已知条件中含有二次方程或二次函数,则可考虑直接应用判别式, 点击思维,灵活运用。下面通过几例解法,说明一下自己的感悟。

例 1. 已知 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ,求证: |sin 2? ? sin 2 ? ? sin 2? | ? 2 2 。 证明:由已知得 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2 构造函数 f ( x ) ? ( x sin ? ? cos? ) 2 ? ( x sin ? ? cos ? ) 2 ? ( x sin ? ? cos ? ) 2

? x 2 ? (sin 2? ? sin 2 ? ? sin 2? ) x ? 2
因 f ( x ) ? 0 ,所以 ? ? (sin 2? ? sin 2 ? ? sin 2? ) 2 ? 8 ? 0 故 |sin 2? ? sin 2 ? ? sin 2? | ? 2 2 成立。 说明:本题利用构造法,解题过程简捷、流畅,并且需要有较强的直接观察能力。

例 2. 设实数 x、y,且 x 2 ? xy ? y 2 ? 1 。求 x 2 ? xy ? y 2 的取值范围。解:已知

x 2 ? xy ? y 2 ? 1 ①
设 x 2 ? xy ? y 2 ? k ①-②整理得 xy ? ②

1 (1 ? k ) 2



由①得 ( x ? y ) 2 ? 1 ? xy ,把③式代入得 ( x ? y ) 2 ?

1 (3 ? k ) , 2

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

则有

1 (3 ? k ) ? 0,得k ? 3 。 ④ 2

在条件④下, x ? y ? ±

3? k 2



由③⑤可知,x、y 是方程 t 2 ?

3? k 1? k ·t ? ? 0 的根。 2 2

因为 t ? R ,所以 ? ? 综上可知,

3? k 1 ? 2(1 ? k ) ? 0 ,解得 k ? 2 3

1 1 ? k ? 3 ,即 ? x 2 ? xy ? y 2 ? 3 3 3

说明:若题设中含有形如 ? ? ? 、 ?? 的项,就可考虑用韦达定理构造二次方程。解 本题需要有一定的数学思想,先求 x+y、xy,再构造二次方程,利用判别式轻松解题。

例 3. 已知 ? ? ? ? ? ? ? ,求证: x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 xy cos? ? 2 yz cos ? ? 2 zx cos ? 证明:视不等式的左边减去右边为一个关于 x 的二次函数,那么有

f ( x ) ? x 2 ? 2( y cos? ? z cos ? ) x ? ( y 2 ? z 2 ? 2 yz cos ? )
其判别式 ? ? 4( y cos? ? z cos ? ) 2 ? 4( y 2 ? z 2 ? 2 yz cos ? )

? 4[ y 2 (cos2 ? ? 1) ? 2 yz (cos ? ? cos? cos ? ) ? z 2 (cos2 ? ? 1)] ? ?4[ y 2 sin 2 ? ? 2 yz ( ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ) ? z 2 sin 2 ? ]

? ?4( y 2 sin 2 ? ? 2 yz sin ? sin ? ? z 2 sin 2 ? ) ? ?4( y sin ? ? z sin ? ) 2 ? 0,即? ? 0
故开口向上的二次函数 f ( x ) 恒为非负,即对所有 x、y、z,所求证的不等式成立。 说明:本题可谓“纸老虎”。通过仔细审题,巧妙构造二次函数,利用判别式使问题 轻松获解。 [练一练]
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

在区间[1.5, 3]上, 函数 f ( x ) ? x 2 ? bx ? c 与函数 g ( x ) ? x ? 小值,则函数 f ( x ) 在区间[1.5,3]上的最大值为( A. 8 B. 6 C. 5 )

1 同时取到相同的最 x ?1

D. 4 答案:D

提示: g ( x ) ? x ? 1 ?

1 1 ? 1 ? 2 ( x ? 1)( ) ? 1 ? 3 ,当且仅当 x ? 2 时, x ?1 x ?1

g ( x ) min ? 3 ,所以 f ( x ) ? ( x ? 2) 2 ? 3 ,在区间[1.5,3]上 f ( x ) max ? f (3) ? 4 。

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓


相关文章:
高考数学巧用判别式.doc
高考数学巧用判别式 - 巧用判别式解题中,大家往往会遇到有关一元二次方程 a
高中数学解题的21个典型方法与技巧.doc
高中数学解题的 21 个典型方法技巧 1、解决绝对值问题(化简、求值、方程、不...一元二次方程根的符号问题或 m 型问题可以利用根的判别式 和根与系数的关系...
高中数学解题方法与技巧大全.pdf
高中数学解题方法技巧大全 数学思维的变通性 一、概念 数学问题千变万化, 要...但是, 如果注意观察已知条件的特点,不难发现它与一元二 次方程的判别式相似。...
高中数学 巧用构造法解题.doc
高中数学 巧用构造法解题 - 巧用构造法解题 1. 直接构造 例 1. 求函数
高中数学解题方法.doc
高中数学解题方法_数学_高中教育_教育专区。今天先讲讲高中数学的九大思想: 1,...求证 这个题用到了方程思想,用判别式构造方程 设 y=cosAcosBcosC 则 2y=2...
巧用判别式法解决数学问题.pdf
巧用判别式法解决数学问题 - 巧用判别式法解决数学问题 作者:尹伦 童恺 学校:
高中数学 优化方程巧解题解题思路大全.doc.doc
高中数学 优化方程巧解题解题思路大全.doc_职业教育_教育专区。优化方程巧解题 ...因为其判别式△<0,故此直线与抛物线不相交,这样的直线不存在。三、巧用韦达...
巧用判别式法.doc
巧用判别式法 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 巧用判别式法 作者:丁传亮 刘伟 来源:《数学金刊初中版》2009 年第 12 期 一元二次方程根的判别...
高中数学解题思路大全:一类求三角形面积的极值问题的解....doc
高中数学解题思路大全:一类求三角形面积的极值问题的解题思路与方法 -
高中数学重要解题方法与技巧_图文.doc
高中数学重要解题方法与技巧 1 解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等式、函数...型问题可以利用根的判别式和根与系数的关系来解决,但 根的一般问题、特别是...
高中数学解题策略及方法.doc
在研究的过程中,往往可以借助于方程的某些理论,比如根与系数的关系,判别式 等...2.巧用方法 选用恰当方法,可以提高解题速度。这种方法尤其适用于解选择题和填充...
高中数学知识点以及解题方法大全.doc
高中数学知识点以及解题方法大全_高三数学_数学_高中...总是先考虑根的判别式“Δ”;已知方程有两根 时,...【注】 本题通过配方,简化了所求的表达式;巧用 1...
高中数学解题技巧归纳_图文.doc
高中数学解题技巧归纳_高三数学_数学_高中教育_教育...一些题目,都是一个样的解题步骤和模式,熟能生巧。...既不充分也不必要 十一、判别式法 【方法阐释】...
数学巧学巧解大全.doc
目录第一部分 高中数学活题巧解方法总论第一篇 数学具体解题方法代入法 直接法...数学归纳法 配方法 判别式法 序轴标根法 向量平行法 向量垂直法 同一法 ...
高中数学解析几何综合题解题思路.doc
高中数学解析几何综合题解题思路 - 解析几何综合题解题思路 解析几何综合题是高考
数学高中巧学巧解大全.doc
目录 第一部分 高中数学活题巧解方法总论 第一篇 数学具体解题方法 代入法 ...数学归纳法 配方法 判别式法 序轴标根法 向量平行法 向量垂直法 同一法 ...
判别式在中学数学解题中的应用.doc
判别式法是数学解题中的一种常用方法,判别式通常是利用一元二次方程 ,它不仅...“判别式” ,另一方面又要善于活用、 巧用判别式” ,只要真正理解和熟悉“...
高中数学解题思维的变通性.doc
高中数学解题思维的变通性_数学_高中教育_教育专区。第一讲一、概念 数学思维的...如果注意观察已知条件的特点,不难发现它与 思路分析 一元二次方程的判别式相似...
高中数学解题方法系列:函数的值域与最值.pdf
高中数学解题方法系列:函数的值域与最值 (一)、最值与值域的高考地位 传统高考...n? ?n 型,通常用判别式法 【及时反馈】 (1)求 y ? x 1? x2 的值域...
巧用判别式法解决数学问题.doc
巧用判别式法解决数学问题 - 巧用判别式法解决数学问题 作者:尹伦 童恺 学校: