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浙江省金华十校2014-2015学年第一学期调研考试高三数学(文)试卷


浙江省金华十校 2014?2015 学年第一学期调研考试 高三数学(文)试卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟. 试卷总分为 150 分.请考生按规定用笔将所有试题 的答案涂、写在答题纸上.
参考公式: 球的表面积公式 S=4πR
2

棱柱的体积公式 V=Sh 其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高. 棱台的体积公式

球的体积公式 V=

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式 V=

V=

1 h(S1+ S1S2 +S2) 3

其中 S1、S2 表示棱台的上、下底面积,h 表示棱 台的高.

1 Sh 3

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1. 设集合 A={x|x2+3x<0},B={x| x<?1},则 A∩B= A.{x| ?3<x<?1} B.{x| ?3<x<0} C.{x| x<?1} D.{x|x>0}

2.若直线 y=kx+1 与直线 2x?y+1=0 垂直,则 k 的值为 A.k=2 B.k= ?2 C. k ?

1 2

D. k ? ?

1 2

3.若 a, b∈R,那么“a<b<0”是“ A.充要条件 C.必要不充分条件

1 1 ? ”成立的 a b
2 2

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.2 C.4

3 正视图 1 俯视图
5

1 侧视图

4 3 D.5
B.

(第 4 题图)

5. 对于平面?和共面的两条不同的直线 m,n,下列命题是真命题的是 A.若 m,n 与?所成的角相等,则 m∥n C.若 m⊥?,m⊥n,则 n∥? B.若 m∥?, n∥?,则 m∥n D.若 m??, n∥?,则 m∥n

6.

已知 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和,且 A.

S a1 3 ? ,那么 5 S 20 a5 7

1 9

B.

1 10

C.

1 8

D.

1 3

7.

已知 f ? x ? ? a x ? 2 ,若 f ? x ? ? x 恒成立,则 a 的取值范围为 A. a ≤ ?1 B. ?2 ? a ? 0
2 2

C. 0 ? a ? 2

D. a ≥ 1
y C P A B O F2 D x

8.

如图,F1,F2 分别是双曲线

x y ? ? 1 (a>0,b>0) 的左、 a 2 b2

右焦点,P 为双曲线右支上一点,圆 A 与△P F1F2 三边所在直线都相切,切点分别为 B,C,D,若|PB|=a, 则此双曲线的离心率为 A.
2
F1

(第 8 题图)

B. 2

C.

3

D.3

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题有 7 小题,9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分.把答案填在答题卷的相应位置. 9. 已知函数 f ? x ? ? 4 ? x2 ,则 f(x)的定义域为 ▲ 当 x= ▲


时,f(x)有最大值 ▲ . ▲
y
? 6 ?? 12

? x ? 3 y ? 3 ≤0, ? 10.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1≥ 0, ,则点 P(x,y)构成的区域的面积为 ? y ≥ -1 ? 大值为 ▲ ,其对应的最优解为 ▲ .

,2x+y 的最

11.已知 f(x)是定义在[m,4m+5]上的奇函数,则 m= ▲ 当 x>0 时,f(x)=lg(x+1),则当 x<0 时,f(x)=



?

▲ .

O ?2

12. 已知函数 f(x)=2sin(?x+? ) (?>0)的图像如图所示,则?= ▲ , ?? ? 若将函数 f(x)的图像向左平移? ? 0 ? ? ? ? 个单位后得到一个 2? ? 偶函数,则?= ▲ . ▲ . 13. 已知正数 x,y 满足: x+4y=xy,则 x+y 的最小值为

x

(第 12 题图) D′

A′ D A C C′ B (第 14 题图)

14. 如图,在矩形 ABCD 中,AB ? 2,AD ? 1,在平面内将矩形 ABCD 绕点 B 按顺时针方向旋转 60° 后得到矩形 A' BC' D',则点 D' 到 线 AB 的距离是 ▲ .



15. 设平面向量组 ai (i=1,2,3,?)满足:①|ai|=1;②ai·ai+1=0,设 Tn=|a1+ a2+?+an|(n≥2),则 T4 的最大值为 ▲ . 三.解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 15 分) 已知在△ABC 中,角 A,B,C 对边分别是 a,b,c,若 B 为钝角, 且 (Ⅰ) 求角 A; (Ⅱ) 若 AB ? AC ? 3 ,且 a ? 5 ,求 b 和 c 的值.

1 1 ? ?2 2 . sin A cos A

17.(本题满分 15 分) 如图,在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,?BAD=60?,侧棱 PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中 点. (Ⅰ)证明:PA∥平面 EBD; (Ⅱ)若直线 PC 与平面 EBD 所成角的大小为 60°,求 PA 的长.
P

E

D A B

C

18.(本题满分 15 分) 已知等差数列{an},又 a1, a2, a5 成等比数列且 a2, a3+2, a6 成等差数列 (Ⅰ)求数列{an}的通项 an; (Ⅱ)定义:
n P 1 ? P 2 ? ? Pn

为 n 个正数 P1,P2,P3,?,Pn( n∈N*)的“均倒数” ,
1 (n∈N*) ,求数列{bn}的通项 bn; an

(ⅰ)若数列{bn}前 n 项的“均倒数”为 (ⅱ)求
1 1 ? ? b1 ? b2 b2 ? b3 ? 1 . bn ? bn ?1

19. (本题满分 15 分) 如图,抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点 F 为圆 x2+(y?1)2=1 的圆心. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)直线 y=kx+2 交圆 F 于 A,B 两点, 线段 AB 的中点为 M, 直线 MF 交抛物线 C 于 P,Q 两点, 且|PQ|=16|AB|, 求 k 的值。
y

P

B F Q x

A M O

20. (本题满分 14 分)
2 ? ?3x ? 2ax ? a ? 6, x ? 0 已知函数 f ( x) ? ? 2 . ? ?3x ? (a ? 3) x ? a, x ≥ 0

(Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (Ⅱ)若?3≤a≤0 且存在三个不同的实数 x1 , x2 , x3 使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? , 求证:x1+x2+x3≥ ? 2 ? 1 .

金华十校 2014?2015 学年第一学期调研考试

高三数学(文科)卷评分标准与参考答案
一、选择题(5×8=40 分) 题号 答案

1 A

2 D

3 B

4 C

5 D

6 B

7 A

8 B

二、填空题(9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分) 9.[?2,2],0,2; 10.8,11, (6,?1) ; 11.?1,?lg(1?x); 12.2,

? ; 3

13.9; 三、解答题(74 分) 16.解: (Ⅰ)∵

14. 3 ?

1 ; 2

15. 2 2

1 1 ? ? 2 2 ,∴ sin A ? cos A ? 2 2 sin A cos A , sin A cos A ?? ?? ? ? ∴ 2 sin ? A ? ? ? 2 sin 2 A 即 sin ? A ? ? ? sin 2 A 4? 4? ? ?
∵A 为锐角,∴ A ?

? 4

???????????????????????

7分

(Ⅱ)由题意可得: bc cos A ? 3 ,∴ bc ? 3 2 . 由余弦定理可得: b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 5 ,∴ b2 ? c 2 ? 11 , ? ? ? ?b ? 3 ?c ? 3 ?b ? 3 联立解方程组可得 ? 或? ,因为 B 为钝角,所以 ? ??? 15 分 ? ? ?c ? 2 ? ?b ? 2 ?c ? 2 P 17.解: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OE, ∵O、E 分别是 AC、PC 的中点, ∴EO∥PA. ????????????? 5 分 E ∵PA 不在平面 FBD 内, ∴PA∥平面 FBD. ?????????? 7 分 (Ⅱ) 解法一:∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AC, 又∵EO∥PA,∴EO⊥AC,又 AC⊥BD, ∴AC⊥平面 EBD, D O ∴ ? CEO 就是直线 PC 与平面 EDB 所成角.? 11 分
3 在菱形 ABCD 中,容易求得 OC ? . 2
A B

C

1 ,故 PA=1.??????????????? 15 分 2 解法二:因为 EO∥PA,PA⊥底面 ABCD,∴EO⊥底面 ABCD,又 AC⊥BD,以 O 为坐标原
又∵EO⊥OC,所以 EO ? 点,分别以射线 OA,OB,OE 为 x,y,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 O-xyz,如图所示.
P

设 PA=h,由题意可知各点坐标如下:

z

? 3 ? ? ? ? 3 ? 3 A? , C , P ,0,0 ? ,0,0 ,0, h ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ,? 11 分 ? ? ? ? ? ?
平面 EBD 的法向量为 m=(1,0,0), PC ?

E

?

3, 0, h

?
? 3 2
x D A C O B y

由已知可得, cos m , PC ? sin 60? ,即

3 3 ? h2

∴h=1,即 PA=1.??????????????????????????
2 ? ?(a ? d ) ? a1 (a1 ? 4d ) 18.解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为 d,由題意有: ? 1 ,?? 2 分 ? ?2(a1 ? 2d ? 2) ? 2a1 ? 6d

15 分

?a ? 1 解得 ? 1 ,∴ an ? 2n ? 1 . ???????????????????? 5 分 ?d ? 2

(Ⅱ)(ⅰ)由题意有: ∴ b1 ? b2 ?
b1 ? b2 ?

n b1 ? b2 ?

? bn

?

1 , 2n ? 1

bn ? n ? (2n ? 1) bn?1 ? (n ? 1) ? [2(n ? 1) ? 1], n ? 2

① ② ????????? 8 分

由①-②得: bn ? 4n ? 3 ( n ≥ 2 ) ,又 b1 ? 1 , ∴ bn ? 4n ? 3 (n∈N*). ??????????????????????10 分 (ⅱ)∵
1 1 1 1 1 ? ? [ ? ] bn bn ?1 (4n ? 3) ? (4n ? 1) 4 4n ? 3 4n ? 1 ? 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? = ?1 ? ? ? ? ? ? ? bn ? bn ?1 4 ? ?? 5 ? ? 5 9 ?



1 1 ? ? b1 ? b2 b2 ? b3

1 ?? ? 1 ?? ? ? 4 n ? 3 4 n ? 1 ?? ? ?

1? 1 ? n ? ?1 ? .????????? 15 分 ?? 4 ? 4n ? 1 ? 4n ? 1

19. 解: (Ⅰ)由题意:F(0,1),∴p=2,故所求抛物线方程是 x 2 ? 4 y . ???? 4 分
1 1? k2

(Ⅱ)圆心 F 到直线 AB 的距离是

,所以 AB ? 2

k2 .??????? 7 分 1? k2

直线 PQ 垂直于直线 AB,方程为 x= ? k(y?1) . ?????????????? 9 分 代入 x 2 ? 4 y ,消去 x 可化为 k 2 y2 ? 2k 2 ? 4 y ? k 2 ? 0

?

?

2k 2 ? 4 . ?????? 11 分 k2 4k 2 ? 4 又因为直线 PQ 经过焦点,所以 PQ ? y1 ? y2 ? 2 ? . ?????? 13 分 k2
设点 P,Q 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 由已知可得
3 4k 2 ? 4 k2 k2 1 ? 32 ? ,故 k ? ? ,得 . ?????? 15 分 3 k2 1? k2 1? k2 2

20. 解: (Ⅰ)∵ g1 ( x) ? 3x2 ? 2 x ? 7 , x ? 0 , g2 ( x) ? 3x2 ? 4 x ? 1 , x ≥ 0 ,
22 1 ? 1? ?2? 由于 g1 ( x)min ? g1 ? ? ? ? ? , g 2 ( x)min ? g 2 ? ? ? ? , 3 3 3 3 ? ? ? ?

而?

22 1 22 ? ? ,所以 f ? x ?min ? ? . 3 3 3

????????????????? 4 分

(Ⅱ)不妨设 x1 ? x2 ? x3 ,记 g1 ( x) ? 3x2 ? 2ax ? a ? 6 , g2 ( x) ? 3x2 ? (a ? 3) x ? a , 由 g2 (0) ? g1 (0) ? 2a ? 6 ? 0 ,得 ?3 ? a ≤ 0 . 又因为 g2 (

a?3 ?a2 ? 18a ? 63 ) ? g1 (0) ? ?0 6 12

由图像可知 x2 ? x3 ?
g1 ( x) ? a 解得 x ?

a?3 . 3

???????????????????? 8 分

?2a ? 4a 2 ? 24a ? 72 , 6

g1 ( x) ? g2 (

?2a ? 3a 2 ? 18a ? 63 a?3 , ) 解得 x ? 6 6

所以

?2a ? 4a 2 ? 24a ? 72 ?2a ? 3a 2 ? 18a ? 63 ≤ x1 ? , 6 6 ? 4a 2 ? 24a ? 72 ? 3a 2 ? 18a ? 63 ? 1 ≤ x1 ? x2 ? x3 ? ? 1 .?????? 6 6

可得

12 分 14 分

故有 ? 2 ? 1≤ x1 ? x2 ? x3 ? 0 .?????????????????????


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