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高中数学必修5(北师版)第一章数列1.3 等比数列(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修5(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 数列 1.3 等比数列

一、知识清单
等比数列的概念与性质

二、知识讲解
1.等比数列的概念与性质 描述: 等比数列 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫 做等比数列(geometric sequence),这个常数叫做等比数列的公比(common ratio),公比通 常用字母 q 表示 (q ≠ 0) . 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a ,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中 项. 等比数列的通项公式:an = a1 q n?1 . 等比数列的性质 (1)an ,am 为等比数列中任意两项,则 an = am q n?m (n, m ∈ N + ) . (2)若 n,m ,p ,r ∈ N ? 且 n + m = p + r ,则 an ? am = ap ? ar . 下标(即项的序号)成等差数列的项,仍然成等比数列. 等比数列前 n 项和 等比数列的前 n 项和 S n = ? a1 (1 ? q n )

? na1 , ?

等比数列的前 n 项和的性质 当 S n ,S 2n ? S n ,S 3n ? S 2n 均不为零时,数列 S n ,S 2n ? S n ,S 3n ? S 2n 构成等比数列. 例题: 判断下列数列是否为等比数列: (1)2, 4, 8, 24, 72, ?; (2)常数列 x, x, x, x, ? ; (3)在数列 {an } 中,已知

1?q

=

a1 ? an q , 1?q

q = 1, q ≠ 1.

解:(1)后一项与前一项的比值不是同一个常数,故不是等比数列; (2)当 x ≠ 0 时,此数列为等比数列,当 x = 0 时,此数列不是等比数列; (3)当 {an } 只有 3 项时,{an } 是等比数列,当 {an } 的项数超过 3 项时,不一定符合等 比数列的定义,故此数列不一定是等比数列. 一个等比数列的前三项依次是 a ,2a + 2 ,3a + 3 .试问 ? 果是,是它的第几项?如果不是,请说明理由. 解:因为 a ,2a + 2 ,3a + 3 是等比数列的前三项,所以

a2 a = 4, 3 = 4. a1 a2

27 是否为这个数列中的一项?如 2

(3 + 3) = (2 + 2 2 ,

a(3a + 3) = (2a + 2)2 ,
解得 a = ?1 或 a = ?4 . 当 a = ?1 时,数列的前三项依次为 ?1,0 ,0 ,与等比数列的定义相矛盾,故舍去. 当 a = ?4 时,数列的前三项依次为 ?4,?6,?9,则公比为 q =

3 .所以 2

3 n?1 an = ?4 ? ( ) . 2


27 3 n?1 ?4 ? ( ) =? , 2 2
解得 n = 4.所以 ?

27 是这个数列中的项,且为第 4 项. 2

在等比数列 {an } 中: (1)a4 = 27 ,q = ?3 ,求 a7 ; (2)a2 = 18 ,a4 = 8 ,求 a1 和 q ; (3)a2 = 2 ,a6 = 6 ,求 a10 . 解:(1)a7 = a4 ? q 3 = 27 × (?3)3 = ?729; (2)因为数列 {an } 为等比数列,且 a2 = 18 ,a4 = 8 ,所以

{ a1 q 3= 18, a1 q = 8.
解方程组,得

? a1 = 27, ? a1 = ?27, ? ?q = 2 . 或? ?q = ? 2 . 3 3
(3)因为数列 {an } 为等比数列,所以

, a2 ? a10 = a2 6


a10

=

a2 6 = 18. a2

有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和为 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数. 解:设这四个数依次为 a ? d ,a ,a + d ,

? ? (a + d)2 a ? d + = 16 , ? a ? ? a + (a + d) = 12
解方程组,得

(a + d)2 ,由条件得: a

{

{

{a = 4 或{a = 9 . d=4 d = ?6
所以,当 a = 4,d = 4 时,所求的四个数为 0 ,4 ,8 ,16; 当 a = 9,d = ?6 时,所求的四个数为 15,9 ,3 ,1 . 已知数列 {an } 为等比数列,S n 为其前 n 项和,且 S 4 = 1,S 8 = 17,求 S n . 解:设公比为 q ,因为 S 4 = 1,S 8 = 17,所以 q ≠ 1 ,所以

? a1 (1 ? q 4 ) ? ? =1 ? 1?q , ? a1 (1 ? q 8 ) ? ? ? ? = 17 1?q

两式相除得

q 4 = 16或q 4 = 1(舍去),
所以 q = ±2 . 当 q = 2 时,a1 =

1 ,所以 15 1 (1 ? 2 n ) 1 15 = (2 n ? 1); Sn = 1?2 15

当 q = ?2 时,a1 = ?

1 ,所以 5 Sn = ? 1 [1 ? (?2)n ] 1 5 = [(?2)n ? 1]. 1+2 15

已知等比数列 {an } 中,前 10 项和 S 10 = 10 ,前 20 项和 S 20 = 30 ,求前 30 项和 S 30 . 解:因为数列 {an } 为等比数列,所以 S 10 , S 20 ? S 10 , S 30 ? S 20 , ? 仍成等比数列. 又 S 10 = 10 ,S 20 = 30 ,所以 S 20 ? S 10 = 20,故 S 30 ? S 20 = 40,则 S 30 = 70 .

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