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2017-2018学年高中数学考点49坐标系与参数方程(含2017年试题)

考点 49 坐标系与参数方程 一、 填空题 1.(2017· 天津高考理科· T11)在极坐标系中,直线 4ρ cos ? ? ? ? ? ?? ? +1=0 与圆ρ =2sinθ 的公 6? 共点的个数为 . 【命题意图】本题考查直线与圆的极坐标方程与平面直角坐标系方程的互化.要求考生能够 熟练掌握二者互化的方法. 【解析】直线方程可化为 2ρ sinθ +2 3 ρ cosθ +1=0,即 2 3 x+2y+1=0,圆为 x +(y-1) =1, 2 2 因为 d= 3 <1,所以有两个交点. 4 答案:2 2.(2017· 天津高考文科· T11)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表 面积为 18,则这个球的体积为 . 【命题意图】 考查正方体与球的切接问题.本题只要搞清正方体的棱长与球半径的关系,求体 积问题就会迎刃而解. 【解析】设正方体棱长为 a,则 6a =18? a =3,外接球直径为 2R= 3 a=3,V= 2 2 4 3 4 πR= π× 3 3 27 9 = π. 8 2 9 答案: ? 2 3.(2017·北京高考理科·T11)在极坐标系中,点 A 在圆ρ -2ρ cosθ -4ρ sinθ +4=0 上,点 P 的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为 . 【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标方程的转化,意在培养学生转化能力及计算能 力. 2 2 2 2 【解析】☉C:x +y -2x-4y+4=0? (x-1) +(y-2) =1, 所以|AP|min=|PC|-r=2-1=1. 答案:1 二、 简答题 1.(2017·全国丙卷·文科·T22)同(2017·全国丙卷·理科·T22)[选修 4―4:坐标系与参 数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l1 的参数方程为 ? 2 ?x ? 2 ? t (t 为参数),直线 l2 的参数方程为 ? y ? kt ? x ? ?2 ? m ? (m 为参数).设 l1 与 l2 的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C. m ? y ? ? k ? (1)写出 C 的普通方程. (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 l3:ρ (cos θ +sin θ )- 2 =0,M 1 为 l3 与 C 的交点,求 M 的极径. 【解析】(1)直线 l1 的普通方程为 y=k(x-2), 直线 l2 的普通方程为 x=-2+ky, 2 2 消去 k 得 x -y =4, 2 2 即 C 的普通方程为 x -y =4. (2)l3 化为普通方程为 x+y= 2 , ? 3 2 x? ?x ? y ? 2 ? ? ? 2 联立 ? 2 得? 2 ? ?x ? y ? 4 ? y ? ? 2 ? ? 2 所以ρ =x +y = 2 2 2 18 2 + =5, 4 4 所以 l3 与 C 的交点 M 的极径为 5 . 2.(2017·全国甲卷文·T22)[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标 方程为ρ cosθ =4. (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足|OM|· |OP|=16,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐 标方程. (2)设点 A 的极坐标为 ? 2, ? ,点 B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大值. ? ? ?? 3? 【命题意图】考查极坐标、极坐标方程与直角坐标方程、最值.意在考查学生的转化与化归 思想和求解运算能力. 【解析】(1)设 P 的极坐标为 (ρ ',θ )(ρ '>0),M 的极坐标为(ρ 0,θ )(ρ 0>0),由题设知 OP =ρ ', OM =ρ 0,由 OM · OP =16 得 C2 的极坐标方程ρ '=4cosθ (ρ '>0),因此 C2 的 直角坐标方程为(x-2) +y =4(x≠0). (2)设 点 B 的 极 坐 标 为 ( ρ B , α )( ρ B >0), 由 题 设 知 OA =2, ρ B =4cos α , 于 是 △ 2 2 OAB 的 面 积 S= 1 ?? ? OA · ρ B · sin ∠ AOB=4cos α · sin ? ? ? ? 2 3? ? =2 sin ? 2? ? 当α =- ? ? ?? 3 ≤2+ 3 . ?? 3? 2 ? 时,S 取得最大值 2+ 3 . 12 所以△OAB 面积的最大值为 2+ 3 . 3.(2017·全国丙卷·理科·T22)[选修 4―4:坐标系与参数方程](10 分) 2 在直角坐标系 xOy 中,直线 l1 的参数方程为 ? ?x ? 2 ? t (t 为参数),直线 l2 的参数方程为 ? y ? kt ? x ? ?2 ? m ? (m 为参数) m ? y? ? k ? 设 l1 与 l2 的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C. (1)写出 C 的普通方程. (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 l3:ρ (cosθ +sinθ )- 2 =0,M 为 l3 与 C 的交点,求 M 的极径. 【解析】(1)直线 l1 的普通方程为 y=k(x-2), 直线 l2 的普通方程为 x=-2+ky. 2 2 消去 k 得 x -y =4, 2 2 即 C 的普通方程为 x -y =4. (2)l3 化为普通方程为 x+y= 2 , 联立 ? ?x ? y ? 2 ? 2 2 ? ?x ? y ? 4 得 ? 3 2 ?x ? ? 2 ? ?y ? ? 2 ? ? 2 所以ρ =x +y = 2 2 2 18 2 + =5, 4 4 所以 l3 与 C 的交点 M 的极径为 5 . 4.(2017·

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