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2014届高三数列测试试题(经典)(含答案)


2014 届高三数学一轮复习



列 1 姓名
( )

1.记等比数列{an}的公比为 q,则“q>1”是“an+1>an(n∈N*)”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是 ( )

A.an=n2-n+1

B.an=

n(n-1) n(n+1) C.an= 2 2

D.an=

n(n+2) 2 ( )

S6 S9 3.(辽宁高考)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 = S3 S6 A.2 7 B. 3 8 C. 3 D.3

1 4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=an-1,则 a2 等于 5 5 A.- 4 5 B. 4 5 C. 16 25 D. 16

(

)

5.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,若 a1=1,则 S4= ( A.7 B.8 C.15 D.16 1 }(n∈N*)的前 n 项和是 f(n) ( ) (

)

6.设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则数列{ n A. n+1 n+2 B. n+1 n C. n-1

n+1 D. n

Sn 7.等差数列{an}的通项公式 an=1-2n,前 n 项和为 Sn,数列{ n }的前 11 项和为 A.-45 B.-50 C.-55 D.-66 (

)

1 8.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,若{ }为等差数列,则 a11= an+1 A.0 1 B. 2 2 C. 3 a2 9 的值为 a11 D.-4 D.2

)

9.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=32,则 A.4 B.2 C.-2

(

)

1 1 10.已知数列{an}满足 an+1= + an-a2 ,且 a1= ,则该数列的前 2 008 项的和等于 n 2 2

A.1 506 二,填空题

B.3 012

C.1 004

D.2 008

(

)

11. 在等差数列{an}中, 已知 log2(a5+a9)=3, 则等差数列{an}的前 13 项的和 S13=________. 1 1 12.已知数列{an}满足 a1= ,an=an-1+ 2 (n≥2),则{an}的通项公式为________. 2 n -1 S4 1 13.(浙江高考)设等比数列{an}的公比 q= ,前 n 项和为 Sn,则 =________. 2 a4 14.已知数列{an}中,a1=2,点(an-1,an)(n>1,且 n∈N*)满足 y=2x-1,则 a1+a2+?+ a10=________. 三、解答题 15.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-n2+24n(n∈N?). (1)求{an}的通项公式; (2)当 n 为何值时,Sn 达到最大?最大值是多少?

16.在数列{an}中,an=

n 1 2 2 + +?+ ,又 bn= ,求数列{bn}的前 n 项的和. n+1 n+1 n+1 an·n+1 a

17.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n. (1)设 bn= an - ,证明:数列{bn}是等差数列; 2n 1

(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

n - 18.(昌平模拟)设数列{an}满足 a1+3a2+32a3+?+3n 1an= ,n∈N*. 3 (1)求数列{an}的通项公式; n (2)设 bn=a ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
n

19. (本小题满分 12 分)已知数列{an}中, 其前 n 项和为 Sn, n, n, n 成等差数列(n∈N*). 且 a S (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 Sn>57 时 n 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)已知各项都不相等的等差数例{an}的前六项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公 an 及前 n 项和 Sn; 1 (2)若数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N*),且 b1=3,求数列{ }的前 n 项和 Tn. bn

21.(文)(本小题满分 14 分)已知函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,且 f(x)=x2-x+b, 数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 an+log3n=log3bn,求数列{bn}的前 n 项和 Tn; (3)设 Pn=a1+a4+a7+?+a3n-2,Qn=a10+a12+a14+?+a2n+8,其中 n∈N*,试比 较 Pn 与 Qn 的大小,并证明你的结论.

2014 届高三数学一轮复习
答案: 1—5、DCBDC,6—10、ADBBA 2n+1 5 11、52 12、答案:an= - 4 2n(n+1) 15、解:(1)n=1 时,a1=S1=23; n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-2n+25. 经验证,a1=23 符合 an=-2n+25, ∴an=-2n+25(n∈N?). (2)法一:∵Sn=-n2+24n=-(n-12)2+144, ∴n=12 时,Sn 最大且 Sn=144. 法二:∵an=-2n+25, ∴an=-2n+25>0,有 n< 25 , 2





13、15

14、1033

∴a12>0,a13<0,故 S12 最大,最大值为 144. 16、解:由已知得:an= n 1 (1+2+3+?+n)= , 2 n+1

2 1 1 bn= =8(n- ), n+1 n n+1 · 2 2 ∴数列{bn}的前 n 项和为 1 1 1 1 1 1 1 Sn=8[(1- )+( - )+( - )+?+( - )] n n+1 2 2 3 3 4 8n 1 =8(1- )= . n+1 n+1 17、解:(1)证明:由已知 an+1=2an+2n 得 an+1 2an+2n an bn+1= n = = n-1+1=bn+1. 2 2n 2 又 b1=a1=1, 因此{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列. (2)由(1)知 an - 2n 1. - =n,即 an=n· 2n 1


Sn=1+2×21+3×22+?+n×2n 1,

两边乘以 2 得,2Sn=2+2×22+?+n×2n. 两式相减得 Sn=-1-21-22-?-2n 1+n·n 2 =-(2n-1)+n·n 2 =(n-1)2n+1. 18 、 解 : (1)∵a1 + 3a2 + 32a3 + ? + 3n ① ∴ 当 ② 1 1 - ①-②得 3n 1an= ,an= n. 3 3 1 1 在①中,令 n=1,得 a1= ,适合 an= n, 3 3 1 ∴an= n. 3 n (2)∵bn= ,∴bn=n3n. an ∴Sn=3+2×32+3×33+?+n3n, ∴3Sn=32+2×33+3×34+?+n3n 1.④ ④-③得 2Sn=n3n 1-(3+32+33+?+3n), 即 2Sn=n3
n+1
+ + - -

1

an =

n , 3

n≥2

时 , a1 + 3a2 + 32a3 + ? + 3n



2

an



1



n-1 . 3



3(1-3n) - , 1-3


(2n-1)3n 1 3 ∴Sn= + . 4 4 19、解:(1)∵n,an,Sn 成等差数列, ∴Sn=2an-n,Sn-1=2an-1-(n-1) (n≥2), ∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-1 ∴an=2an-1+1 (n≥2), (n≥2),

两边加 1 得 an+1=2(an-1+1) (n≥2), ∴ an+1 =2 an-1+1 (n≥2).

又由 Sn=2an-n 得 a1=1. ∴数列{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴an+1=2·n 1,即数列{an}的通项公式为 an=2n-1. 2 (2)由(1)知,Sn=2an-n=2n 1-2-n, ∴Sn+1-Sn=2n 2-2-(n+1)-(2n 1-2-n) =2n 1-1>0, ∴Sn+1>Sn,{Sn}为递增数列. 由题设,Sn>57,即 2n 1-n>59. 又当 n=5 时,26-5=59,∴n>5. ∴当 Sn>57 时,n 的取值范围为 n≥6(n∈N*). 20、解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,
? ? ?6a1+15d=60, ?d=2, 则? 解得? 2 ? ? ?a1(a1+20d)=(a1+5d) , ?a1=5.
+ + + + + -

∴an=2n+3. n(5+2n+3) Sn= =n(n+4). 2 (2)由 bn+1-bn=an, ∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*). 当 n≥2 时, bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+?+(b2-b1)+b1 =an-1+an-2+?+a1+b1 =(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2). 对 b1=3 也适合, ∴bn=n(n+2)(n∈N*). 1 ∴b =
n

1 11 1 = ( - ). n(n+2) 2 n n+2

1 1 1 1 1 1 Tn= (1- + - +?+n- ) 2 3 2 4 n+2 3n2+5n 13 1 1 = ( - - )= . 2 2 n+1 n+2 4(n+1)(n+2) 21、解:(1)因为 y=f(x)的图象过原点,所以 f(x)=x2-x.

所以 Sn=n2-n, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-n-(n-1)2+(n-1)=2n-2, 又因为 a1=S1=0 适合 an=2n-2, 所以数列{an}的通项公式为 an=2n-2(n∈N*). (2)由 an+log3n=log3bn 得:bn=n· n=n·2n 2(n∈N*), 3a 3 所以 Tn=b1+b2+b3+?+bn=30+2·2+3·4+?+n·2n 2, n=32+2·4+3·6+? 3 3 3 9T 3 3 +n·2n. 3 两式相减得:8Tn=n·2n-(1+32+34+36+?+32n 2)=n·2n- 3 3 所以 Tn=
2n 2n n·2n 3 -1 (8n-1)3 +1 3 - = . 8 64 64
- - -

32n-1 , 8

(3)a1,a4, 7, a ?, 3n-2 组成以 0 为首项, 为公差的等差数列, a 6 所以 Pn= =3n2-3n;

n(n-1) ×6 2

a10, 12, 14, a2n+8 组成以 18 为首项, 为公差的等差数列, a a ?, 4 所以 Qn=18n+ ×4=2n2+16n. 故 Pn-Qn=3n2-3n-2n2-16n=n2-19n=n(n-19), 所以,对于正整数 n,当 n≥20 时,Pn>Qn; 当 n=19 时,Pn=Qn; 当 n<19 时,Pn<Qn.

n(n-1) 2


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