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3.1.4《空间向量运算的正交分解及基坐标表示》课件


3.1.4《空间向量运算的 正交分解及基坐标表示》

一、空间直角坐标系 单位正交基底:如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用来 I , j , k 表示 空间直角坐标系:在空间选定一点O和一 个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点, 分别以i、j、k的正方向建立三条数轴:x轴、 y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这样就建立了 一个空间直角坐标系O--xyz
点O叫做原点,向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。

z

以 i , j , k 为单位正交基底
P ( x, y, z )
k

?

?

z

?

建立空间直角坐标系O—xyz
p ? xi ? y j ? zk

i , j , k? 为基底 ? ( x, y, z ) p

x

i

O?

y

j

y 记

p ? ( x, y, z )

x

OP ? ( x, y, z ) ? P( x, y, z )
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)

空间向量类似于平面向量可以用坐标表示, 而且也类似于平面向量可以用坐标 来进行各种运算及进行有关判断. 如: 1.长度的计算
已知 a ? ( x, y, z ) ,则 a ?
x2 ? y2 ? z2
2.角度的计算 已知 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) 则 cos a , b ?
a?b a?b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2

3.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 ( 2 2 2

练习 1 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) , C (0,0,2) , ⑴已知 (1,-1,2) 则顶点 D 的坐标为______________; ⑵ Rt △ ABC 中, ?BAC ? 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , 2 C ( x,0,1) ,则 x ? ____; ⑶已知 A(3,5, ?7) , B(?2,4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为_______. 101

练习 3: ⑴在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中 ,
E 、F 分别是 BB1 、 CD 的中点,

D1 A1 D A F B B1 E

C1

求证: D1F ? 平面ADE .

C

练习 3⑴.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中 , E 、F 分别是 BB1 、 CD 的中点,求证: D1F ? 平面ADE .

证明: 设正方体的棱长为1,
1 则 AD ? ( ?1,0,0), D1F ? (0, , ?1), 1 2 AD ? D1F ? (?1,0,0) ? (0, , ?1) ? 0. 2 1

建立如图的空间直角坐标系

DA ? i , DC ? j , DD1 ? k .

D1 A1 D A

z

C1 B1

E F
B C

y

x

? AD ? D1F . 又 AE ? (0,1, ), 2 1 1
又A D

AE ? D1 F ? (0,1, ) ? (0, , ?1) ? 0. ? AE ? D1F . 2 2

A E= A , ? D1F ? 平面ADE .

学习小结:
1.基本知识: (1)向量的长度公式与两点间的距离公式; (2)两个向量的夹角公式。 2.思想方法:用向量计算或证明几何问题 时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐 标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。


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