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高中数学必修5(北师版)第一章数列1.4(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修5(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 数列 1.4 数列在日常经济生活中的应用

一、知识清单
数列模型的应用

二、知识讲解
1.数列模型的应用 描述: 在日常生活中,经常遇到存款利息,购房贷款等实际计算问题,都需要用有关数列的知识来解 决. 例题: 为了保护三峡库区的生态环境,凡是坡度在 25? 以上的坡荒地都要绿化造林.经初步统计,在 三峡库区内坡度大于 25? 的坡荒地面积约有 2640 万亩.若从 2009 年年初开始绿化造林,第 一年造林 120 万亩,以后每年比前一年多绿化 60 万亩. (1)若所有被绿化造林的坡荒地全部成功,问到哪一年年底可使库区的坡荒地全部绿化? (2)若每万亩绿化造林的所植树苗的木材量平均为 0.1 万立方米,每年树木木材量自然生产率 为 20% ,那么当整个库区 25? 以上坡荒地全部绿化完的那一年年底,一共有木材多少万立方 米?(保留一位小数,1.29 ≈ 5.16 ,1.28 ≈ 4.30 ) 解:(1)设 a1 = 120 ,d = 60 ,第 n 年后可使绿化任务完成,则有

S n = 120n +

n(n ? 1) ? 60 ? 2640, 2

解得 n ? 8.故到 2016 年年底可以使库区内坡度在 25? 以上的坡荒地全部绿化. (2)到 2016 年造林数量为

a8 = 120 + 7 × 60 = 540(万亩).
设到 2016 年木材总量为 S ,依题意有

S = (120 × 1.28 + 180 × 1.27 + 240 × 1.26 + ? + 540 × 1.2) × 0.1 = 6 × (2 × 1.28 + 3 × 1.27 + ? + 9 × 1.2).


S ′ = 2 × 1.28 + 3 × 1.27 + ? + 9 × 1.2 ? ① ,
两边同乘 1.2,得

1.2S ′ = 2 × 1.29 + 3 × 1.28 + ? + 9 × 1.22 ? ② ,
,得 ②?①

0.2S ′ = 2 × 1.29 + (1.28 + 1.27 + ? + 1.22 ) ? 9 × 1.2 1.22 (1 ? 1.27 ) = 2 × 1.29 + ? 10.8 1 ? 1.2 = 7 × 1.29 ? 18.
所以

S ′ = 5 × (7 × 1.29 ? 18) ≈ 90.6,
因此

S = 6 × 90.6 = 543.6(万立方米).
答:到 2016 年年底共有木材 543.6 万立方米. 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规 划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少

1 .本年度当地旅游业收入估计为 400 5 1 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . 4 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 b n 万元,写出 an , b n 的表达式;
(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 解:(1)第一年投入为 800 万元,第二年投入为 800 ? (1 ?

800 ? (1 ?

1 n?1 万元,所以,n 年的总投入为 ) 5 an = 800 + 800 ? (1 ?

1 ) 万元,?,第 n 年的投入为 5

4 n = 4000 ? 4000 ? ( ) . 5

1 1 n?1 ) + ? + 800 ? (1 ? ) 5 5

第一年旅游业收入为 400 万元,第二年旅游业收入为 400 ? (1 + 业收入为 400 ? (1 +

1 n?1 万元,所以,n 年内的旅游业总收入为 ) 4

1 ) 万元,?,第 n 年旅游 4

b n = 400 + 400 ? (1 +

5 n = 1600 ? ( ) ? 1600. 4

1 1 n?1 ) + ? + 400 ? (1 + ) 4 4

(2)设经过 n 年旅游业总收入才能超过总投入,由此 b n ? an > 0 ,即

5 n 4 n 1600 ? ( ) ? 1600 ? 4000 + 4000 ? ( ) > 0. 4 5
化简,得

4 n 5 n 5 ? ( ) + 2 ? ( ) ? 7 > 0. 5 4 ( )
n

设 x = ( ) ,代入上式得

4 5

n

5x2 ? 7x + 2 > 0,
解不等式,得

x<


2 或x > 1(舍去), 5

2 4 n ( ) < , 5 5
由此得 n ? 5. 答:至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入.

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