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1.2.1任意角的三角函数(第二课时)


第二课时

三角函数线——正弦线和余弦线
角α的终边与单位圆 的 交于点P.过点P作x轴 α 终边 P 的垂线,垂足为M.
y
A(1,0)

y P

α的 终边 A(1,0)

MO

x

|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|

O

M

x

【思考】为了去掉
上述等式中的绝对值 符号,能否给线段OM、 MP规定一个适当的方 向,使它们的取值与点 P的坐标一致?

(Ⅱ )
y

(Ⅰ )
y

M
α的 P 终边

A(1,0)

O

M A(1,0) x P

O

x

(Ⅲ )

(Ⅳ )

α的 终边

【定义】有向线段 * 带有方向的线段叫有向线段. *有向线段的大小称为它的数量.
在坐标系中,规定:

有向线段的方向与坐标系的方向相同. 即同向时,数量为正;反向时,数量为负.

当角α的终边不在坐 标轴上时,以M为始点、 P为终点,规定:

当线段MP与y轴同向 时,MP的方向为正向, 且有正值y;
当线段MP与y轴反向 时MP的方向为负向, 且有负值y. MP=y=sinα 有 向线段MP叫角α的正 弦线

α的 终边 P

y
A(1,0)

y P

α的 终边 A(1,0)

MO

x

O

M

x

(Ⅱ )
y

(Ⅰ )
y

M
α的 P 终边

A(1,0)

O

M A(1,0) x P

O

x

(Ⅲ )

(Ⅳ )

α的 终边

当角α的终边不在坐 标轴上时,以O为始点、 M为终点,规定:

|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|
y
A(1,0)

当线段OM与x轴同向 时,OM的方向为正向,且 有正值x;
当线段OM与x轴反向 时,OM的方向为负向,且 有负值x.

α的 终边 P

y P

α的 终边 A(1,0)

MO

x

O

M

x

(Ⅱ )
y

(Ⅰ )
y

O OM=x=cosα 有 向线段OM叫角α的余弦 α的 P 终边 线 (Ⅲ )

M

A(1,0)

O

M A(1,0) x P

x

(Ⅳ )

α的 终边

MP AT y tan ? ? ? ? AT ? OM OA x

α的 终边 P

y
A(1,0)

y P

T α的

终边

过点A(1,0)作单位 圆的切线,设它与α 的终边或其反向延 长线相交于点T. 有向线段AT叫 角α的正切线
终边

MO T

x

A(1,0)

O

M

x

(Ⅱ )
y T
A(1,0)

(Ⅰ )
y M A(1,0) x P T

M
α的 P

O

O

x

(Ⅲ )

(Ⅳ )

α的 终边

这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、 AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切 线,统称为三角函数线
当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切 线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正 切值都为0; 当角α的终边与y轴重合时,余 弦线变成一个点,正切线不存 在,此时角α的正切值不存在.
α的 终边 P

y
A(1,0)

MO T

x

例题
例 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边: 1 1 (2) sin ? ? ; ⑴ sin ? ? ; 2 2 ?角的终边
y 1

P
-1
O -1

1 y? 2
x

M1

5? [ ? 2k? , ? 2k? ] 6 6

?

(k ? Z )

例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:

1 ?2 ? cos ? ? 2
-1

y
1

? 3
1 x? 2

1

O

x

? 5? ? ? -1 ? ? 2 k ? ? , 2 k ? ? k ? Z ? ? 3 3 ? ?

5? 3

1 变式: 写出满足条件 ? ≤cosα< 2

的集合.

2? 3

3 的角α 2

y

1

? 6
1 x

-1

O -1

4? 3

11? 6

? 2? ? ? 2? 4? ? 11 ? ? ? | 2 k ? ? 2 k ? ? ,或 (2k? ? ,2k? 6 ?<α≤ ? ?2k? 3 ? ,2k? ? )?k ? Z ? ? 4? ? 11? 6 3 3 6 ? 2k? ? 2 k ? ? , k ? Z ? ≤α<
3 6

课堂

练习

5.利用单位圆中的三角函数线,确定下列各角的 取值范围: (1)sinα <cosα ;


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