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2018年高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.1.2 复数的概念6 新人教B版选修2-2_图文

3.1.2 复数的概念

知识引入
我们已知道:
对于一元二次方程 x2 ?1 ? 0 没有实数根.

思考?

x2 ? ?1

我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数 集中,该问题能得到圆满解决呢?

虚数单位

为了解决负数开方问题,

引入一个新数 i ,i 叫做虚数单位,并规定:

(1)它的平方等于-1,即 i 2 ? ?1

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则 运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.
即:将实数a和数i相加记为: a+i;

把实数b与数i相乘记作: bi;

将它们的和记作: a+bi (a,b∈R),

知识讲解
一.复数的有关概念
1.复数: 把形如 a+bi (a,b∈R)的数叫复数 i 叫做 虚数单位(imaginary unit)
全体复数所组成的集合叫复数集,用字母C表示 C ? {z | z ? a ? bi,其中a,b ? R}

2.复数的代数形式:

用z表示复数, 即z = a + bi (a,b∈R) 叫做复数的 代数形式

实部a

虚部b

规定: 0i=0,0+bi=bi

3.复数的分类:

复数z=a+bi (a,b?R)

条件

数的类型

b=0

实数

a=b=0

实数0

b≠0

虚数

a=0且b≠0

纯虚数

复数 z=a+bi (a,b?R)

实数 (b=0)

虚数(b≠0)

实数集R是复数 集C的真子集,
RC
纯虚数(a=0)
非纯虚数(a≠0)

课堂练习

1.说明下列复数是实数还是虚数,还是纯虚数?

并说明各数的实部与虚部。

实数
1? 3
纯虚数
? 2i

虚数
1? 3i
纯虚数
(1?? )i

1 i 纯虚数 7
0 实数

i2

i ?1 (2 ? 3i) ? i

实数

虚数

虚数

2.有下列命题:
(1)若a、b为实数,则 z=a+bi 为虚数
(2)若b为实数,则 z=bi 必为纯虚数 (3)若a为实数,则 z= a 一定不是虚数 其中真命题的个数为( B ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

思考 1.数集N,Z,Q,R,C的关系是怎样的?

NZ Q R C

RQ Z N
C

2.复数集,实数集,虚数集,纯虚数集之间关系

虚数集 复数集

纯虚数集

实数集

4.两个复数相等 有两个复数Z1=a+bi (a,b?R)和Z2=c+di(c,d?R)

a+bi =c+di

a=c且b=d

注 1、若Z1,Z2均为实数,则Z1,Z2具有大小关系 意 2、若Z1,Z2中不都为实数,Z1与Z2只有相
等或不相等两关系,而不能比较大小

5、共轭复数
一般地,如果两个复数的实部相等,虚部互 为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.
设z ? a ? bi,(a,b? R)
则z=a-bi,(a,b ? R)
例如:5+3i和5-3i互为共轭复数

例题分析 例1:实数m取什么值时,复数z ? m ? 1 ? (m ? 1)i是 (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?
解:(1)当 m ?1 ? 0,即 m ? 1时,复数z是实数.
(2)当 m ? 1 ? 0,即 m ? 1时,复数z是虚数.
(3)当 m ? 1 ? 0 ,且m ? 1 ? 0 ,即m ? ?1 时, 复数z 是纯虚数.

例 1 (补) m 取何实数时,复数 z=m2m-+m3-6+(m2-2m-15)i
(1)是实数? (2)是虚数? (3)是纯虚数?

? [分析] 在本题是复数的标准形式下,即z =a+bi(a,b∈R),根据复数的概念,只要 对实部和虚部分别计算,总体整合即可.

[解析]

??m2-2m-15=0 (1)当?

??m=5或m=-3 时,?

??m+3≠0

??m≠-3

∴当 m=5 时,z 是实数.

??m2-2m-15≠0

??m≠5且m≠-3

(2)当?

时,即?

??m+3≠0

??m≠-3

∴当 m≠5 且 m≠-3 时,z 是虚数.

?? m2-m-6=0 (3)当?m+3≠0
??m2-2m-15≠0

时,即??? mm= ≠3-或3m=-2 ??m≠5且m≠-3

∴当 m=3 或 m=-2 时,z 是纯虚数.

新授课 例2 已知(2x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y)i ,其中 x, y ? R , 求 x与y.
解:由复数相等的定义,得方程组

?2x ?1 ? y ??1 ? ?(3 ? y)

解得 x ? 5 , y ? 4 2

变式练习:
? (1)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x、y的值. ? (2)已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z
<0,求k的值.

[解析] (1)∵x、y∈R,∴由复数相等的条件,得

??x2-y2=0, ???2xy=2.

解得?????xy==11,,

或?????xy= =- -11, .

(2)∵z<0,k∈R,∴?????kk22- -35kk< +06=0 ∴k=2.

课堂小结:

1. 数系的扩充:自然数集(N)

整数集(Z)

有理数集(Q)

实数集(R)

复数集(C)

2. 复数——形如 a+bi (a,b∈R)的数

复 数 实数(b=0) (C) 虚数 (b≠0) 纯虚数(a=0且b≠0)
非纯虚数(a≠0,b≠0)

a——实部 b——虚部

3 .两个复数相等的充要条件

a+bi=c+di

a=c b=d (a,b,c,d∈R)

4. 两个复数(不全为实数)不能比较大小。

.5 共轭复数(实部相等,虚部互为相反数)