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3.1.1 两角差的余弦公式(修改)


第三章 三角恒等变换

3.1

两角和与差的正弦、余弦
和正切公式

3.1.1 两角差的余弦公式

学习目标 1.理解两角和与差的余弦公式及推导过程; (难点) 2.掌握两角差的余弦公式,并能正确的

运用公式进行简单三角函数式的化简、
求值;(重点) 3.掌握“变角”和“拆角”的方法. (重、难点)


对于30°,45°,60°等特殊角的三角函 数值可以直接写出,利用诱导公式还可进 一步求出150°,210°,315°等角的三角 函数值.我们希望再引进一些公式,能够求

更多的非特殊角的三角函数值,同时也为
三角恒等变换提供理论依据.

导 若 ?,?为两个任意角, 则

cos(? ? ?) ? cos ? ? cos ?
成立吗?

令? ? 60 , ? ? 30 , 显然cos ( 60 ? 30 ) ? cos 60 ? cos30 .



那么cos?? ? ? ? ? ?, 这是我们这节课要学的 内容



阅读课本P125—P127的内容,并思考 下面两个问题 1.了解公式的推导过程。 2.怎样应用公式解题。



阅读完课本P125—P127的内容,分组 讨论如何解决下面两个问题 1.公式是如何推导的。 2.怎样应用公式解题。

展:教师引导学生,学生回答问题

sinβ ? OA ? ? cosα ,sinα ? OB ? ? cosβ ,
y

OA? OB ? OA OB cos(? ? ? )
? cos(? ? ? )

A

α
o

B

β
1 x



OA? OB
-1

? cos? cos? ? sin ? sin ?


cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 思考:此公式对任意角α,β都成立吗?

展:教师引导学生,学生回答问题

cos (? ? ?) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
思考:
C(? ?? ) ? ?

cos (? ? ?) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
口诀:余余正正符号反

C(? ?? )

C(? ?? )

公式的运用

展:教师引导学生,学生回答问题

例1.利用差角余弦公式求cos15 的值.
解法1 cos 15 ? cos (45 -30 ) = cos 45 cos 30 ? sin 45 sin 30

2 3 2 1 ? ? ? ? 2 2 2 2 6? 2 ? . 4

展:教师引导学生,学生回答问题

例1.利用差角余弦公式求cos15 的值.
解法2 cos 15 ? cos (60 -45 ) = cos 60 cos 45 ? sin 60 sin 45
1 2 3 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 2? 6 ? . 4
把非特殊角变为 特殊角,把未知角 变为已知角.

完成本题后,你会求

sin 75 的值吗?

2? 6 sin 75 ? cos15 ? . 4

展:教师引导学生,学生回答问题

4 ? 5 例2.已知 sin ? ? , ? ? ( , ?), cos ? ? ? , 5 2 13 ?是第三象限角,求 cos(? ? ?)的值.

分析:要计算 cos(? ??), 应作哪些准备?
4 ? 解:由 sin ? ? , ? ? ( , ?), 5 2 3 2 得cos?=- 1 ? sin ? ? ? ; 5

展:教师引导学生,学生回答问题

5 又由 cos ? ? ? , ? 是第三象限角,得 13 12 2 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? . 13 ? cos(? ? ?) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 3 5 4 12 ? (? ) ? (? ) ? ? (? ) 5 13 5 13 利用同角的三角 33 函数关系式求值 ?? . 时,要注意角的 65
范围.

提升总结 先求两角的正、余弦值,再代入 差角余弦公式求值.

例3.求值:

展:教师引导学生,学生回答问题

(1)cos13 ? cos17 ? sin13 ? sin17 ; (2) cos160 ? cos 50 ? sin160 ? cos 40 .
解:(1)cos13 ? cos17 ? sin13 ? sin17 3 ? cos(13 ??? ) ? cos 30 ? ; 2

(2) cos160 ? cos 50 ? sin160 ? cos 40

? cos160 ? cos 50 ? sin160 ? sin 50

? cos(160 ? ?0 ) ? ? cos30?
3 = ? . 2

公式的逆用:

cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos(? ? ?).

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提示:拆角思想: cos ? ? cos ? (? ? ?) ? ? ? .
1 ? 3 解: 由 cos ?= , 0 ? ? ? , 得 sin ? ? , 2 2 2
3 由 cos(? ? ?)=- , 0 ? ? ? ? ? ?, 5 4 得sin(?+?)= . 5

1 3 ? 例4.已知 cos ?= , cos(? ? ?)=- , 0 ? ?,? ? , 2 5 2 求 cos ?.

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cos ? ? cos ? (? ? ?) ? ? ? ? cos(? ? ?) cos ? ? sin(? ? ?) sin ? 3 1 4 3 ?3 ? 4 3 ?? ? ? ? ? . 5 2 5 2 10
利用差角公式求值时,常常进行角的分拆
与组合.即公式的变形应用.

评 课堂小结 1.两角差的余弦公式:

cos(? ??) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
2.已知一个角的正弦(或余弦)值,求 该角的余弦(或正弦)值时, 要注意该 角所在的象限,从而确定该角的三角函 数值符号.

评 3.在差角的余弦公式中,?,? 既可以是 单角,也可以是复角,运用时要注意角的

变换,如

? ? 等. , ? ?(???) ?? ? ? (? ? ) ? 3 3

同时,公式的应用具有灵活性,解题时要 注意正向、逆向和变式形式的选择.

检(时间不够就只做1,3)

1.cos175 cos55 ? sin175 sin 55 ?
.

1 ? 2

2.cos(? ? 21 ) cos(? ? 24 ) ? sin(? ? 21 )sin(? ? 24. ) ?
2 2

3 3? ? 3.已知cos?= ,? ? ( ,2?),求cos(? ? ). 5 2 3
3 3? 解: cos ?= ,? ? ( ,2?), 5 2 3 2 4 2 ? sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? ( ) ? ? , 5 5

? ? ? cos(? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin 3 3 3 3 1 4 3 3? 4 3 ? ? ? (? ) ? ? . 5 2 5 2 10

12 4.(2012 ? 济南高一检测)已知 cos(? ? ) ? , ? 为锐角, 3 13 求 cos ? .
? ? ? 5? 解: ? ? (0, ), ?? ? ? ( , ). 2 3 3 6 ? 12 ? 5 cos(? ? ) ? , ? sin(? ? ) ? . 3 13 3 13 ? ? cos ? ? cos[(? ? ) ? ] 3 3 ? ? ? ? ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? ) sin 3 3 3 3 12 1 5 3 12 ? 5 3 ? ? ? ? ? . 13 2 13 2 26

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