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2.7 函数的图象


1.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期 性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象. 2.图象变换 (1)平移变换

(2)对称变换 ①y=f(x)― ― ― ― ― →y=________; ②y=f(x)― ― ― ― ― →y=________; ③y=f(x)― ― ― ― ― →y=________; ④y=ax (a>0 且 a≠1)― ― ― ― ― ― ― →y=________. (3)伸缩变换
a ①y=f ? x ? ????????????? ? y=________. 1 0? a ?1,横坐标伸长为原来的 倍,纵坐标不变 a 1 a ?1,横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变

关于x轴对称 关于y轴对称

关于原点对称

关于y=x对称

②y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=________. 0<a<1,纵坐标缩短为原来的a倍,横坐标不变 (4)翻折变换 ①y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=________. 将x轴下方图象翻折上去 ②y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=________. 关于y轴对称的图象
保留y轴右边图象,并作其 保留x轴上方图象

a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变

【知识拓展】 1.函数对称的重要结论 (1)函数 y=f(x)与 y=f(2a-x)的图象关于直线 x=a 对称. (2)函数 y=f(x)与 y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称. (3)若函数 y=f(x)对定义域内任意自变量 x 满足:f(a+x)=f(a-x),则函数 y=f(x)的图象关于 直线 x=a 对称. 2.函数图象平移变换八字方针 (1)“左加右减”,要注意加减指的是自变量. (2)“上加下减”,要注意加减指的是函数值. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当 x∈(0,+∞)时,函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象相同.( (2)函数 y=af(x)与 y=f(ax)(a>0 且 a≠1)的图象相同.( (3)函数 y=f(x)与 y=-f(x)的图象关于原点对称.( ) ) ) ) )

(4)若函数 y=f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.( (5)将函数 y=f(-x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y=f(-x-1)的图象.(

1 1.(教材改编)函数 f(x)=x+ 的图象关于( x A.y 轴对称 C.原点对称

)

B.x 轴对称 D.直线 y=x 对称 )

2.(2016· 全国乙卷)函数 y=2x2-e|x|在[-2,2]上的图象大致为(

3 ,x≤1, ? ? 1 3.(2016· 岳阳模拟)已知函数 f(x)=? 则 y=f(2-x)的大致图象是( ?log3x,x>1, ?

x

)

4.函数 y=f(x)在 x∈[-2,2]上的图象如图所示,则当 x∈[-2,2]时,f(x)+f(-x)=________.

?log2x?x>0?, ? 5.已知函数 f(x)=? x 且关于 x 的方程 f(x)-a=0 有两个实根,则实数 a 的取值 ? ?2 ?x≤0?,

范围是________.

题型一 作函数的图象 例 1 作出下列函数的图象. 1 (1)y=( )|x|; 2 (2)y=|log2(x+1)|; 2x-1 (3)y= ; x-1 (4)y=x2-2|x|-1.

思维升华 图象变换法作函数的图象 (1)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、 1 形如 y=x+ 的函数. x (2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换 作出,但要注意变换顺序. 作出下列函数的图象. (1)y=|x-2|· (x+1);

x+2 (2)y= . x+3

题型二 识图与辨图 例2 π π (1)(2016· 邯郸模拟)函数 f(x)=2x-tanx 在(- , )上的图象大致为( 2 2 )

(2)已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=-f(2-x)的图象为(

)

思维升华 函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复; (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.

ex+e x (1)(2016· 武汉模拟)函数 y= x -x的图象大致为( e -e


)

(2)(2015· 课标全国Ⅱ)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着 边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x), 则 y=f(x)的图象大致为( )

题型三 函数图象的应用 命题点 1 研究函数的性质 例3 (1)已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( )

A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0) (2)若函数 y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y=f(x)图象的对称轴方程是( A.x=1 C.x=2 B.x=-1 D.x=-2 )

命题点 2 解不等式 例 4 函数 f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,在(0,+∞)上单调递增,图象如 图所示,若 x· [f(x)-f(-x)]<0,则 x 的取值范围为________.

命题点 3 求解函数零点问题
?|x|,x≤m, ? 例 5 (2016· 山东)已知函数 f(x)=? 2 其中 m>0,若存在实数 b,使得关 ?x -2mx+4m,x>m, ?

于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是________. 思维升华 (1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函

数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意 性质与图象特征的对应关系. (2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程 f(x)=g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象交点的横坐标;不等式 f(x)<g(x)的解集是函数 f(x)的图象位于 g(x)图象下方的点的横 坐标的集合,体现了数形结合思想. (1)(2015· 课标全国Ⅰ)设函数 y=f(x)的图象与 y=2x 称,且 f(-2)+f(-4)=1,则 a 等于( A.-1B.1C.2D.4 (2)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数 k 的取 值范围是( 1 A.(0, ) 2 C.(1,2) ) 1 B.( ,1) 2 D.(2,+∞) )
+a

的图象关于直线 y=-x 对

4.高考中的函数图象及应用问题

考点分析 高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别,函数图象的变换及函数图象的 应用等,多以小题形式考查,难度不大,常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决.熟 练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提. 一、已知函数解析式确定函数图象 1? 典例 1 (2015· 浙江)函数 f(x)=? ?x-x?cosx(-π≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为( )

二、函数图象的变换问题 典例 2 若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=-f(x+1)的图象大致为( )

三、函数图象的应用 典例 3 (1)已知 f(x)=?
?|lgx|,x>0, ? ?2 ,x≤0, ?
|x|

则函数 y=2[f(x)]2-3f(x)+1 的零点个数是________. )

(2)(2015· 北京)如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是(

A.{x|-1<x≤0} C.{x|-1<x≤1}

B.{x|-1≤x≤1} D.{x|-1<x≤2} )

?2-m?x (3)(2016· 吉林三校联考)若函数 f(x)= 2 的图象如图所示,则 m 的取值范围为( x +m

A.(-∞,-1) C.(0,2) 提醒:完成作业 第二章 § 2.7

B.(-1,2) D.(1,2)

答案精析 基础知识 自主学习 知识梳理 2.(1)f(x)+k f(x+h) f(x-h) f(x)-k (2)①-f(x) ②f(-x) ③-f(-x) ④logax(a>0 且 a≠1) (3)①f(ax) ②af(x) (4)①|f(x)| ②f(|x|) 思考辨析 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 考点自测 1.C 2.D 3.A 4.0 5.(0,1]

题型分类 深度剖析 例1 解 1 1 1 (1)作出 y=( )x 的图象,保留 y=( )x 的图象中 x≥0 的部分,加上 y=( )x 的图象中 2 2 2

1 x>0 部分关于 y 轴的对称部分,即得 y=( )|x|的图象,如图①实线部分. 2

(2)将函数 y=log2x 的图象向左平移 1 个单位,再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去,即可得 到函数 y=|log2(x+1)|的图象,如图②. 2x-1 1 1 (3)∵y= =2+ ,故函数图象可由 y= 的图象向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个 x x-1 x-1 单位而得,如图③.

?x2-2x-1,x≥0, ? (4)∵y=? 2 且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据 ? ?x +2x-1,x<0,

对称性作出(-∞,0)上的图象,如图④. 跟踪训练 1 解 (1)当 x≥2,即 x-2≥0 时, y=(x-2)(x+1)=x2-x-2 1 9 =(x- )2- ; 2 4 当 x<2,即 x-2<0 时, y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2

1 9 =-(x- )2+ . 2 4

??x-2? -4,x≥2, ∴y=? 1 9 ?-?x-2? +4,x<2.
2 2

1

9

这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图). x+2 1 1 (2)y= =1- ,该函数图象可由函数 y=- 向左平移 3 个单位,再向上平移 1 个单位 x x+3 x+3 得到,如图所示.

例2

(1)D (2)B (2)B

跟踪训练 2 (1)A 例3 例4 例5 (1)C (2)A

(-3,0)∪(0,3) (3,+∞)

解析 如图,当 x≤m 时,f(x)=|x|;当 x>m 时,f(x)=x2-2mx+4m,在(m,+∞)上为增函 数,若存在实数 b,使方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m2-2m· m+4m<|m|.

∵m>0,∴m2-3m>0,解得 m>3. 跟踪训练 3 (1)C (2)B 高频小考点 典例 1 D 典例 2 C 典例 3 (1)5 (2)C (3)D 解析 (1)由 y=2[f(x)]2-3f(x)+1 =0, 1 得 f(x)=1 或 f(x)= , 2

①若 f(x)=1,
? ? ?x>0, ?x≤0, 则? 或? |x| ?|lgx|=1 ?2 =1, ? ?

1 解得 x=10 或 x= 或 x=0. 10 1 ②若 f(x)= , 2 x>0, x≤0, ? ? ? ? 则? 1 或? |x| 1 |lgx|= ? ? 2 ? ?2 =2, 解得 x= 10或 x= 1 , 10

综上,共有 5 个零点. (2)令 g(x)=y=log2(x+1),作出函数 g(x)的图象如图所示.

?x+y=2, ?x=1, ? ? 由? 得? ?y=log2?x+1?, ?y=1. ? ?

∴结合图象知不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}. (3)根据图象可知,函数图象过原点, 即 f(0)=0,∴m≠0. 当 x>0 时,f(x)>0,∴2-m>0, 即 m<2,函数 f(x)在[-1,1]上是单调递增的, ∴f′(x)>0 在[-1,1]上恒成立, ?2-m??x2+m?-2x?2-m?x ?m-2??x2-m? f′(x)= = >0, ?x2+m?2 ?x2+m?2 ∵m-2<0,∴只需要 x2-m<0 在[-1,1]上恒成立, ∴(x2-m)max<0,∴m>1, 综上所述,1<m<2,故选 D.


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