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辽宁省实验中学等五校2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 文


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2014—2015 学年度下学期期末考试高二文科数学试卷
第Ⅰ卷 一项是符合题目要求的) (选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 1.集合 A ? x ? N 0 ? x ? 4 的真子集 个数为 ... A.3 B.4 C.7 D.8
(第 2 题图)

?

?

2.若 i 为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是 1,复平 z 面内点 Z 表示复数 z ,则复数 对应的点位于复平面内的 1? i

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 3. 若关于 x 的方程 x ? ax ? 4 ? 0 在区间 [2, 4] 上有实数根,则实数 a 的取值范围是 A. ( ?3, ??) B. [?3, 0] C. (0, ??) D. [0,3] 4.在调查高中学生的近视情况中,某校高一年级 145 名男生中有 60 名近视,120 名女生 中有 70 名近视. 在检验这些高中学生眼睛近视是否与性别相关时,常采用的数据分析 方法是 A.频率分布直方图 A. (?4,0) ? (2,??) 这个演绎推理 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.没有错误 7.设点 P 是函数 y ? ? x ( x ? 1) 图象上异于原点的动点,且该图象在点 P 处的切线的 倾斜角为 ? ,则 ? 的取值范围是 A. ? ? ? B.独立性检验
2

C.回归分析

D.茎叶图 D. (?4,4)
2

5.设定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? x ? 4, ( x ? 0) ,则 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 B. (0,2) ? (4,??) C. (??,0) ? (4,??) 6.若大前提是:任何实数的平方都大于 0,小前提是: a ? R ,结论是: a ? 0 ,那么

? 2? ? ,? ? ? 3 ?
2 2

B. ? ? ?

? ? 3? ? , ? ?2 4 ?

C. ? ? ?

? ? 2? ? , ? ?2 3 ?

D. ? ? ?

?? ? ? , ? 3 2? ?

8.给出下列四个命题: ①使用 ? 统计量作 2? 2 列联表的独立性检验时,要求表中的 4 个数据都要大于 10; ②使用 ? 统计量进行独立性检验时,若 ? ? 4 ,则有 95% 的把握认为两个事件有关;
2

③回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 ④在线性回归分析中,如果两个变量的相关性越强,则相关系数 r 就越接近于 1. 其中真命题的个数为 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

1 9.若变量 x, y 满足 x ? ln ? 0 ,则 y 关于 x 的函数图象大致是 y

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 10.如图所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4) ,此 四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi(i=1,2,3,4) ,若 = = = =k, 1 2 3 4 2S 则 h1+2h2+3h3+4h4= . 类比以上性质,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为

a1 a2 a3 a4

k

Si(i=1,2,3,4) ,此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi(i=1,2,3,4) ,
若 = = = =K,则 H1+2H2+3H3+4H4 等于 1 2 3 4

S1 S2 S3 S4

3V V D. K 3K 11.已知函数 g ( x) 是偶函数, f ( x) ? g ( x ? 2) 且当 x ? 2 时,其导函数 f ?( x ) 满足 ( x ? 2) f ?( x) ? 0 ,若 1 ? a ? 3 ,则
A. B. C. A. f (4a ) ? f (3) ? f (log3a ) C. f (log3a ) ? f (3) ? f (4a ) 取值范围是 A. ? 0, ? B. f (3) ? f (log3a ) ? f (4a ) D. f (log3a ) ? f (4a ) ? f (3)

2V K

V 2K

12.设 f ( x) ?| lg x | ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在区间 (0,4) 上有三个零点,则实数 a 的

? 1? ? e?

B. ?

? lg 2 lg e ? , ? e ? ? 2

C. ?

? lg 2 ? ,e? ? 2 ?

D. ? 0,

? ?

lg 2 ? ? 2 ?

第Ⅱ卷

(非选择题

共 90 分) .

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.已知 x 为实数,复数 z ? ( x2 ? x ? 2) ? ( x2 ? 3x ? 2)i 为纯虚数,则 x ? 14.若 log2[log3 (log4 x)] ? log3[log4 (log2 y)] ? 0 ,则 x ? y ? 15.对于实数 x , [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,观察下列等式: .

[ 1] ? [ 2 ] ? [ 3] ? 3

[ 4 ] ? [ 5] ? [ 6 ] ? [ 7 ] ? [ 8] ? 10

[ 9 ] ? [ 10] ? [ 11] ? [ 12] ? [ 13] ? [ 14] ? [ 15] ? 21
?? 按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为
3

.

16. 已知 a ? 1, f ( x ) ? x ? 3 | x ? a |,若函数 f ( x)在[?1,1] 上的最大值和最小值分别记为

M , m ,则 M ? m 的值为__________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知 x ? R, a ? x ?
2

1 , b ? 2 ? x, c ? x 2 ? x ? 1 ,试证明 a, b, c 至少有一个不小于 1. 2

-2-

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18. (本小题满分 12 分) “开门大吉” 是某电视台推出的游戏节目.选手面对 1~8 号 8 扇大门, 依次按响门上的门 铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎) ,选手需正确回答 出这首歌的名字, 方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中, 发现参赛选手多 数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁) ,其猜对歌曲名称与否的人数如图所示. (Ⅰ) 完成 2×2 列联表; 正误 年龄 20~30 30~40 合计 (Ⅱ)判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关;说明你的理由.(下面 的临界值表供参考) 正确 错误 合计

P ? 2 ? k0
k0
(参考公式: ? ?
2

?

?
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

n(n11n22 ? n12 n21 ) , n ? n1? ? n2? ? n?1 ? n?2 ) n1? n2? n?1n?2

19.(本题满分 12 分)

1 , 3 ? 3 (Ⅰ)计算: f (0) ? f (1), f (?1) ? f (2), f (?2) ? f (3) 的值; (Ⅱ)猜想 f ( x ) 具备的一个性质,并证明.
设 f ( x) ?
x

20.(本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? a ? (k ? 1)a
x ?x

(a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数.

(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 f (1) ? 求 m 的值.

3 2x ?2 x ,且 g ( x) ? a ? a ? 2m ? f ( x) 在 [1 , ? ?) 上的最小值为 ? 2 , 2

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 2x ? ln x(a ? R) .
2

(Ⅰ)若 a ? 4 ,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若 f '( x) 在区间 (0,1) 内有唯一的零点 x0 ,求 a 的取值范围. 请考生在第 22-24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

-3-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 如图,在 ?ABC 中, ?B ? 90 ,以 AB 为直径的⊙ O 交 AC 于 D ,过点 D 作⊙ O 的切
?

线交 BC 于 E , AE 交⊙ O 于点 F . (Ⅰ)证明: E 是 BC 的中点; (Ⅱ)证明: AD ? AC ? AE ? AF . 23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? cos? ? 0 , 点 M (1, ) . 以极 2 A 点 O 为原点,以极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系.斜率为 ?1的直线 l 过点 M , 且与曲线 C 交于 A, B 两点.
2

C

D
?

O

?

F

E

B

(Ⅰ)求出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程; (Ⅱ)求点 M 到两点 A, B 的距离之积. 24. (本大题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 | (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 2 ; (Ⅱ)当 x ? R , 0 ? y ? 1 时,证明: | x ? 2 | ? | x ? 2 |?

1 1 ? . y 1? y

-4-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 2014——2015 学年度下学期期末考试高二文科数学答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.A 9.B 10.C 11.B 12.B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.1 14. 80 15. 2n ? n
2

16. 4

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.证明:假设 a , b, c 均小于 1,即 a ? 1, b ? 1, c ? 1 , 则有 a ? b ? c ? 3 而 a ? b ? c ? 2x ? 2x ?
2

1 1 ? 3 ? 2( x ? ) 2 ? 3 ? 3 ,矛盾. 2 2
??12 分

所以原命题成立 18.(Ⅰ) 正误 年龄 20 ? 30 30 ? 40 合计 10 10 20 30 70 100 40 80 120 正确 错误 合计

???6 分 (Ⅱ) k ?

120(70 ? 10 ? 30 ? 10) ? 3 ? 2.706 20 ? 100? 40 ? 80
2

有 90 % 的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关。 19.解: (Ⅰ) f (0) ? f (1) ?

???12 分

1 3 ? 3
0

?

1 3 ? 3
1

?

1 1? 3

?

1 3? 3

?

3 ?1 3 ? 3 3 ? ? 2 6 3
??2 分

同理,可得 f (?1) ? f (2) ?

3 3 , f (?2) ? f (3) ? 3 3

???4 分

(Ⅱ)猜想:当 x1 ? x2 ? 1时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 证明:设 x1 ? x2 ? 1, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

3 3

???6 分

1 3 ? 3
x1

?

1 3 ? 3
x2

?

(3 x2 ? 3 )(3 x1 ? 3 ) (3 ? 3 )(3 ? 3 )
x1 x2

?

3 x1 ? 3 x2 ? 2 3 3
x1 ? x2

? 3 (3 ? 3 ) ? 3
x1 x2

?

3 x1 ? 3 x2 ? 2 3 3 (3 ? 3 ? 2 3 )
x1 x2

?

3 3
-5-

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? x1 ? x2 ? 1时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

3 3

??12 分

20. (Ⅰ)由题意,对任意 x ? R , f (? x) ? ? f ( x) , 即a
?x

? (k ? 1)a x ? ?a x ? (k ? 1)a ? x ,

(k ? 1)(a x ? a ? x ) ? (a x ? a ? x ) ? 0 , (k ? 2)(a x ? a ? x ) ? 0
因为 x 为任意实数 所以 k ? 2 . (Ⅱ)由(1) f ( x) ? a ? a
x ?x

????4 分

,因为 f (1) ?

3 , 2
x ?x

所以 a ?

1 3 ? ,解得 a ? 2 a 2

故 f ( x) ? 2 ? 2

,

g ( x) ? 2 2 x ? 2 ?2 x ? 2m(2 x ? 2 ? x ) ,令 t ? 2 x ? 2 ? x ,
则,由 x ? [1 , ? ?) ,得 t ? ?

?3 ? , ? ?? , ?2 ?
????8 分

?3 ? g ( x) ? h(t ) ? t 2 ? 2mt ? 2 ? (t ? m) 2 ? 2 ? m 2 , t ? ? , ? ? ? ?2 ?
当m ?

3 ?3 ? 时, h(t ) 在 ? , ? ? ? 上是增函数, 2 ?2 ? 9 25 (舍去). ? 3m ? 2 ? ?2 ,解得 m ? 4 12

则 h? ? ? ?2 , 当m ?

?3? ?2?

3 时,则 f (m) ? ?2 , 2 ? m 2 ? ?2 , 2 解得 m ? 2 ,或 m ? ?2 (舍去). 综上, m 的值是 2 .
21.(Ⅰ)当 a ? 4 时, f ( x) ? 4 x 2 ? 2 x ? ln x , x ? (0, ?? ) ,
1 8x2 ? 2x ?1 (4x ?1)(2x ? 1) . ? ? x x x 1 由 x ? (0, ?? ) ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? . 4 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化如下表: f ?( x) ? 8x ? 2 ?
x
f ?( x)
f ( x)

??12 分

1 (0, ) 4
?

1 4

1 ( , ??) 4
+

0 极小值

? 1 1 故函数 f ( x) 在 (0, ) 单调递减,在 ( , ??) 单调递增, 4 4

?

-6-

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1 3 f ( x) 有极小值 f ( )= + ln 4 ,无极大值.????????????5 分 4 4 1 2ax2 ? 2 x ?1 (Ⅱ)解法一 f ?( x) ? 2ax ? 2 ? ? , x x 令 f ?( x) ? 0 ,得 2ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,设 h( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 1 .

则 f ?( x) 在 (0,1) 有唯一的零点 x 0 等价于 h ( x ) 在 (0,1) 有唯一的零点 x 0 当 a ? 0 时,方程的解为 x ?
1 ,满足题意; 2

当 a ? 0 时,由函数 h ( x ) 图象的对称轴 x ? ?

1 ? 0 ,函数 h ( x ) 在 (0,1) 上单调递增, 2a 且 h(0) ? ?1 , h(1) ? 2a ? 1 ? 0 ,所以满足题意;
1 2

当 a ? 0 , ? ? 0 时, a ? ? ,此时方程的解为 x ? 1 ,不符合题意; 当 a ? 0 , ? ? 0 时,由 h(0) ? ?1 , 只需 h(1) ? 2a ? 1 ? 0 ,得 ? ? a ? 0 . 综上, a ? ? .???????12 分 (说明: ? ? 0 未讨论扣 1 分) 解法二:
1 2ax2 ? 2 x ?1 (Ⅱ) f ?( x) ? 2ax ? 2 ? ? , x x
1 2

1 2

令 f ?( x) ? 0 ,由 2ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,得 a ? 设m ?

1 1 ? . 2 x2 x

1 1 1 1 ,则 m ? (1, ?? ) , a ? m2 ? m ? (m ? 1)2 ? , 2 2 2 x

1 1 问题转化为直线 y ? a 与函数 h(m) ? (m ? 1)2 ? 的图象在 (1, ?? ) 恰有一个交点问题. 2 2 又当 m ? (1, ?? ) 时, h(m) 单调递增,

故直线 y ? a 与函数 h(m) 的图象恰有一个交点,当且仅当 a ? ? .

1 2

??12 分

请考生在第 22-24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.解: (Ⅰ)证明:连接 BD ,因为 AB 为⊙O 的直径,所以 BD ? AC ,又 ?B ? 90 ? ,所 以 CB 切⊙O 于点 B,且 ED 切于⊙O 于点 D,因此 EB ? ED ,
?

??2 分

?EBD? ?EDB, ?CDE ? ?EDB ? 90 ? ?EBD ? ?C ,所以 ?CDE ? ?C , 得 EC ? ED ,因此 EB ? EC ,即 E 是 BC 的中点 ??5 分 (Ⅱ)证明:连接 BF,可知 BF 是 Rt △ABE 斜边上的高,可得△ABE∽△AFB AB AE 于是有 ,即 AB 2 ? AE ? AF , ??8 分 ? AF AB
同理可证 AB 2 ? AD ? AC 所以 AD ? AC ? AE ? AF ??10 分 ? 2 23.解: (Ⅰ) x ? ? cos ? , y ? ? sin? ,由 ? sin ? ? cos ? ? ? 得 ? sin2 ? ? ? cos ? . 所以 y 2 ? x 即为曲线 C 的直角坐标方程; ??2 分

1), 点 M 的直角坐标为 ( 0 ,

-7-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 直线 l 的倾斜角为

?? ,故直线 l 的参数方程为 ? ? 2 3? ? x?? t ? ? x ? t cos 4 ? 2 ( t 为参数)即 (t 为参数) ? ? 3? ? y ? 1 ? t sin ?y ?1? 2 t ? 4 ? 2 ?

??5 分

? 2 x?? t ? ? 2 (t 为参数)代入曲线 C 的方程得 (Ⅱ)把直线 l 的参数方程 ? ?y ?1? 2 t ? 2 ?
(1 ? 2 2 2 t) ? ? t ,即 t 2 ? 3 2t ? 2 ? 0 , 2 2
??7 分

? ? (3 2 ) 2 ? 4 ? 2 ? 10 ? 0 ,
设 A、B 对应的参数分别为 t 1、 t 2 ,则 ?

? ?t 1 ? t 2 ? ?3 2 ? ? t1 ? t 2 ? 2
??10 分

又直线 l 经过点 M,故由 t 的几何意义得 点 M 到 A,B 两点的距离之积 | MA | ? | MB |?| t 1 || t 2 |?| t 1 ? t 2 |? 2

x?2 ? 4, ? 24.解: (Ⅰ)由已知可得: f ( x) ? ?2 x, ? 2 ? x ? 2 ? ?4, x ? ?2 ?
所以, f ( x) ? 2 的解集为 {x x ? 1} . (II)由(Ⅰ)知, ???????5 分 ;

x?2 ? x?2 ? 4

1 1 1 1 1? y y ? ?( ? )[ y ? (1 ? y)] ? 2 ? ? ?4 y 1? y y 1? y y 1? y 1 1 ? x?2 ? x?2 ? ? . y 1? y
说明:各题中出现的不同解法,请参照此标准相应给分。

????????10 分

-8-


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