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江苏省南京外国语学校仙林分校2012-2013学年高一1月阶段性测试数学试题


南京外国语学校仙林分校 2012-2013 高一年级阶段性测试数学学
科试题(2013-1-4)
一、填空题: (本大题共 14 道题,每道题 5 分,共 70 分.请将答案填在答卷中的横线上) 1.已知 A ? {x | ?2 ? x ? 3} , B ? {x | 0 ? x ? 5} ,则 A ? B ? 2.函数 y ? 2sin( x ? ) 的最小正周期为
4 1 2

▲ .



?



3. tan(?1140?) =



. ▲ ▲ . .

1 4.若 a ? ( )3 , b ? 30.4 , c ? log 2 0.6 ,则 a, b, c 的大小关系是 2

5.已知 cos ? ?

? 5 ,且 ? ? (? , 0) ,则 sin( ? ?? )= 2 3
?
4

6.将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象向左平移

个单位,再向下平移 1 个单位,得到函 ▲ . ▲ .

数 g (x) 的图象对应的解析式为 g ( x) ?

x ?2 ,x>0, 7.已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于 ?x+1,x≤0,

8.函数 f ( x) ? 4 ? x2 ? lg(2sin x ? 1) 的定义域是





π π 9.设函数 y=2sin(2x+3)的图象关于点 P(x0,0)成中心对称,若 x0∈[-2,0], 则 x0= ▲ .

10. 为了使函数 y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现 50 次最大值, ω 的最小 则 值是 ▲ . ▲ .

11.方程 lg x ? sin 2 x 在 [0 , 4? ] 上解的个数是

12.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的图象如右图所示,则 f(1)+f(2)+…+f(2013)的值为 ▲ .

13.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 | x | ,则满足 f (?m2 ? 1) ? f (2) 的 m 取值范围是 ▲ . 14.设 m ? N ,若函数 f ( x) ? 2x ? m 10 ? x ? m ? 10 存在整数零点,则 m 的取值 集合为 ▲ .

1

二、解答题: (本大题共 6 道题,满分 90 分.解答应有必要的推演步骤或证明过程) 15. (本题满分 14 分) 已知 f ( x) ? sin x ? cos x . (1)求 f ( ) ;
3

?

(2)若 x ? (0 , ? ) ,且 f ( x) ?

17 ,求 tan x 的值. 13

16. (本题满分 14 分) 已知 f ( x) ? sin(2x ? ) .
3

?

(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 x ? [0 , ] ,求 f ( x) 的取值范围.
4

?

2

17. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?
ax 2 ? 1 是奇函数( a , b , c 都是整数) ,且 f (1) ? 2 , f (2) ? 3 . bx ? c

(1)求 a , b , c 的值; (2)判断 f ( x) 在 (?? , ? 1] 上的单调性,并用单调性定义证明你的结论.

18. (本题满分 16 分) 对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点.已 知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围.

3

19. (本题满分 16 分) 如下图为一个观览车示意图,该观览车半径为 4.8m,圆上最低点与地面距 离为 0.8m,60 秒转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面距离为 h. (1)在如图所示直角坐标系中,求 h 与 θ 间关系的函数解析式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒到达 OB,求 h 与 t 间关系的函数解析式; (3)填写下列表格: θ h(m) 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180°

t(s) h(m)

0

5

10

15

20

25

30

y

x

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? log2 (4x ? 1) ? kx 是偶函数. (1)求实数 k 的值;
4 (2)设 g ( x) ? log2 (a ? 2x ? a )(a ? R ) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有 3

一个公共点,求实数 a 的取值范围.

4

南京外国语学校仙林分校 2012-2013 高一年级阶段性测试
数学学科试题答案
一、填空题: (本大题共 14 道题,每道题 5 分,共 70 分.请将答案填在答卷中的横线上) 2 π ? {x | ?2 ? x ? 5} ; 4? ; ? 3 ; b ? a ? c ; ? ; g ( x) ? cos 2 x ? 1 ;-3; ( , 2] ;- ; 6 6 3 2027 197 π;5; ; ? 1 ? m ? 1 ; ?0,3,14,30? 2 2 二、解答题: (本大题共 6 道题,满分 90 分.解答应有必要的推演步骤或证明过程)
? 3 ?1 15. (本题满分 14 分)解: (1) f ( ) ? . 3 2
(2)? sin x ? cos x ?

17 120 ,? 2sin x ? cos x ? ? ? 0 ,所以 sin x 与 cos x 异号, 13 169

? 49 7 又 x ? (0 , ? ) ,故 x ? ( , ? ) ,? (sin x ? cos x)2 ? ,?sin x ? cos x ? ? , 2 169 13
联立解得 sin x ?

12 5 5 12 12 5 ,cos x ? ? 或 sin x ? ,cos x ? ? 故 tan x ? ? 或 tan x ? ? . 13 13 13 13 5 12
1+cos2x? 1 3 3 = 3? 2 ? 2 ?+2sin2x- 2

16. (本题满分 14 分) (1)函数 f(x)= 3cos2x+sinxcosx- 解: = π 3 1 cos2x+ sin2x=sin?2x+3? ? ? 2 2

π π π 5π π ∴由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z 得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z 2 3 2 12 12 5π π 所以 f(x)的单调递增区间为?-12+kπ,12+kπ?,(k∈Z) ? ? π π π 5π (2)∵x∈?0,4?,∴2x+ ∈?3, 6 ? ? ? ? 3 ? π π π π 5π π 1 1 ∴当 2x+ = 即 x= 时 f(x)max=1;当 2x+ = 即 x= 时,f(x)min= ,∴ ≤f(x)≤1. 3 2 12 3 6 4 2 2 17. (本题满分 14 分) 解: (1)由 f ( x) ?

ax 2 ? 1 是奇函数,得 f (? x) ? ? f ( x) 对定义域内 x 恒成立, bx ? c



a ( ? x) 2 ? 1 ax 2 ? 1 ?? ? ?bx ? c ? ?(bx ? c) 对定义域内 x 恒成立,即 c ? 0 b(? x) ? c bx ? c
(或由定义域关于原点对称得 c ? 0 )

? a ?1 ? b ?2 ① f (1) ? 2 ? 2b ? 3 3 ? ?? ?0?0?b? , 又? 由① a ? 2b ? 1 代入② 得 得 2b 2 ? f (2) ? 3 ? 4a ? 1 ? 3 ② ? 2b ?
5

又 a, b, c 是整数,得 b ? a ? 1 (2)由(1)知, f ( x) ?

x2 ? 1 1 ? x ? 在 (??, ?1] 上单调递增. x x
1 1 x ?x ? ( x2 ? ) ? x1 ? x2 ? 2 1 x1 x2 x1 x2

证明:设 x1 ? x2 ? ?1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

? ( x1 ? x2 )(1 ?

1 1 ) ,因为 x1 ? x2 ? ?1 , x1 ? x2 ? 0 , 1 ? ?0 x1 x2 x1 x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,故 f ( x) 在 (??, ?1] 上单调递增.
18. (本题满分 16 分) 解:(1)f(x)=x2-x-3,因为 x0 为不动点,因此有 f(x0)=x2-x0-3=x0, 0 所以 x0=-1 或 x0=3. 所以 3 和-1 为 f(x)的不动点. (2)因为 f(x)恒有两个不动点,f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)=x,ax2+bx+(b-1)=0, 由题设知 b2-4a(b-1)>0 恒成立,即对于任意 b∈R,b2-4ab+4a>0 恒成立, 所以有(-4a)2-4(4a)<0?a2-a<0.所以 0<a<1. 19. (本题满分 16 分) 解: (1)过点 O 作地面平行线 ON,过点 B 作 ON 的垂线 BM 交 ON 于 M 点. π π 当 θ> 时,∠ BOM=θ- . 2 2 π h=|OA|+0.8+|BM|=5.6+4.8sin?θ-2?. ? ?

π 当 0≤θ≤ 时,上述关系式也适合. 2 π π (2)点 A 在⊙ 上逆时针运动的角速度是 , ∴ 秒转过的弧度数为 t. O t 30 30 π π ∴ h=4.8sin?30t-2?+5.6,t∈ [0,+∞). ? ? (3) θ h(m) 0° 0.8 30° 1.4 60° 3.2 90° 5.6 120° 8.0 150° 9.8 180° 10.4

t(s) h(m)

0 0.8

5 1.4

10 3.2

15 5.6

20 8.0

25 9.8

30 10.4

6

20. (本题满分 16 分) 解: (1)? f ( x) 是偶函数,? f (? x) ? f ( x) .

?log2 (4? x ? 1) ? kx ? log2 (4x ? 1) ? kx ,? 2 x ? 2kx ? 0 .

由于此式对于一切 x ? R 恒成立,? k ? ?1 (2)函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,等价于方程 f ( x) ? g ( x) 有唯一的实 数解

4 4 a) ? 2 x 有唯一实数解,且 a ? 2 x ? a ? 0 . 3 3 4 4 2 x 令 2x ? t ,则此问题等价于方程 ( a ? 1) ? t ? at ? 1 ? 0 只有一个正实根且 a ? 2 ? a ? 0 . 3 3
等价于方程 4 x ? 1 ? (a ? 2 x ? 从而有: ①a ? 1 ? 0 即 a ? 1 ,则 t ? ? ②a ? 1 ? 0 即 a ? 1 (Ⅰ ? ? )若 意, 当 a ? ?3 时,得 t ?

3 ,不合题意舍去. 4

16 2 3 3 a ? 4( a ? 1) ? 0 ,即 a ? 或 a ? ?3 .当 a ? 时,代入方程得 t ? ?2 不合题 9 4 4 1 符合题意. 2

(Ⅱ )方程有一个正根和一个负根,即 值范围是 {?3} ? (1, ??) .

?1 ? 0 ,即 a ? 1 符合题意,综上所述,实数 a 的取 a ?1

7

南京外国语学校仙林分校 2012-2013 高一年级阶段性测试
数学学科试题答卷 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
(1) (4) (7) (10) (13) ; (2) ; (5) ; (8) ; (11) ; (14) ; (3) ; (6) ; (9) ; (12) ; ; ; ; ;

二、解答题: (本大题共 6 道题,满分 90 分。答题应有必要的步骤和推理过程) ..............
15. (本题满分 14 分)

16. (本题满分 14 分)

8

17. (本题满分 14 分)

18. (本题满分 16 分)

9

19. (本题满分 16 分)

y

x

(3) θ h(m) 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180°

t(s) h(m)

0

5

10

15

20

25

30

10

20. (本题满分 16 分)

11


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