江苏省南京外国语学校仙林分校2012-2013学年高一1月阶段性测试数学试题

南京外国语学校仙林分校 2012-2013 高一年级阶段性测试数学学
科试题（2013-1-4）
一、填空题： （本大题共 14 道题，每道题 5 分，共 70 分．请将答案填在答卷中的横线上） 1．已知 A ? {x | ?2 ? x ? 3} ， B ? {x | 0 ? x ? 5} ，则 A ? B ? 2．函数 y ? 2sin( x ? ) 的最小正周期为
4 1 2

▲ ．

．

?

▲

3． tan(?1140?) ＝

▲

． ▲ ▲ ． ．

1 4．若 a ? ( )3 , b ? 30.4 , c ? log 2 0.6 ，则 a, b, c 的大小关系是 2

5．已知 cos ? ?

? 5 ，且 ? ? (? , 0) ，则 sin( ? ?? )= 2 3
?
4

6．将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象向左平移

个单位，再向下平移 1 个单位，得到函 ▲ ． ▲ ．

数 g (x) 的图象对应的解析式为 g ( x) ?

x ?2 ，x>0， 7．已知函数 f(x)＝? 若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值等于 ?x＋1，x≤0，

8．函数 f ( x) ? 4 ? x2 ? lg(2sin x ? 1) 的定义域是

▲

．

π π 9．设函数 y＝2sin(2x＋3)的图象关于点 P(x0，0)成中心对称，若 x0∈[－2，0]， 则 x0＝ ▲ ．

10． 为了使函数 y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现 50 次最大值， ω 的最小 则 值是 ▲ ． ▲ ．

11．方程 lg x ? sin 2 x 在 [0 , 4? ] 上解的个数是

12．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b 的图象如右图所示，则 f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值为 ▲ ．

13．已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 | x | ，则满足 f (?m2 ? 1) ? f (2) 的 m 取值范围是 ▲ ． 14．设 m ? N ，若函数 f ( x) ? 2x ? m 10 ? x ? m ? 10 存在整数零点，则 m 的取值 集合为 ▲ ．

1

二、解答题： （本大题共 6 道题，满分 90 分．解答应有必要的推演步骤或证明过程） 15． （本题满分 14 分） 已知 f ( x) ? sin x ? cos x ． （1）求 f ( ) ；
3

?

（2）若 x ? (0 , ? ) ，且 f ( x) ?

17 ，求 tan x 的值． 13

16． （本题满分 14 分） 已知 f ( x) ? sin(2x ? ) ．
3

?

（1）求函数 f ( x) 的单调递增区间； （2）若 x ? [0 , ] ，求 f ( x) 的取值范围．
4

?

2

17． （本题满分 14 分） 设函数 f ( x) ?
ax 2 ? 1 是奇函数（ a , b , c 都是整数） ，且 f (1) ? 2 ， f (2) ? 3 ． bx ? c

（1）求 a , b , c 的值； （2）判断 f ( x) 在 (?? , ? 1] 上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．

18． （本题满分 16 分） 对于函数 f(x)，若存在 x0∈R，使 f(x0)＝x0 成立，则称 x0 为 f(x)的不动点．已 知函数 f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)． （1）当 a＝1，b＝－2 时，求函数 f(x)的不动点； （2）若对任意实数 b，函数 f(x)恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围．

3

19． （本题满分 16 分） 如下图为一个观览车示意图，该观览车半径为 4.8m，圆上最低点与地面距 离为 0.8m,60 秒转动一圈，图中 OA 与地面垂直，以 OA 为始边，逆时针转动 θ 角到 OB，设 B 点与地面距离为 h． （1）在如图所示直角坐标系中，求 h 与 θ 间关系的函数解析式； （2）设从 OA 开始转动，经过 t 秒到达 OB，求 h 与 t 间关系的函数解析式； （3）填写下列表格： θ h(m) 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180°

t(s) h(m)

0

5

10

15

20

25

30

y

x

20． （本题满分 16 分） 已知函数 f ( x) ? log2 (4x ? 1) ? kx 是偶函数． （1）求实数 k 的值；
4 （2）设 g ( x) ? log2 (a ? 2x ? a )(a ? R ) ，若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有 3

一个公共点，求实数 a 的取值范围．

4

南京外国语学校仙林分校 2012-2013 高一年级阶段性测试
数学学科试题答案
一、填空题： （本大题共 14 道题，每道题 5 分，共 70 分．请将答案填在答卷中的横线上） 2 π ? {x | ?2 ? x ? 5} ； 4? ； ? 3 ； b ? a ? c ； ? ； g ( x) ? cos 2 x ? 1 ；－3； ( , 2] ；－ ； 6 6 3 2027 197 π；5； ； ? 1 ? m ? 1 ； ?0,3,14,30? 2 2 二、解答题： （本大题共 6 道题，满分 90 分．解答应有必要的推演步骤或证明过程）
? 3 ?1 15． （本题满分 14 分）解： （1） f ( ) ? ． 3 2
（2）? sin x ? cos x ?

17 120 ，? 2sin x ? cos x ? ? ? 0 ，所以 sin x 与 cos x 异号， 13 169

? 49 7 又 x ? (0 , ? ) ，故 x ? ( , ? ) ，? (sin x ? cos x)2 ? ，?sin x ? cos x ? ? ， 2 169 13
联立解得 sin x ?

12 5 5 12 12 5 ，cos x ? ? 或 sin x ? ，cos x ? ? 故 tan x ? ? 或 tan x ? ? ． 13 13 13 13 5 12
1＋cos2x? 1 3 3 ＝ 3? 2 ? 2 ?＋2sin2x－ 2

16． （本题满分 14 分） (1)函数 f(x)＝ 3cos2x＋sinxcosx－ 解： ＝ π 3 1 cos2x＋ sin2x＝sin?2x＋3? ? ? 2 2

π π π 5π π ∴由－ ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z 得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z 2 3 2 12 12 5π π 所以 f(x)的单调递增区间为?－12＋kπ，12＋kπ?，(k∈Z) ? ? π π π 5π (2)∵x∈?0，4?，∴2x＋ ∈?3， 6 ? ? ? ? 3 ? π π π π 5π π 1 1 ∴当 2x＋ ＝ 即 x＝ 时 f(x)max＝1；当 2x＋ ＝ 即 x＝ 时，f(x)min＝ ，∴ ≤f(x)≤1． 3 2 12 3 6 4 2 2 17． （本题满分 14 分） 解： （1）由 f ( x) ?

ax 2 ? 1 是奇函数，得 f (? x) ? ? f ( x) 对定义域内 x 恒成立， bx ? c

则

a ( ? x) 2 ? 1 ax 2 ? 1 ?? ? ?bx ? c ? ?(bx ? c) 对定义域内 x 恒成立，即 c ? 0 b(? x) ? c bx ? c
（或由定义域关于原点对称得 c ? 0 ）

? a ?1 ? b ?2 ① f (1) ? 2 ? 2b ? 3 3 ? ?? ?0?0?b? ， 又? 由① a ? 2b ? 1 代入② 得 得 2b 2 ? f (2) ? 3 ? 4a ? 1 ? 3 ② ? 2b ?
5

又 a, b, c 是整数，得 b ? a ? 1 （2）由（1）知， f ( x) ?

x2 ? 1 1 ? x ? 在 (??, ?1] 上单调递增． x x
1 1 x ?x ? ( x2 ? ) ? x1 ? x2 ? 2 1 x1 x2 x1 x2

证明：设 x1 ? x2 ? ?1 ，则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

? ( x1 ? x2 )(1 ?

1 1 ) ，因为 x1 ? x2 ? ?1 ， x1 ? x2 ? 0 ， 1 ? ?0 x1 x2 x1 x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ，故 f ( x) 在 (??, ?1] 上单调递增．
18． （本题满分 16 分） 解：(1)f(x)＝x2－x－3，因为 x0 为不动点，因此有 f(x0)＝x2－x0－3＝x0， 0 所以 x0＝－1 或 x0＝3. 所以 3 和－1 为 f(x)的不动点． (2)因为 f(x)恒有两个不动点，f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)＝x，ax2＋bx＋(b－1)＝0， 由题设知 b2－4a(b－1)>0 恒成立，即对于任意 b∈R，b2－4ab＋4a>0 恒成立， 所以有(－4a)2－4(4a)<0?a2－a<0.所以 0<a<1. 19． （本题满分 16 分） 解： （1）过点 O 作地面平行线 ON，过点 B 作 ON 的垂线 BM 交 ON 于 M 点． π π 当 θ> 时，∠ BOM＝θ－ . 2 2 π h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4．8sin?θ－2?. ? ?

π 当 0≤θ≤ 时，上述关系式也适合． 2 π π (2)点 A 在⊙ 上逆时针运动的角速度是 ， ∴ 秒转过的弧度数为 t. O t 30 30 π π ∴ h＝4.8sin?30t－2?＋5.6，t∈ [0，＋∞)． ? ? (3) θ h(m) 0° 0.8 30° 1.4 60° 3.2 90° 5.6 120° 8.0 150° 9.8 180° 10.4

t(s) h(m)

0 0.8

5 1.4

10 3.2

15 5.6

20 8.0

25 9.8

30 10.4

6

20． （本题满分 16 分） 解： （1）? f ( x) 是偶函数，? f (? x) ? f ( x) .

?log2 (4? x ? 1) ? kx ? log2 (4x ? 1) ? kx ,? 2 x ? 2kx ? 0 .

由于此式对于一切 x ? R 恒成立，? k ? ?1 （2）函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点，等价于方程 f ( x) ? g ( x) 有唯一的实 数解

4 4 a) ? 2 x 有唯一实数解，且 a ? 2 x ? a ? 0 . 3 3 4 4 2 x 令 2x ? t ，则此问题等价于方程 ( a ? 1) ? t ? at ? 1 ? 0 只有一个正实根且 a ? 2 ? a ? 0 . 3 3
等价于方程 4 x ? 1 ? (a ? 2 x ? 从而有： ①a ? 1 ? 0 即 a ? 1 ，则 t ? ? ②a ? 1 ? 0 即 a ? 1 (Ⅰ ? ? )若 意， 当 a ? ?3 时，得 t ?

3 ，不合题意舍去. 4

16 2 3 3 a ? 4( a ? 1) ? 0 ，即 a ? 或 a ? ?3 .当 a ? 时，代入方程得 t ? ?2 不合题 9 4 4 1 符合题意. 2

(Ⅱ )方程有一个正根和一个负根，即 值范围是 {?3} ? (1, ??) .

?1 ? 0 ，即 a ? 1 符合题意，综上所述，实数 a 的取 a ?1

7

南京外国语学校仙林分校 2012-2013 高一年级阶段性测试
数学学科试题答卷 一、填空题： （本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）
（1） （4） （7） （10） （13） ； （2） ； （5） ； （8） ； （11） ； （14） ； （3） ； （6） ； （9） ； （12） ； ； ； ； ；

二、解答题： （本大题共 6 道题，满分 90 分。答题应有必要的步骤和推理过程） ．．．．．．．．．．．．．．
15． （本题满分 14 分）

16． （本题满分 14 分）

8

17． （本题满分 14 分）

18． （本题满分 16 分）

9

19． （本题满分 16 分）

y

x

（3） θ h(m) 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180°

t(s) h(m)

0

5

10

15

20

25

30

10

20． （本题满分 16 分）

11