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2011 学年第二学期期末考试试卷(A卷) - 华中师范大学数学与统计学


华中师范大学 2010 –2011 学年第二学期
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期末考试试卷(A 卷)答案
课程名称 微分几何 课程编号 83410019 任课教师 周振荣、程亮、陈永发 题型 分值 得分 叙述 25 计算 45 证明 15 应用 15 总分 100

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学号:

得分

评阅人

一、叙述题: (共 5 题,每题 5 分,共 25 分)

1. 叙述高斯奇妙定理。 答: 高斯曲率是内蕴量。 2. 叙述曲面基本定理。 答:给定两个二次型 I ?

年级:

i , j ?1

? g du du , II ? ? L du du
i j i ij i , j ?1 ij

2

2

j

,其中 I 正定。如果 gij , Lij 满足高斯方程

和科达齐方程, 则存在一张曲面 S 以 I 为第一基本形式, II 为第二基本形式, 以 并且这样的两张曲面通 过运动可以重合。 3. 叙述曲面映射是等距的一个等价条件。 答:保持内积。 4. 叙述高斯波涅公式。 答:高斯曲率的积分、测地曲率在边界上的积分与边界的外角之和等于 2π 。 5. 叙述克氏符号的定义。
k 答: ?ij ?

专业:

1 kl ?gil ?g jl ?gij g ( j ? i ? l )。 2 ?u ?u ?u

: 院(系)

得分

评阅人

二、计算题: (共 3 题,每题 15 分,共 45 分)

6.设曲线的参数表示为 r ? (a cos t , a sin t , bt ) 。计算它的曲率、挠率和三个基本向量。 解: r ? ? {?a sin t , a cos t , b} ,

?

?

? r ?? ? {?a cos t , ?a sin t ,0}

? r ??? ? {a sin t , ?a cos t , 0}

? ? r? ? r?? ? {ab sin t , ?ab cos t , a2} ? ? ? ? (r?, r??, r???) ? a2b ,| r ? |2 ? a 2 ? b2
? ? | r ? ? r ?? | a k? ? 3 ? 2 2 | r? | a ?b ? ? ? (r ?, r ??, r ???) b ?? ? ? 2 ? 2 2 | r ? ? r ?? | a ?b ? r? 1 ? ? ? ? 2 2 {?a sin t , a cos t , b} | r? | a ? b ? ?

?? ? ? ?
? ?

?

? ? r ? ? r ?? | r ? ? r ?? |

1 {b sin t , ?b cos t , a} a ? b2
2

? ? ? ??
?

? ? ?

7.计算球面 r ? {R cos ? cos ? , R cos ? sin ? , R sin ? } 的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均 曲率。 解: r? ? {?R cos? sin ?, R cos? sin ?,0}

?

? r? ? {?R sin ? cos ?, ?R sin ? sin ?, R cos?}

? ?? ? E ? r? 2 ? R2 cos2 ? , F ? r? r? ? 0, G ? r? 2 ? R2
I ? R2 cos2 ? d? 2 ? R2d? 2

? n?

? ? r? ? r? EG ? F 2

? {cos ? cos ? ,cos ? sin ? ,sin ? }

第 1 页(共 3 页)

? r?? ? {?R cos? cos?, ?R cos? sin ?,0}
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------

? r?? ? {R sin ? sin ?, ?R sin ? cos?,0}

? r?? ? {?R cos? cos ?, ?R cos? sin ?, ?R sin ?}

? ? ? ? ? ? L ? r?? n ? ?R cos2 ? , M ? r?? n ? 0, N ? r?? n ? ?R
II ? ?( R cos2 ? d? 2 ? Rd? 2 )
K? H? LN ? M 2 1 ? 2 2 EG ? F R LG ? 2MF ? NE 1 ?? 2 2( EG ? F ) R

1 2 8.设曲面 S : r ? r (u1 , u 2 ) 上的曲线 C : r (t ) ? r u (t ), u (t ) ,求测地挠率.

?

?

?

?

?

?

解: 直接计算得:

? r?

dr dt du i dt du k dt ? ri ? rk , dt ds dt ds dt ds
2 2

j i ? d 2u k du k d 2t du j du i ? dt ? k du du ? ? dt ? ?? ?? ? 2 ? ?ij r ? hij n ?? ? rk ? rk ? ? . dt dt ? ? ds ? dt ds 2 dt dt ? ds ? ? dt
j i du1 ? d 2u 2 2 du du ? ? dt ? ? r r ? ?? ? ? ? ij ? ? ? ? r1 ? r2 dt ? dt 2 dt dt ? ? ds ? 3 j i du 2 ? d 2 u 1 1 du du ? ? dt ? ? ? ? ij ? ? ? ? r1 ? r2 dt ? dt 2 dt dt ? ? ds ? 3

? hij
所以

du k dt du j du i dt ds dt dt

? dt ? ? ? rk ? n. ? ds ?
3

2

j i du1 ? d 2u 2 2 du du ? ? dt ? ? r ? g ? ? r ? ??? ? n ? ? ?ij ? ?? ? dt ? dt 2 dt dt ? ? ds ?

g
3

du 2 ? d 2u1 du j du i ? ? dt ? ? ? ?1 ? ?? ? ij dt ? dt 2 dt dt ? ? ds ?

g.

得分

评阅人

1. 三、证明题: (共 1 题, 15 分)

9.设两曲面沿交线成定角,证明:如果交线是一张曲面的曲率线,则它也是另一张曲面的曲率线. 证明 交线成定角即法向量成定角,也就是 n1 ? n2 ? c .

? ? 两边对弧长求导得 n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? 0 . ? ? 由于交线是第一张曲面的曲率线,由罗德里格定理, n1 ? ?? r , ? ? ? 所以 n1 ? n2 ? 0 ,于是 n1 ? n2 ? 0 ,这说明 n1 ? n2 . ? ? ? 另一方面, n2 ? n2 ,所以 n2 / / n1 ? n2 / / r ,
再由罗德里格定理可知交线是第二张曲面的曲率线.

得分

评阅人

四、应用题: (共 1 题, 15 分)

10.应用高斯-波涅定理计算半径为 a 的球面的面积。 解:设赤道圆为 C,则它是测地线,在其上 kg ? 0

球面的高斯曲率是

K?

1 a2

设上半球面为 A,由高斯-波涅定理有 因 K 为常数,

?? Kd? ? 2? ,
A

?? Kd? ? K? ( A) ?
A

? ( A)
a2

其中? ( A) 是 A 的面积,所以 ,

? ( A) 为 2? a

2

4? a
,球面的面积是

2

第 2 页(共 2 页)


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