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2013高考数学一轮同步训练(文科) 5.3等比数列及其前n项和


2013 高考数学一轮强化训练 5.3 等比数列及其前 n 项和 文 新人教 A 版
1.设 S n 为等比数列{ an }的前 n 项和 ? 8a2 ? a5 ? 0? 则 5 等于(

S

S

)

2

A.-11 C.5 答案:A

B.-8 D.11

解析:由 8a2 ? a5 ? 0? ∴ 5 ? ?8? 即 q 3 ? ?8? q ? ?2 .

a

a 2

a (1 ? q5 ) 1 S 1? q 1 ? q5 33 ? ? ? ?11 . ∴ 5 ? S a (1 ? q 2 ) 1 ? q 2 ?3 2 1 1? q
2.在等比数列{ an }中 ? a1 ? 1? 公比|q| ? 1 .若 am ? a1a2 a3 a4 a5 ? 则 m 等于( A.9 C.11 答案:C 解析: am ? a1a2 a3 a4 a5 ? a15 q10 ? a1q10 ? a11 . 3.在公比为整数的等比数列{ an }中,如果 a1 ? a4 ? 18? ? a2 ? ? a3 ? 12? 那么该数列的前 8 项 和为( A.513 C.510 答案:C 解析: a1 (1 ? q 3 ) ? 18? a1 (q ? q 2 ) ? 12? ∴ q ? 2? a1 ? 2 . ∴ S8 ? ) B.512 D. 225 B.10 D.12 )

8

1 ? q3 3 ? ? ?q= 1 或 q=2,而 q ? Z, 2 2 2 q?q

2(1 ? 28 ) ? 29 ? 2 ? 510 . 1? 2
.

4.在正项等比数列{ an }中 ? a1a5 ? 2a3 a5 ? a3a7 ? 25? 则 a3 ? a5 ? 答案:5 解析: (a3 ) 2 ? 2a3 a5 ? (a5 ) 2 ? (a3 ? a5 ) 2 ? 25? a3 ? a5 ? 5.

2 5.等比数列{ an }的前 n 项和为 2n ? 1? 则数列{ an }的前 n 项和 Tn ?

.

n 答案: 4 ? 1 3
解析:∵ S n ? 2n ? 1? 当 n ? 2 时 ? S n ?1 ? 2n ?1 ? 1? ∴ an ? 2n ?1 ?
2 ∴ an ? 4n ?1 ?

∴ a12 ? 1? q ? 4 .

n n ∴ Tn ? 1 ? 4 ? 4 ? 1 . 1? 4 3
6.等比数列{ an }中,已知 a1 ? 2? a4 ? 16 . (1)求数列{ an }的通项公式; (2)若 a3 ? a5 分别为等差数列{ bn }的第 3 项和第 5 项,试求数列{ bn }的通项公式及前 n 项和 S n . 解:(1)设{ an }的公比为 q,由已知得 16 ? 2q 3 ? 解得 q=2. 所以 an ? 2 ? 2n ?1 ? 2n . (2)由(1)得 a3 ? 8? a5 ? 32? 则 b3 ? 8? b5 ? 32 . 设{ bn }的公差为 d,则有 ?

? b1 ? 2d ? 8? ?b1 ? 4d ? 32

解得 ?

?b1 ? ?16? ? d ? 12?

从而 bn ? ?16 ? 12(n ? 1)=12n-28. 所以数列{ bn }的前 n 项和 S n ?

n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n 2 ? 22n . 2
)

题组一 等比数列的基本量计算 1.已知等比数列{ an }满足 a1 ? a2 ? 3? a2 ? a3 ? 6? 则 a7 等于( A.64 C.128 答案:A B.81 D.243

解析: 2

a ?a 3 ? q ? 2? ∴ a ? 2a ? 3 . 1 1 a ?a 1 2

∴ a1 ? 1 . ∴ a7 ? 26 ? 64 . 2.设{ an }是由正数组成的等比数列 ? S n 为其前 n 项和.已知 a2 a4 ? 1? S3 ? 7? 则 S5 等于( A. 15 )

2

B. 31

4

C. 33

4

D. 17

2

答案:B 解析:由 a2 a4 ? 1 可得 a12 q 4 ? 1? 因此 a1 ? 1 .

q2

又因为 S3 ? a1 (1 ? q ? q 2 ) ? 7? 联立两式得 ( 1 ? 3)( 1 ? 2) ? 0? 所以 q ? 1 ?

q

q

2

4(1 ? 1 ) 25 ? 31 ? 故选 B. 所以 S5 ? 4 1? 1 2
3.设等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ? 若 6 ? 3? 则 9 等于?(

S

S

S 3

S

)

6

A.2 C. 8

B. 7 D.3

3

3
S

答案:B

(1 ? q3 ) S 6? 3 ? 1 ? q 3 ? 3 ? ? q 3 ? 2, 解析:设公比为 q,则 S S 3 3 3 6 S 9 ? 1? q ? q ? 1? 2 ? 4 ? 7 . 于是 S 1? 2 3 1 ? q3 6
4.等比数列{ an }的公比 q>0,已知 a2 ? 1? an ? 2 ? ? an ?1? ? 6an ? 则{ an }的前 4 项和

S4 ?

.

答案: 15

2

解析:由 an ? 2 ? an ?1 ? 6an 得 ? q n ?1 ? q n ? 6q n ?1 ? 即? q 2 ? ?q-6=0,q>0,解得,q=2. 又 a2 ? 1?

1 (1 ? 24 ) 1?S ? 2 所以 a1 ? ? 15 . 2 4 1? 2 2
5.三个数成等差数列,其比为 3∶4∶5,如果最小数加上 1,则三数成等比数列,那么原三数分 别为 . 答案:15,20,25 解析:设原三数为 3t ? 4t ? 5t (t ? 0)? 则 (3t ? 1)5t ? 16t 2 ? 解得 t=5, ∴3t=15,4t=20,5t=25. ∴原三数为 15,20,25. 题组二 等比数列的判断
n ?1 6.已知等比数列{ an }的通项公式 an ? 3 ? ( 1 ) 且? bn ? ? a3n ? 2 ? a3n ?1 ? a3n ? 求证:{ bn }成等

2

比数列.
n ?1 证明:∵ an ? 3 ? ( 1 ) ?

2

∴ bn ? a3n ? 2 ? a3n ?1 ? a3n

? 3( 1 )3n ?3 ? 3( 1 )3n ? 2 ? 3( 1 )3n?1 2 2 2 ? 3( 1 )3n?3 (1 ? 1 ? 1 ) 2 2 4 ? 21 ( 1 )3n?3 . 4 2
∴ n ? 1 ? ( 1 )3 .

b

b n

2

∴{ bn }成等比数列. 7.设 S n 为数列{ an }的前 n 项和 ? S n ? kn 2 ? n? n ? N ? ? 其中 k 是常数. (1)求 a1 及 an ; (2)若对于任意的 m ? N ? ? am ? a2 m ? a4 m 成等比数列,求 k 的值. 解:(1)当 n=1 时 ? a1 ? S1 ? k ? 1?

当 n ? 2 时 ? an ? S n ? S n ?1 ? kn 2 ? n ? [k (n ? ? 1) 2 ? ?(n-1)]=2kn-k+1. (*) 经验证,当 n=1 时,(*)式成立, ∴ an ? 2kn ? k ? 1 . (2)∵ am ? a2 m ? a4 m 成等比数列,
2 ∴ a2 m ? am ? a4 m ?

即 (4km ? k ? 1) 2 ? (2km ? k ? 1)( 8km-k+1),整理得 mk(k-1)=0, 对任意的 m ? N ? 成立. ∴k=0 或 k=1. 题组三 等比数列的性质运用 8.已知等比数列{ an }满足 an ? 0? n ? 1? 2,…,且 a5 ? a2 n ?5 ? 22 n (n ? 3)? 则当 n ? 1 时,log 2 a1 ? log 2 a3 ? …+log 2 a2 n ?1 等于( A.n(2n-1) C. n 2 答案:C
2 解析:由 a5 ? a2 n ?5 ? 22 n (n ? 3) 得 an ? 22 n ? an ? 0?

) B. (n ? 1) 2 D. (n ? 1) 2

则 an ? 2n ? log 2 a1 ? log 2 a3 ? …+log 2 a2 n ?1 ? 1 ? 3+…+ (2n ? 1) ? n 2 ? 选 C. 9.已知等比数列{ an }中 a2 ? a3 ? a4 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项,且 a1 ? 1 公比

q ? 1 .则 an 等于?(
A. 21? n C. 2n?1 答案:A

) B. 22? n D. 2n? 2

解析:设公差为 d,则 a2 ? a4 ? 3d ? a3 ? a4 ? d . ∴? (a4 ? d ) ? 2 ? (a4 ? 3d )a4 (d ? 0)? 解得 a4 ? d ?

∴ a2 ? 4d ? a3 ? 2d . ∴q ? 1 . 2 ∴ an ? 21? n . 故选 A. 10.已知各项均为正数的等比数列{ an } ? a1a2 a3 ? 5? a7 a8 a9 ? 10? 则 a4 a5 a6 等于( A. 5 2 C.6 答案:A
3 3 解析:方法一:由等比数列的性质知 a1a2 a3 ? (a1a3 ) ? a2 ? a2 ? 5? a7 a8 a9 ? (a7 a9 ) ? a8 ? a8 ? 10?

)

B.7 D. 4 2

所以 a2 a8 ? 50 3 .
3 所以 a4 a5 a6 ? (a4 a6 ) ? a5 ? a5 ? ( a2 a8 )3 ? (50 6 )3 ? 5 2 .
1

1

方法二: (a4 a5 a6 ) 2 ? a1a2 a3 a7 a8 a9 ? 所以 a4 a5 a6 ? 5 2 .
2 11.已知等比数列{ an }的公比为正数,且 a3 ? a9 ? 2a5 ? a2 ? 1? 则 a1 等于(

)

A. 1

2

B. 2

2

C. 2 答案:B
2 2 2 解析: a3 ? a9 ? a6 ? 2a5 ? ∴ (a5 q ) 2 ? 2a5 .

D.2

∴ q2 ? 2 . 又 q>0,∴ q ? 2 . ∴ a1 ? 2 ?

a

2

2. 2

12.设等比数列{ an }的公比 q ? 1 ? 前 n 项和为 S n ? 则 4 ?

S

2

a 4

.

答案:15

a (1 ? q 4 ) 解析:对于 S 4 ? 1 ? a4 ? a1q 3 ? 1? q S 1 ? q4 ∴ 4 ? a 4 ? 15 .

q3 (1 ? q)


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