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江西师大附中高一年级数学期中试卷


江西师大附中高一年级数学期中试卷
命题人:蔡卫强 审题人:郑永盛 2012.11

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求.

4,8} 1. 若集合 A ? {1 2,4} , ? {2, 7,,C ? {0,1,3, 4,5} , 则集合 ( A ? B) ? C 等于 B ) ( ,3, B
A. {2, 4}
2

B. {1,3, 4}
0.3

C. {2, 4,7,8}

D. {0,1,2,3,4,5}

2. 0.3 , log 2 0.3,2 这三个数的大小顺序是( C ) (A) 0.3 ? 2
2 0.3

? log 2 0.3
2 0.3

(B) 0.3 ? log 2 0.3 ? 2
2

0.3

(C) log 2 0.3 ? 0.3 ? 2 3. 已知函数 f ( x) ? ?

(D) log 2 0.3 ? 2

0.3

? 0.32

? 2 x ( x ? 0) ?log 3 x( x ? 0),

那么 f ? f ? ?? 的值为( A ) (D) ?
-b

? ? 1 ?? ? ? 9 ??

(A)

1 4

(B) 4


(C)-4

1 4
)

4. 若 a>1,b>0,且 ab+a b=2 2,则 ab-a A. 6 B.2 或-2

的值等于( D

C.-2

D.2

5. 已知不等式 x2+px+q<0 的解集为{x| 1<x<3},则不等式 (A)(1, 3) (C)(-1, 1)∪(3, 6) 6. 函数 y ?

x 2 ? px ? q >0 的解集为( B ) x2 ? 5x ? 6

(B)(-∞, -1)∪(1, 3)∪(6, +∞) (D)(-∞, -1)∪(6, +∞) ( A )

?1 ? 1 的图象是下列图象中的 x ?1

7. 已知函数 y ? f (x) 是 R 上的偶函数,且在 [0,??) 上是减函数,若 f (lg x) ? f (1) ,则实 数 x 的取值范围是( C ) (A)(

1 ,1) 10

(B)(0,

1 ) ? (1,??) 10

(C)(

1 ,10 ) 10

(D)(0,1) ? (10,??)

8. 已知函数 f ( x) ? log x ,且函数 y ? g ( x) 的图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 2

y ? x 对称,则函数 g ( x 2 ) 是( B )
(A)奇函数且在 (0, ?) 上是减函数 ? (C)奇函数且在 (??, 上是减函数 0) 9. 设 a、b、c ? R ? 且 3a ? 4b ? 6c . 那么 A. (B)偶函数且在 (0, ?) 上是增函数 ? (D)偶函数且在 (??, 上是增函数 0) ( A ) C.

2 2 1 ? ? c a b

B.

1 2 2 ? ? c a b

1 1 1 ? ? c a b

D.

2 1 2 ? ? c a b

x 10. 设函数 f ? x ? 定义在实数集上,当 x ? 1时,f ( x) ? 3 ? 1 ,且 f ( x ? 1) 是偶函数,

则有( D ) A. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) C. f ( ) ? f ( ) ? f ( )

1 3

3 2

2 3

B. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) D. f ( ) ? f ( ) ? f ( )

3 2

2 3

1 3

2 3

1 3

3 2

2 3

3 2

1 3

二、填空题: 本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. 11. 已知幂函数 y ? f (x) 的图象过点 ( ,8) ,则 f (?2) ? ... 12. 函数 y ?

1 2

. ?

1 8

log 1 ( x 2 ? 1) 的定义域是
2
2

. [? 2, ? 1) ? (1, 2]

13. 若二次函数 f ( x) ? (m ? 1) x ? 2mx ? 3 是定义在 ?2a ,3 ? a ] [ 上的偶函数, f (x) 则 的值域为 . ? ?1,3? (1,2)

14. 已知函数 y ? log a (2 ? ax) 在[ ?1 ,1]上是增函数,则 a 的取值范围是 15. 给出下列四种说法:

①函数 y ? a (a ? 0,且a ? 1) 与函数 y ? log a a (a ? 0,且a ? 1) 的定义域相同;
x
x

②函数 y ? x 与 y ? 3 的值域相同;
3 x

③函数 y ?

(1 ? 2 x ) 2 1 1 与y? 均是奇函数; ? x x?2 x 2 2 ?1
2

④函数 y ? ( x ? 1) 与 y ? 2 x ? 1 在 (0, ?) 上都是增函数. ? 其中正确说法的序号是 .①③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 求值:⑴ 0.027
? 2 3

2 lg20+lg22 ? 10240.3 ? (ln ? )0 ? ( 3)? 4 ⑵ lg25+ lg8+lg5· 3
? 2 3

解:(1)原式 ? (0.33 )

? (210 )0.3 ? 1 ? (32 )?4

1

3 ? ( )?2 ? 23 ? 1 ? 3?2 10
? 100 1 ? 8 ? 1 ? ? 20 9 9
2 3

…..6 分

解:(2)原式 ? lg 25 ? lg8 ? (1 ? lg 2)(1 ? lg 2) ? lg 2 2

? lg 25 ? lg 4 ? 1 ? lg 2 2 ? lg 2 2

? lg100 ? 1 ? 3
17.(本题满分 12 分)

…..12 分

已知函数 f ( x) 的图象向左平移 3 个单位后,再关于 y 轴对称可得到函数 g ( x) ? x2 ? 2 x 的图 象. (1)求 f ( x) 的表达式; (2)画出 g (| x |) 的草图(不要过程),并写出函数 g (| x |) 的单调递减区间 解:(1) g ( x) 关于 y 轴对称的函数 F ( x) ? x2 ? 2(? x) ? x 2 ? 2 x ……3 分

F ( x) 向右平移 3 个单位所得到的函数即为 f ( x)
∴ f ( x) ? ( x ? 3)2 ? 2( x ? 3) ? x 2 ? 4 x ? 3 ……6 分 (2) g (| x |) 的草图如图所示. ……9 分

(??, ?1),(0,1)单调递减??12分
18.(本题满分 12 分) 已知 f (e ) ? x ? 2 x ? 3, x ? [2,3]
x 2

⑴ 求 f (x) 的解析式和定义域; ⑵ 求 f (x) 的最大值和最小值。 解: ⑴因为 f (e ) ? x ? 2 x ? 3, x ? [2,3] ,设 t ? e ,可得 x ? ln t ……2 分
x 2

x

代入得 f (t ) ? (ln t ) ? 2 ln t ? 3 ,所以 f ( x) ? (ln x) ? 2 ln x ? 3 ……4 分
2 2

又因为 x ? [2,3] ,所以 t ? e ? [e , e ] ,所以 f (x) 的定义域为 [e , e ] ……6 分
x 2 3 2 3

⑵由⑴可知在区间 [e , e ] 上 ln x ? [2,3] ……8 分
2 3

由 f ( x) ? (ln x) ? 2 ln x ? 3 ? (ln x ? 1) ? 2 ,可知 f (x) 在区间 [e , e ] 为增函数,
2 2 2 3

所以当 x ? e 时, f (x) 有最小值 3, x ? e 时, f (x) 有最大值 6……12 分
2 3

19.(本题满分 12 分)

1 已知定义在正实数集 R ? 上的减函数 f ( x) 满足① f ( ) ? 1 ,②对任意正实数 x, y 都有 2
f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) .
(1)若 f ( x) ? ?2 ,求 x 的值; (2)求不等式 f (2 x) ? f (5 ? 2 x) ≥ ?2 的解集.

1 1 解:(1) f (1) ? f (2 ? ) ? f (2) ? f ( ) ? 0 2 2 1 又∵ f ( ) ? 1 , ∴ f (2) ? ?1 2
……(2 分,)

1 1 1 f (2) ? f (4 ? ) ? f (4) ? f ( ) ? ?1,∴ f (4) ? ? f ( ) ? 1 ? ?2 .……(4 分,) 2 2 2
∵ f ( x) 在 R ? 上是单调递减函数,∴ f ( x) ? ?2 时, x ? 4 (2) f (2 x) ? f (5 ? 2 x) ≥ ?2 ,即 f [2 x ? (5 ? 2 x)] ≥ f (4) ……(5 分,) ……(6 分,)

? 2x ? 0 ? 又∵ f ( x) 是 R 的减函数,∴ ? 5 ? 2 x ? 0 ? 2 x(5 ? 2 x) ≤ 4 ?
?

……(9 分,)

1 5 ∴原不等式的解集为 {x | 0 ? x ≤ 或2 ≤ x ? } 2 2
20.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

…(12 分)

3x ? 2 ? x . 3x ? 2 ? x

(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)判断 f ( x) 的单调性,并加以证明; (3)写出 f ( x) 的值域. 解:(1) f ( x) ?

3x ? 2 ? x 2 x ? 3 x ? 1 6 x ? 1 ? ? 3x ? 2 ? x 2 x ? 3 x ? 1 6 x ? 1
(3 分)

所以 f (? x) ?

6? x ? 1 1 ? 6 x ? ? ? f ( x), x ? R ,则 f ( x) 是奇函数. 6? x ? 1 1 ? 6 x

(2) f ( x) ?

6 x ? 1 (6 x ? 1) ? 2 2 在 R 上是增函数, ? ? 1? x x x 6 ?1 6 ?1 6 ?1
x x

(5 分)

证明如下:任意取 x1 , x2 ,使得: x1 ? x2 ? 6 1 ? 6 2 ? 0

2 2 2(6 x1 ? 6 x2 ) 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x ? ? ?0 6 2 ? 1 6 x1 ? 1 (6 x1 ? 1)(6 x2 ? 1)
所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 在 R 上是增函数. (3)? 0 ? (9 分) (13 分)

2 2 ? 2 ? f ( x) ? 1 ? x ? (?1,1) ,则 f ( x) 的值域为 (?1,1) 6 ?1 6 ?1
x

21. (本题满分 14 分)
x ?x 设函数 f ? x ? ? a ? ? k ? 1? a ? a ? 0且a ? 1? 是定义域为 R 的奇函数.

(1)求 k 值; (2)若 f ?1? ? 0 ,试判断函数单调性并求使不等式 f x ? tx ? f ? 4 ? x ? ? 0 恒成立的的
2

?

?

取值范围; (3)若 f ?1? ?

3 2x ?2 x , g ? x ? ? a ? a ? 2mf ? x ? 且 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 ?2 ,求 2

m 的值.
解:(1)∵f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴f(0)=0,…… 1 分 ∴1-(k-1)=0,∴k=2,…… 2 分 (2) f ( x) ? a ? a
x ?x

(a ? 0且a ? 1),

? f (1) ? 0,? a ?

1 ? 0, 又a ? 0, 且a ? 1,? 0 ? a ? 1 ……3 分 a

? a x 单调递减, a ? x 单调递增,故 f(x)在 R 上单调递减。……4 分
不等式化为 f x ? tx ? f ? x ? 4 ? ,
2

?

?

? x 2 ? tx ? x ? 4,即x 2 ? t ? 1) x ? 4 ? 0恒成立 ……6 分 (
?? = ? t ? 1? ? 16 ? 0 ,解得 ?3 ? t ? 5
2

……8 分

(3) ? f (1) ?

3 1 3 1 ,? a ? ? , 即2a 2 ? 3a ? 2 ? 0, ? a ? 2或a ? ? (舍去) ……9 分 2 a 2 2
2

? g ? x ? ? 22 x ? 2?2 x ? 2m ? 2 x ? 2? x ? ? ? 2 x ? 2 ? x ? ? 2m ? 2 x ? 2 ? x ? ? 2

令t ? f ? x ? ? 2 x ? 2? x ,由(1)可知 f ? x ? ? 2 x ? 2? x 为增函数

3 ? x ? 1,? t ? f ?1? ? , 2
令 h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 3 (t≥ )………10 分 2

3 若 m≥ ,当 t=m 时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2………… 12 分 2 3 3 17 25 3 若 m< ,当 t= 时,h(t)min= -3m=-2,解得 m= > ,舍去 2 2 4 12 2 综上可知 m=2.…………14 分


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