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2014届高考数学(理)一轮复习知识点逐个击破专题讲座:函数的单调性与最值(定义域、值域)(人教A版)


2014 届数学一轮知识点讲座:函数的单调性与最值(定义域、 值域)
一、考纲目标 掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法) ;掌握二次函数值域(最值) 或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法;了解函数单调性的概念,掌握判断一 些简单函数的单调性的方法;会用函数单调性解决一些问题. 二、知识梳理 1.求函数定义域一般有三类问题: (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意 义; (3)已知 f ( x) 的定义域求 f [ g ( x)] 的定义域或已知 f [ g ( x)] 的定义域求 f ( x) 的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ②若已知 f ( x) 的定义域 ? a, b ? ,其复合函数 f ? g ( x) ? 的定义域应由 a ? g ( x ) ? b 解出 2.求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类:(1)求 常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算” 而得函数的值域 ①直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域为{x|x0},值域为{y|y0}; x

二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }; 4a 2 当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) } 4a

②配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的形式;
③分式转化法(或改为“分离常数法” )

④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: y ? x ?

k (k ? 0) ,利用平均值不等式公式来求值域; x

⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域 ⑨逆求法(反求法) :通过反解,用来表示,再由的取值范围,通过解不等式,得出的取值 范围;常用来解,型如: y ?

ax ? b , x ? (m, n) cx ? d

3.证明函数单调性的一般方法: ①定义法:设 x1 , x 2 ? A且x1 ? x 2 ;作差 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) (一般结果要分解为若干个因式 的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出) ;判断正负号 ②用导数证明: 若 f ( x) 在某个区间 A 内有导数,则 f ( x) ? 0, (x ? A)


? f ( x) 在 A 内为增函数; f ’ ( x) ? 0,(x ? A) ? f ( x) 在 A 内为减函数.
4.求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法. 5.复合函数 y ? f ?g ( x)? 在公共定义域上的单调性: ①若 f 与 g 的单调性相同,则 f ?g ( x)? 为增函数; ②若 f 与 g 的单调性相反,则 f ?g ( x)? 为减函数. 注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集. 6.一些有用的结论: ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数.

④ 函 数 y ? ax ?

? ? b b? ? b 上 单 调 递 增 ; 在 (a ? 0, b ? 0) 在 ? ?? , ? 或 , ?? ? ? ? ? ? x a? ? a ? ?

? b ? ? b? 或? 0, ? 上是单调递减. ?? , 0 ? ? ? a? ? a ? ?
三、考点逐个突破 1.求函数的定义域 例 1 函数 y ? A. (?4, ? 1) 答案:C 【解析】由 ?

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为

B. (?4, 1)

C. (?1, 1)

D. (?1,1]

?x ?1 ? 0
2

? x ? ?1 ?? ? ?1 ? x ? 1 .故选 C ?? x ? 3 x ? 4 ? 0 ??4 ? x ? 1
1? x 的定义域为,函数 y ? f ? ? f ? x ?? ? 的定义域为,则 1? x
(C ) A ? B ( D) A B ? B

例 2 已知函数 f ( x) ?

( A) A B ? B

( B) A ? B

解: A ? ? x | x ? 1? , y ? f [ f ( x)] ? f ( 令 ?1 ?

1? x 2 1 ) ? f (?1 ? )?? , 1? x 1? x x

2 ? 1 且 x ? 1 ,故 B ? ? x | x ? 1? 1? x
B ? B ,故选取

? x | x ? 0?

∴B? A? A

2. 求简单函数的值域(值域在新课标高考中已经简化,不宜过深) 例 3 求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1x1) ③y? ② f ( x) ? 2 ? 4 ? x ④y ? x?

x x ?1

1 x

解:①∵-1x1,∴-33x3, ∴-13x+25,即-1y5,∴值域是[-1,5] ②∵ 4 ? x ? [0,??) ∴ f ( x) ? [2,??)

即函数 f ( x) ? 2 ? 4 ? x 的值域是 { y| y2} ③y?

x x ?1?1 1 ? ? 1? x ?1 x ?1 x ?1



1 ?0 x ?1

∴ y ?1

即函数的值域是 { y| y?R 且 y?1}(此法亦称分离常数法) ④当 x>0,∴ y ? x ?

1 2 1 =( x ? ) ? 2 ? 2, x x 1 2 1 ) ? 2 ? ?2 ) =- ( ? x ? ?x ?x

当 x<0 时, y ? ?(? x ?

y 2

f?x? = x+

1 x

-1 o 1 -2

x

∴值域是 (??,?2] ? [2,+)(此法也称为配方法) 函数 y ? x ?

1 的图像为: x

∴值域是 (??,?2] ? [2,+) 3.求函数的最值 例 4.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距米,余下工程只需要建两端桥墩之间 的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为米的相邻两墩之间的桥面 工程费用为 (2 ?

x ) x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,

记余下工程的费用为万元. (Ⅰ)试写出关于的函数关系式; (Ⅱ)当=640 米时,需新建多少个桥墩才能使最小? 解 (Ⅰ)设需要新建个桥墩, (n ? 1) x ? m,即n= 所以

m ?1 x m m y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( -1)+ (2 ? x ) x x x

?

256 x ? m x ? 2m ? 256. x
256m x
2

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, f '( x) ? ?

3 1 3 m ? mx 2 ? 2 ( x 2 ? 512). 2 2x

令 f '( x) ? 0 ,得 x 2 ? 512 ,所以=64 当 0<<64 时 f '( x) <0,

3

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x) 在=64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使最小. 4.求函数的单调区间 例 5.已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3a )e ( x ? R ), 其中 a ? R
2 2 x

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64

(1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (2)当 a ?

2 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值. 3

本小题主要考查导数的几何意义、 导数的运算、 利用导数研究函数的单调性与极值等基础知 识,考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分. (I)解: 当a ? 0时,f ( x) ? x e ,f ' ( x) ? ( x ? 2 x)e ,故f ' (1) ? 3e.
2 x 2 x

所以曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为3e.
(II) 解:f ' ( x) ? x ? (a ? 2) x ? 2a ? 4a e .
2 2 x

?

?

令f ' ( x) ? 0,解得x ? ?2a,或x ? a ? 2.由a ?
以下分两种情况讨论. (1) 若a >

2 知, ? 2a ? a ? 2. 3

2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3

?? ?, ? 2a ?
+ ↗

? 2a
0 极大值

?? 2a,a ? 2?
— ↘

a?2
0 极小值
]

?a ? 2, ? ??
+ ↗

所以f ( x)在(??, ? 2a), (a ? 2, ? ?)内是增函数,在(?2a,a ? 2)内是减函数.
函数f ( x)在x ? ?2a处取得极大值f (?2a ),且f (?2a ) ? 3ae ?2 a . 函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极小值f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a )e a ? 2 .
(2) 若a <

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3

?? ?,a ? 2?
+ ↗

a?2
0 极大值

?a ? 2, ? 2a ?
— ↘

? 2a
0 极小值

?? 2a, ? ??
+ ↗

所以f ( x)在(??,a ? 2), (?2a, ? ?)内是增函数,在(a ? 2, ? 2a)内是减函数。
函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极大值f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a )e a ? 2 . 函数f ( x)在x ? ?2a处取得极小值f (?2a ),且f (?2a ) ? 3ae ?2 a . 例 5 已知函数 f ( x) 的
定义域是 x ? 0 的一切实数,对定义域内的任意 x1 , x2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且当

x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 ,
5.利用函数的单调性求参数的值或范围 例 6.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? bx, 且 f '(?1) ? 0 3

(I)试用含的代数式表示 b ; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; ( Ⅲ ) 令 a ? ?1 , 设 函 数 f ( x) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处 取 得 极 值 , 记 点

M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) ,证明:线段 MN 与曲线 f ( x) 存在异于 M 、 N 的公共点;
解法一: (I)依题意,得 f '( x) ? x ? 2ax ? b
2

由 f '(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 得 b ? 2a ? 1 (Ⅱ)由(I)得 f ( x) ?
2

1 3 x ? ax 2 ? (2a ? 1) x ( 3

故 f '( x) ? x ? 2ax ? 2a ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 2a ? 1) 令 f '*( x) ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a ①当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 当变化时, f '( x) 与 f ( x) 的变化情况如下表:

(??,1 ? 2a)

(?2a, ?1)

(?1 ? ?)

f '( x)
f ( x)

+ 单调递增

— 单调递减

+ 单调递增

由此得,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ②由 a ? 1 时,1 ? 2a ? ?1 ,此时, f '( x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f '( x) ? 0 ,故函数

f ( x) 的单调区间为 R
③当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 ,同理可得函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) , 单调减区间为 (?1,1 ? 2a) 综上: 当 a ? 1 时, 函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) , 单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ; 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a) (Ⅲ)当 a ? ?1 时,得 f ( x) ?
3

1 3 x ? x 2 ? 3x 3

由 f '( x) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 由(Ⅱ)得 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) 所以函数 f ( x) 在 x1 ? ?1.x2 ? 3 处取得极值. 故 M (?1, ).N (3, ?9) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

5 3

8 x ?1 3

1 ? y ? x 2 ? x 2 ? 3x ? ? 3 由? 得 x3 ? 3x 2 ? x ? 3 ? 0 8 ? y ? ? x ?1 ? 3 ?
令 F ( x) ? x ? 3x ? x ? 3
3 2

易得 F (0) ? 3 ? 0, F (2) ? ?3 ? 0 ,而 F ( x) 的图像在 (0, 2) 内是一条连续不断的曲线, 故 F ( x) 在 (0, 2) 内存在零点 x0 ,这表明线段 MN 与曲线 f ( x) 有异于 M , N 的公共点

解法二: (I)同解法一 (Ⅱ)同解法一. ( Ⅲ ) 当 a ? ?1 时 , 得 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x , 由 f '( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 得 3x

x1 ? ?1, x2 ? 3
由 (Ⅱ) 得 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) , 单调减区间为 (?1,3) , 所以函数 f ( x) 在 x1 ? ?1, x2 ? 3 处取得极值, 故 M (?1, ), N (3, ?9) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

5 3

8 x ?1 3

1 ? y ? x3 ? x 2 ? 3x ? ? 3 由? 得 x3 ? 3x 2 ? x ? 3 ? 0 ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
解得 x1 ? ?1, x2 ? 1.x3 ? 3

? x1 ? ?1 ? x2 ? 1 ? x3 ? 3 ? ? ?? 5 ? 11 ? y1 ? , ? y2 ? ? , ? y3 ? ?9 ? 3 ? 3 ?
所以线段 MN 与曲线 f ( x) 有异于 M , N 的公共点 (1, ?

11 ) 3

一、选择题 1.(2011· 高考课标全国卷)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是 ( ) A.y=x3 B.y=|x|+1 - C.y=-x2+1 D.y=2 |x| 3 解析:选 B.∵y=x 在定义域 R 上是奇函数,∴A 不对.y=-x2+1 在定义域 R 上是偶 1?|x| - 函数, 但在(0,+∞)上是减函数, 故 C 不对. D 中 y=2 |x|=? 但在(0,+∞) ?2? 虽是偶函数, 上是减函数,只有 B 对. 2.函数 y= 16-4x的值域是( ) A.[0,+∞) B.[0,4]

C.[0,4) D.(0,4) 解析:选 C.要使函数有意义, 则 16-4x≥0. 又因为 4x>0, ∴0≤16-4x<16, 即函数 y= 16-4x的值域为[0,4). 3. (2011· 高考辽宁卷)函数 f(x)的定义域为 R, f(-1)=2, 对任意 x∈R, f′(x)>2, 则 f(x)>2x +4 的解集为( ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 解析: 选 B.设 g(x)=f(x)-2x-4, 则 g(-1)=f(-1)-2× (-1)-4=0, g′(x)=f′(x)-2>0, g(x)在 R 上为增函数. 由 g(x)>0,即 g(x)>g(-1). ∴x>-1,选 B. 1 1 + 4.给定函数①y=x ,②y=log (x+1),③y=|x-1|,④y=2x 1,其中在区间(0,1)上单 2 2 调递减的函数的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 1 1 解析:选 B.①函数 y=x 在(0,+∞)上为增函数,②y=log (x+1)在(-1,+∞)上为减 2 2 + 函数,故在(0,1)上也为减函数,③y=|x-1|在(0,1)上为减函数,④y=2x 1 在(-∞,+∞)上为 增函数,故选 B. 5.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f(|x|)<f(1)的实数 x 的取值范围是( ) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:选 D.∵f(x)为 R 上的减函数,且 f(|x|)<f(1), ∴|x|>1,∴x<-1 或 x>1. 二、填空题 6.函数 y= x-x(x≥0)的值域为________. 1 1 解析:y= x-x=-( x)2+ x=-( x- )2+ , 2 4 1 1 ∴ymax= .故值域为(-∞, ]. 4 4 1 ? 答案:? ?-∞,4? 7.(2012· 高考安徽卷)若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a=________. a -2x-a,x<- 2 a - ,+∞?,故 解析:由 f(x)= ,可得函数 f(x)的单调递增区间为? ? 2 ? a 2x+a,x≥- 2 a 3=- ,解得 a=-6. 2 答案:-6 8.若 f(x)为 R 上的增函数,则满足 f(2-m)<f(m2)的实数 m 的取值范围是________. 解析:∵f(x)在 R 上为增函数, ∴2-m<m2, ∴m2+m-2>0, ∴m>1 或 m<-2. 答案:(-∞,-2)∪(1,+∞) 三、解答题

? ? ?

x+a 9.讨论函数 f(x)= (a>b>0)的单调性. x+b 解:定义域为(-∞,-b)∪(-b,+∞). 在定义域内任取 x1<x2, x1+a x2+a ∴f(x1)-f(x2)= - x1+b x2+b x1+ax2+b-x1+bx2+a = x1+bx2+b b-ax1-x2 = . x1+bx2+b ∵a>b>0,∴b-a<0, x1-x2<0,只有当 x1<x2<-b 或-b<x1<x2 时, 函数才单调. 当 x1<x2<-b 或-b<x1<x2 时,f(x1)-f(x2)>0. ∴f(x)在(-b,+∞)上是减函数,在(-∞,-b)上是减函数. 10.已知函数 f(x)=x2+2x+a,x∈[1,+∞). 1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 1 1 解:(1)当 a= 时,f(x)=x2+2x+ , 2 2 其图象是开口向上的抛物线,对称轴为 x=-1, 又∵x∈[1,+∞), 7 ∴f(x)的最小值是 f(1)= . 2 (2)由(1)知 f(x)在[1,+∞)上的最小值是 f(1)=a+3. ∵f(x)>0 在[1,+∞)上恒成立, 故只需 a+3>0 即可,解得 a>-3. ∴实数 a 的取值范围是 a>-3.

一、选择题 1.(2011· 高考重庆卷)下列区间中,函数 f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是( ) 4 ? A.(-∞,1] B.? ?-1,3? 3? C.? D.[1,2) ?0,2? 解析:选 D.法一:当 2-x≥1,即 x≤1 时,f(x)=|ln(2-x)|=ln(2-x),此时函数 f(x)在(- ∞,1]上单调递减.当 0<2-x≤1,即 1≤x<2 时,f(x)=|ln(2-x)|=-ln(2-x),此时函数 f(x) 在[1,2)上单调递增,故选 D. 法二:f(x)=|ln(2-x)|的图象如图所示.

由图象可得,函数 f(x)在区间[1,2)上为增函数,故选 D. axx ? ? 2.若 f(x)=?? a? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( 4- x+ x< ? ?? 2? A.(1,+∞) B.[4,8)

)

C.(4,8) D.(1,8) 解析:选 B.函数 f(x)在(-∞,1)和[1,+∞)上都为增函数,且 f(x)在(-∞,1)上的最高

? ?4-a>0 点不高于其在[1,+∞)上的最低点,即? 2 a ? ?a≥4-2+2

a>1

,解得 a∈[4,8),故选 B.

二、填空题 3.(2013· 日照质检)函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是________. 3 25 x- ?2+ 的递减区间为 解析:函数 f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-? 2 ? ? 4

?3,4?. ?2 ?
3 ? ∵e>1,∴函数 f(x)的单调递减区间为? ?2,4?. 3 ? 答案:? ?2,4? 4 .若函数 f(x) = |logax|(0<a<1) 在区间 (a,3a- 1) 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ________. 1 2 解析: 由于 f(x)=|logax|在(0,1]上递减, 在(1, +∞)上递增, 所以 0<a<3a-1≤1, 解得 <a≤ , 2 3 此即为 a 的取值范围. 1 2? 答案:? ?2,3? 三、解答题 5.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1) 2 =- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解:(1)证明:法一:∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0, 而 x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. 法二:设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为减函数. (2)∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2.


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