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第一章 1.1 1.1.3 第2课时 补 集.ppt


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第 2 课时





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1.理解补集的含义.

重点:补集的概念及其求法.

2.会求给定子集的补集.

难点:交、并、补集的综合运算.

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01 课前 自主梳理

02 课堂 合作探究

03 课后 巩固提升

课时作业

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[自主梳理] 一、全集 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 所有元素 ,那么就称这个集合为 全集,通常记作 U .

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二、补集

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三、性质 A∪(?UA)=U,A∩(?UA)=?, ?U(?UA)=A,?UU=?,?U?=U, ?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB), ?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).

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[双基自测] 1.设全集 U={1,2,4,8},M={1,2},则?U M 等于( A.{4} C.{4,8} B.{8} D.? )

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答案:C 2.设全集 U=R,集合 A={x|x+1>0},则?UA 是(

)

A.{x|x<-1} C.{x|x>-1}

B.{x|x≤-1} D.{x|x≥-1}

答案:B 3.已知全集 U={0,1,2},且?UA={2},则 A=________. 答案:{0,1}

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探究一 [典例 1]

求补集的简单运算

已知全集 U={x|x 取不大于 30 的质数},A,B 是 U 的两个子集,

且 A∩(?UB)={5,13,23},(?UA)∩B={11,19,29},(?UA)∩(?UB)={3,7},求集 合 A、B.

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[解析]

因为 U={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}

如图表示出 A∩B, A∩(?UB), (?UA)∩B, (?UA)∩(?UB), 得?U(A∪B)={3,7}, A∩B ={2,17},所以 A={2,5,13,17,23},B={2,11,17,19,29}.

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将题设中的信息汇集到 Venn 图中,使抽象的集合运算建立在直观的形象思维基 础之上,能帮助我们深刻理解、记忆函数的概念、运算及其相互关系,为问题解 决创设有益情境.

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1.已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3},(?UB)∩A={9}, 则 A=( A.{1,3} C.{3,5,9} ) B.{3,7,9} D.{3,9}

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解析:做出表示集合 U,A,B 的 Venn 图:

可知:A=(A∩B)∪[(?UB)∩A]={3}∪{9}={3,9}.

答案:D

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[典例 2]

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已知集合 S={x|1<x≤7},A={x|2≤x<5},B={x|3≤x<7}.

求:(1)(?SA)∩(?SB);(2)?S(A∪B);(3)(?SA)∪(?SB);(4)?S(A∩B). [解析] 如图所示,可得

A∩B={x|3≤x<5},A∪B={x|2≤x<7}, ?SA={x|1<x<2,或 5≤x≤7}, ?SB={x|1<x<3}∪{7}. 由此可得:(1)(?SA)∩(?SB)={x|1<x<2}∪{7}. (2)?S(A∪B)={x|1<x<2}∪{7}; (3)(?SA)∪(?SB)={x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}={x|1<x<3,或 5≤x≤7}; (4)?S(A∩B)={x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}={x|1<x<3,或 5≤x≤7}.

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(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合补集的 定义来求解.在解答过程中常常借助于 Venn 图来求解.这样处理起来,相对来 说比较直观、形象且解答时不易出错. (2)如果所给集合是无限集,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴 上,然后再根据补集的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意边界 问题.

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2.设全集为 R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求?R(A∪B)及(?RA)∩B.
解析:把全集 R 和集合 A,B 在数轴上表示如图: 由图知,A∪B={x|2<x<10}, ∴?R(A∪B)={x|x≤2 或 x≥10}. ∵?RA={x|x<3 或 x≥7}, ∴(?RA)∩B={x|2<x<3 或 7≤x<10}.

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探究二 [典例 3] 和补集有关的参数问题

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已知全集 S={1,3,x3+3x2+2x},A={1,|2x-1|},如果?SA={0},则

这样的实数 x 是否存在?若存在,求出 x;若不存在,请说明理由.

[解析]

?SA={0},∴0∈S 且 0?A,于是有 x3+3x2+2x=0,x(x+1)(x+2)=0,

即 x1=0,x2=-1,x3=-2.当 x=0 时,|2x-1|=1 不合题意; 当 x=-1 时,|2x-1|=3,3∈S; 当 x=-2 时,|2x-1|=5,但 5?S.因此,实数 x 的值存在,x=-1.

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对于含有参数的交、并、补问题,依据题目条件求出参数值后,需将参数值代回 检验,舍去不符合题意的参数值.

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3.设全集 U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},且?UA={5},求实数 a 的值.
解析:?UA={5},∴5∈U 且 5?A.∴a2+2a-3=5,解得 a=2 或 a=-4. 当 a=2 时,|2a-1|=3≠5; a=-4 时,|2a-1|=9≠5,但 9?U, ∴a=-4(舍去),∴a=2.

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探究三 [典例 4] 集合交、并、补的综合运算

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已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<3},

若 A∪(?RB)=R,求实数 a 的取值范围.
[解析] ∵B={x|1<x<3},

∴?RB={x|x≤1 或 x≥3}, 因而要使 A∪(?RB)=R,结合数轴分析(如图),

可得 a≥3.

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(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系 时不要忘掉空集的情形. (2)不等式中的等号在补集中能否取到, 要引起重视, 还要注意补集是全集的子集.

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4.设全集 U=R,M={x|3a<x<2a+5},P={x|-2≤x≤1},若 M? ?UP,求实数 a 的取值范围.

解析:?UP={x|x<-2 或 x>1}, ∵M? ?UP, ∴分 M=?,M≠?两种情况讨论.

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(1)M≠?时,如图可得
? ?3a<2a+5,? ? ? ?2a+5≤-2 ? ?3a<2a+5,? 或? ? ?3a≥1.

7 1 ∴a≤- 或 ≤a<5. 2 3 (2)M=?时,应有 3a≥2a+5?a≥5. 1 7 综上可知,a≥ 或 a≤- . 3 2

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补集思想的应用 [典例] 已知集合 A={y|y>a2+1 或 y<a},B={y|2≤y≤4},若 A∩B≠?,求实

数 a 的取值范围. [解析] 因为 A={y|y>a2+1 或 y<a},B={y|2≤y≤4},所以不妨先求当 A∩B
=?时 a 的取值范围,如图所示.
? ?a≤2, 由题意可得? 2 ? ?a +1≥4,

解得 a≤- 3或 3≤a≤2. 即当 A∩B=?时,a 的取值范围为{a|a≤- 3或 3≤a≤2}, 故 A∩B≠?时,a 的取值范围为{a|- 3<a< 3或 a>2}.

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[点评]

对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难于从正

面入手的数学问题,在解题时,调整思路,从问题的反面入手,探求已知和未知 的关系,这时能化难为易,化隐为显,从而将问题解决.这就是“正难则反”的 解题策略,也是处理问题的间接化原则的体现.

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[随堂训练] 1.设 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩(?UB)=( A.{x|0≤x<1} C.{x|x<0} B.{x|0<x≤1} D.{x|x>1} )

解析:画出数轴,如图所示, ?UB={x|x≤1}, 则 A∩(?UB)={x|0<x≤1}.
答案:B

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2. 设 全 集 U = R , M = {x|x< - 2 , 或 x>2} , N = {x|1<x<3},则图中阴影部分所表示的集合是( A.{x|-2≤x<1} C.{x|1<x≤2} B.{x|-2≤x≤2} D.{x|x<2} )

解析:阴影部分所表示集合是 N∩(?UM), 又∵?UM={x|-2≤x≤2}, ∴N∩(?UM)={x|1<x≤2}.

答案:C

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3.设全集 U={a,b,c,d},集合 A={a,b},B={b,c,d},则(?UA)∪(?UB) =________.

解析:依题意得知,?UA={c,d},?UB={a},(?UA)∪(?UB)={a,c,d}.

答案:{a,c,d}

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