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【最新】2018-2019学年度高中数学北师大版数学必修四习题:课下能力提升(二十四)

课下能力提升(二十四) 化简、证明问题 一、选择题 cos α cos α 1.已知 tan α =2.则 + =( 1-cos α 1+cos α A.1 C. 1 2 B.2 D.±2 π cos x 1-cos x <x<π ,则 + 的值是( 2 |cos x| sin x B.-1 D.-2 2 4 2 2 2 ) 2.若 A.0 C.2 ) 3.若 sin θ +cos θ =1,则 sin θ -cos θ =( A.1 C. 2 B.±1 D.± 2 1 cos α =- 3,则 =( cos α sin α +1 ) 4.已知 tan α - A. 3 C. 2 B.- 3 D.- 2 ) 二、填空题 5.(1+tan θ )cos θ =________. 1-cos α 6. 若角 α 的终边落在直线 x+y=0 上, 则化简 + 的结果是________. 2 cos α 1-sin α 7.若 cos α +2sin α =- 5,则 tan α =________. 1-sin θ -cos θ 8.化简 =________. 4 4 1-sin θ -cos θ 三、解答题 9.若 sin α tan α <0,化简 1-sin α + 1+sin α 1+sin α . 1-sin α 6 6 2 2 sin α 2 10.证明: cos α sin α 2(cos α -sin α ) - = . 1+sin α 1+cos α 1+sin α +cos α 答案 cos α cos α 1.解析:选 C + 1-cos α 1+cos α cos α (1+cos α +1-cos α ) = (1-cos α )(1+cos α ) = 2cos α 2 1 = = . 2 2 sin α tan α 2 π ∵ <x<π , 2 2 2 2 2 2.解析:选 A cos x |sin x| ∴原式= + -cos x sin x sin x =-1+ =0. sin x 3.解析:选 B 4 2 由 sin θ +cos θ =1,得 cos θ =1-sin θ =cos θ . 2 2 2 4 4 2 2 ∴cos θ -cos θ =0,cos θ (cos θ -1)=0. ∴cos 2θ sin θ =0,sin θ cos θ =0, ∴(sin θ -cos θ ) 2 2 =1-2sin θ cos θ =1.故 sin θ -cos θ =±1. 4.解析:选 A = ∴ ∴ = ∵tan α - 1 sin α 1 = - cos α cos α cos α sin α -1 =- 3, cos α 1-sin α = 3, cos α cos α cos α (1-sin α ) = 2 sin α +1 1-sin α 1-sin α = 3. cos α 2 2 2 5.解析:原式=cos θ +tan θ cos θ =cos θ +sin θ =1. 答案:1 6.解析:由题意知,角 α 是第二或第四象限的角. 2 2 sin α |sin α | 则原式= + =0. |cos α | cos α 答案:0 7.解析:由已知可得(cos α +2sin α ) =5, 即 4sin α +4sin α cos α +cos α =5(sin α +cos α ), ∴tan α -4tan α +4=0, ∴tan α =2. 答案:2 1-[(sin θ ) +(cos θ ) ] 8.解析:原式= 2 2 2 2 1-[(sin θ ) +(cos θ ) ] = = 1-(sin θ +cos θ )(sin θ -sin θ cos θ +cos θ ) 2 2 2 2 2 1-[(sin θ +cos θ ) -2sin θ cos θ ] 1-[(sin θ +cos θ ) -3sin θ cos θ ] 2 2 2sin θ cos θ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 3sin θ cos θ 3 = = . 2 2 2sin θ cos θ 2 答案: 3 2 1-sin α + 1+sin α 1+sin α 1-sin α 2 9.解: = = = = (1-sin α ) + (1+sin α )(1-sin α ) (1-sin α ) + 2 1-sin α (1-sin α ) + 2 cos α 2 2 (1+sin α ) (1-sin α )(1+sin α ) 2 2 (1+sin α ) 2 1-sin α (1+sin α ) 2 cos α 2 |1-sin α | |1+sin α | + . |cos α | |cos α | ∵|sin α |≤1, ∴1-sin α ≥0,1+sin α ≥0. 又∵sin α tan α <0, ∴α 是第二、三象限角, 从而 cos α <0. 1-sin α 1+sin α 2 ∴原式= + =- . -cos α -cos α cos α cos α +cos α -sin α -sin α 10.证明:左边= (1+sin α )(1+cos α ) = (cos α -sin α )(1+sin α +cos α ) 1+sin α +cos α +sin α cos α 2 2 = = = 2(cos α -sin α )(1+sin α +cos α ) 2 2 1+sin α +cos α +2sin α +2cos α +2sin α cos α 2(cos α -sin α )(1+sin α +cos α ) 2 (1+sin α +cos α ) 2(cos α -sin α ) =右边

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