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高中数学分章节训练试题:39立体几何与空间向量1

高三数学章节训练题 39《立体几何与空间向量 1》

时量:60 分钟 满分:80 分 班级:

姓名:

计分:

个人目标:□优秀(70’~80’) □良好(60’~69’) □合格(50’~59’)

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分)

1、(2009 山东卷理)已知α ,β 表示两个不同的平面,m 为平面α 内的一条直线,则“? ? ? ”

是“ m ? ? ”的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 条件

D.既不充分也不必要

2、在△ABC 中, AB ? 2, BC ? 1.5, ?ABC ? 1200 ,若使绕直线 BC 旋转一周,则所形成的
几何体的体积是( )

A. 3 ? 2

B. 5 ? 2

C. 7 ? 2

D. 9 ? 2

3.(2009 全国卷Ⅱ文) 已 知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 = 2AB ,E 为 AA1 重点,

则异面直线 BE 与 CD1 所形成角的余弦值为(



A. 10 10

B. 1 5

C. 3 10

D. 3

10

5

4、某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的

投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的 投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为( )

A. 2 2

B. 2 3

C. 4

D. 2 5

5、某个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ).

A. 6 B. 3 3 C. 3 2 D. 3
6、一个水平放置的正方形的面积是 4, 按斜二测画法所得的直观图 是 一个四边形, 这个四边形的面积是( ).

A. 2 2 B. 4 2 C. 6 2 D. 12
二、填空题(本大题共 5 小题,每小 题 5 分,满分 25 分)

1、把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 翻折,则过 A,B,C,D 四点的球的

体 积为



2、关于直线与平面,有下列四个命题:

1)若 m ∥? , n ∥ ? ,且? ∥ ? ,则 m ∥ n ;

2)若 m ? ? , n ? ? 且? ? ? ,则 m ? n ;

3)若 m ? ? , n ∥ ? 且? ∥ ? ,则 m ? n ;

4)若 m ∥? , n ? ? 且? ? ? ,则 m ∥ n ;

其中不正确的命题为

3、已知某个几何体的三视图如下,

根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是

D

C

4、在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,P 在 AD 上运动,设 ?ABP ? ? ,将 ?ABP

沿 BP 折起,使得面 ABP 垂直于面 BPDC, AC 长最小时? 的值为



5、 如图,有一圆柱形的开 口容器(下表面密封),其轴截面是边长为 2

的正方形,P 是 BC 中点,现有一只蚂蚁位于外壁 A 处,内壁 P 处有一米

粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为



P

A

B

三、解答题:(本大题共 2 小题,满分 25 分)

1、(2009 广东东莞)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ? 1, ?BAC ? 900 ,且

异面直线 A1B 与 B1C1 所成的 角等于 600 ,设 AA1 ? a .(1)求 a 的值;(2)求平面 A1BC1

与平面 B1BC1 所成的锐二面角的大小.

A

C

B

1

1

1

A

C

B

2. 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 AP ? BP ? AB , PC ? AC . (Ⅰ)求证:PC ? AB ;(Ⅱ)求二面角 B ? AP ?C 的余弦值;(Ⅲ)求点 C 到平面 APB
的距离.
P

A

D

B

C

一、选择题 1、【答案】:B【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面α 内的

一条直线, m ? ? ,则? ? ? ,反过来则不一定.所以“? ? ? ”是“ m ? ? ”的必要不充

分条件.

2、【答案】.A

【解析】:V

? V大圆锥

? V小圆锥

?

1 ? r2 (1?1.5 ?1) 3

?

3? 2

3.【答案】:C【解析】:本题考查异面直线夹角求法,方法一:利用平移,CD’∥BA' ,

因此求△EBA'中∠A'BE 即可,易知 EB= 2 ,A'E=1,A'B= 5 ,故由余弦定理求 cos∠

A'BE= 3 10 ,或由向量法可求。 10
4、【答案】C【解析】:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的
高 宽 高 分 别 为 m, n, k , 由 题 意 得 m2 ? n2 ? k2 ? 7 ,

m2 ? k2 ? 6 ? n ?1 (a2 ?1) ? (b2 ?1) ? 6

1? k2 ? a , ? a2 ? b2 ? 8

1? m2 ? b , 所 以


∴(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? 8 ? 2ab ? 8 ? a2 ? b2 ? 16
? a ? b ? 4 当且仅当 a ? b ? 2 时取等
5、【答案】D 【解析】从三视图可以观察发现几何体是正三棱柱,底面边长
为 2cm,高为 1cm,所以体积为 3 ? 22 ?1 ? (3 cm3). 4
6、【答案】B 二、填空题 1、【解析】本题不告知 翻折的角度,意在提醒学生找不变量。不难发现正方形对角线交点 到四个顶点的距离相等,故交点即为球心,半径为 1。
【答案】 4 ? 3
2 、【答案】1),4); 【解析】 传统空间位置关系的判断依然是高考小题考查的重点,解决此 类问题,可多参考教室空间,或手中的笔与桌子这些具体模型。 3、【解析】 三视图是新增考点,根据三张图的关系,可知几何体是正方 体的一部分,是一个四棱锥。本题也可改编为求该几何体的外接球的表面

积,则必须补全为正方体,增加了难度。
【答案】 8000 cm3 3
4、【解析】本题是立体几何中的最值问题,建立数学模型,用函数解决是一种重要方法。
过 A 作 AH ? BP 于 H,连 CH,
∴ AH ? 面BCP . ∴ 在Rt?ABH中,AH ? 3sin?,BH ? 3cos? .

在 ?BHC中,CH2 ?(3cos?)2 ? 42 ? 2 ? 4 ? 3cos? ? cos(90? ? ?),

∴在 Rt?ACH中, AC 2 ? 25 ? 12sin 2? ,∴? ? 45? 时,AC 长最小;
【答案】? ? 45? 5、 【解析】此类求曲面上最短路程问题通常考虑侧面展开。侧面展开后得矩形 ABCD ,
其中 AB ? ? , AD ? 2 问题转化为在 CD 上找一点 Q, 使 AQ ? PQ 最短作 P 关于 CD 的对称

点 E ,连接 AE ,令 AE 与 CD 交于点 Q, 则得 AQ ? PQ 的最小值为 ? 2 ? 9

【答案】 ? 2 ? 9

三、填空题

解法一:(1)? BC // B1C1,
? ?A1BC 就是异面直线 A1B 与 B1C1 所成的角,
即 ?A1BC ? 60 0 ,……(2 分) 连接 A1C ,又 AB ? AC ,则 A1B ? A1C
? ?A1BC 为等边三角形,……………………………4 分
由 AB ? AC ? 1, ?BAC ? 900 ? BC ? 2 ,

? A1B ? 2 ? 1? a2 ? 2 ? a ? 1;………6 分

(2)取 A1B 的中点 E ,连接 B1E ,过 E 作 EF ? BC1 于 F ,连接 B1F ,

B1E ? A1B , A1C1 ? B1E ? B1E ? 平面 A1BC1

? B1E ? BC1

………………8 分

又 EF ? BC1 ,所以 BC1 ? 平面 B1EF ,即 B1F ? BC1 ,

所以 ?B1FE 就是平面 A1BC1 与平面 B1BC1 所成的锐二面角的平面角。…………10 分

在 ?B1EF 中, ?B1EF ? 90 0 , B1E ?

2 2



B1 F

?

1?

2 3

,

? sin ?B1FE

?

B1E B1F

?

3 2

? ?B1FE

? 60 0 ,…………………………13 分

因此平面 A1BC1 与平面 B1BC1 所成的锐二面角的大小为 600 。…………14 分

说明:取 B1C1 的中点 D ,连接 A1D ,…………同样给分(也给 10 分)

解法二:(1)建立如图坐标系,于是 B(1,0,0) ,B1(1,0,1) ,C1 (0,1,1) , A1(0,0, a)( a ? 0 )

??

??

?? ??

B1C1 ? (?1,1,0) , A1B ? (1,0,?a) ,? B1C1? A1B ? ?1…………3 分

z

A

C

B

1

1

1

由于异面直线 A1B 与 B1C1 所成的角 600 ,

??

??

所以 B1C1 与 A1B 的夹角为1200

??

??

即| B1C1 | ? | A1B | cos1200 ? ?1

? 2 ? 1? a2 (? 1) ? ?1 ? a ? 1………6 分 2

?

?

(2)设向量 n ? (x, y, z) 且 n ? 平面 A1BC1

? ??? ?

???

? ???

? ???

于是 n ? A1B 且 n ? A1C1 ,即 n? A1B ? 0 且 n? A1C1 ? 0 ,



??
A1 B

?

(1,0,?1)



??
A1C1

?

(0,1,0)

,所以

?x

? ?

y

? ?

z? 0

0

?
,不妨设 n

?

(1,0,1) ……8



?

?

同理得 m ? (1,1,0) ,使 m ? 平面 BB1C1 ,(10 分)

??

?? ? ?

设 m 与 n 的夹角为? ,所以依 m? n ?| m | ?| n | ?cos? ,

? 2 ? 2 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? ? ? 600 ,………………12 分 2

?

?

m ? 平面 BB1C1 , n ? 平面 A1BC1 ,

因此平面 A1BC1 与平面 B1BC1 所成的锐二面角的大小为 600 。…………14 分

说明:或者取

BC 的中点

M

,连接

AM

,于是

??
AM

?

(1 2

,

1 2

,0)

显然

??
AM

?

平面

BB1C1

2. 解法一:(Ⅰ)取 AB 中点 D ,连结 PD,CD . AP ? BP ,?PD ? AB. AC ? BC ,

?CD ? AB .

PD CD ? D ,?AB ? 平面 PCD. PC ? 平面 PCD,?PC ? AB .

(Ⅱ) AC ? BC , AP ? BP ,?△APC ≌△BPC .又 PC ? AC ,?PC ? BC .

又 ?ACB ? 90 ,即 AC ?BC ,且 AC PC C? ,?BC ?平面 PAC .取 AP 中点 E .连

结 BE,CE . AB ? BP ,?BE ? AP . EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影,?CE ? AP .

P

P

E

A

B

H

A

D

B

??BEC

是二

面角

B

?CAP

?C

的平

面角

.在

△BCE





?BCE

?

C
90 ,

BC

?

2



BE ? 3 AB ? 6



2

?sin ?BEC ? BC ? 6 . cos?BEC ? EC ? EB ? 2 ? 3

BE 3

EC EB 2 ? 6 3

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 AB ?平面 PCD ,?平面 APB ? 平面 PCD.过 C 作 CH ? PD ,垂足 为H.
平面 APB 平面 PCD ? PD ,?CH ? 平面 APB .?CH 的长即为点 C 到平面 APB 的
距离.
由(Ⅰ)知 PC ?AB ,又 PC ?AC ,且 AB AC ?A ,?PC ?平面 ABC . CD ? 平

面 ABC ,?PC ? CD .在 Rt△PCD 中, CD ? 1 AB ? 2 , PD ? 3 PB ? 6 ,

2

2

?PC ? PD2 ? CD2 ? 2 . CH ? PC ? CD ? 2 3 . ? 点 C 到 平面 APB 的距离为

PD

3

2 3. 3

解法二:(Ⅰ) AC ? BC , AP ? BP ,?△APC ≌△BPC .又 PC ? AC , ?PC ? BC . AC BC ? C ,?PC ?平面 ABC . AB ?平 面 ABC ,?PC ? AB .
(Ⅱ)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz .则 C(00,0,) ,(A020),,(, 20B0) ,, .

设 P(0,0,t) . PB ? AB ? 2 2 ,?t ? 2 ,P(0,0,2) .取 AP 中点 E ,连 结 BE,CE .

AC ? PC , AB ? BP ,?CE ? AP , BE ? AP .??BEC 是二面角 B ? AP ?C
的平面角.
E(0,1,1) , EC ? (0,?1,?1) , EB ? (2,?1,?1) ,

cos?BEC ? EC ? EB ? 2 ? 3 . EC EB 2 ? 6 3

z P yE H A
C

x B

(Ⅲ) AC ? BC ? PC ,?C 在平面 APB 内的射影为正△APB 的中心 H ,且 CH 的长 为点 C 到平面 APB 的距离.
如 ( Ⅱ ) 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 C ? xyz . BH ? 2HE , ? 点 H 的 坐 标 为

? ??

2 3

,2 3

,2 3

? ??

.?

CH

? 2 3 .中学学?点 C 到平面 APB 的距离为 2 3 .

3

3