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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.2.2向量减法运算及其几何意义》评估训练


双基达标

?限时 20 分钟?
).

→ → → → 1.在四边形 ABCD 中,设 A B =a,AD=b,BC=c,则DC=(

A.a-b+c C.a+b+c → → → → 解析 DC=DA+AB+BC=a-b+c. 答案 A

B.b-(a+c) D.b-a+c

2.已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|等于( A.1 B. 2 C. 5 D. 6

).

→ → → 解析 设OA=a,OB=b,以 OA、OB 为邻边作? OACB,则 a-b=BA. ∵|a|=1,|b|=2,|a-b|=2, ∴?OACB 中,OA=1,OB=2,BA=2, → 由平行四边形的对角线长的平方和等于四边的平方和可得|a+b|=|OC|= 6. 答案 D 3.当 a,b 满足下列何种条件时,等式|a+b|=|a|-|b|成立( A.a 与 b 同向 B.a 与 b 反向 C.a 与 b 同向且|a|≤|b| D.a 与 b 反向且|a|≥|b| 解析 当 a 与 b 反向且|a|≥|b|时, |a+b|=|a|-|b|. 答案 D → → → → → → → → → → 4.化简下列各式:①AB-AC+BC;②AB+CA+BD-CD;③OA-OD-DA; ).

→ → → → ④NQ-PQ+MN-MP.结果为零向量的个数是________. → → → → → 解析 ①AB-AC+BC=CB+BC=0; → → → → → → → → → → ②AB+CA+BD-CD=CA+AB+BD+DC=CD+DC=0; → → → → → ③OA-OD-DA=DA-DA=0; → → → → → → → → → → ④NQ-PQ+MN-MP=NQ+QP+PM+MN=NM+MN=0. 答案 4 → → → 5.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC 与 BD 交于 O 点,则BA-BC-OA+ → → OD+DA=________. → → → → → 解析 BA-BC-OA+OD+DA → → → → → → → → → =(BA-BC)-(OA-OD)+DA=CA-DA+DA=CA. → 答案 CA → → → → → → → 6.如图,已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,OF= f ,试用 a,b, c,d,e,f 表示以下向量: → → (1)AC;(2)AD; → → → (3)DF+FE+ED. → → → 解 (1)AC=OC-OA=c-a. → → → → → (2)AD=AO+OD=-OA+OD=-a+d. → → → → → → → → → (3)DF+FE+ED=DO+OF+FO+OE+EO+OD=0.

综合提高
→ 7.下列四式中不能化简为PQ的是(

?限时 25 分钟?
).

→ → → A.AB+(PA+BQ) → → → → B.(AB+PC)+(BA-QC) → → → C.QC-QP+CQ → → → D.PA+AB-BQ → → → → → → 解析 A 中,AB+BQ+PA=PA+AQ=PQ; → → → → B 中,(AB+BA)+(PC-QC)=0 → → → C 中,QC+CQ-QP=0 → → → +PC+CQ=PQ;

→ → +PQ=PQ;

→ → → → → → → → D 中,PA+AB-BQ=PB-BQ=PB+QB≠PQ. 答案 D → → 8.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,|AB-BC|的值为( A.1 B.2 3 C. 2 D. 3 ).

解析 作菱形 ABCD,

→ → → → → 则|AB-BC|=|AB-AD|=|DB|= 3. 答案 D → → → 9.设点 O 是三角形 ABC 所在平面上一点,若|OA|=|OB|=|OC|,则点 O 是三角 形 ABC 的________心. → → → → 解析 由|OA|=|OB|=|OC|可得,O 点到三角形各顶点的距离相等.可见满足|OA → → |=|OB|=|OC|的点 O 是三角形 ABC 的外心. 答案 外心

→ → → → 10.如图,已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点,OA=a,OB=b,OC=c,则OD =________.

→ → 解析 因为BA=CD, → → → → → → → → → → BA=OA-OB,CD=OD-OC,所以OD-OC=OA-OB, → → → → → OD=OA-OB+OC.所以OD=a-b+c. 答案 a-b+c → → → 11.如图所示,已知正方形 ABCD 的边长等于 1,AB=a,BC=b,AC=c,试作 出下列向量,并分别求出其长度:

(1)a+b+c;(2)a-b+c. → → → → 解 (1)由已知得 a+b=AB+BC=AC,又AC=c,∴延长 AC 到 E, → → 使|CE|=|AC|. → → 则 a+b+c=AE,且|AE|=2 2. ∴|a+b+c|=2 2.

→ → (2)作BF=AC,连接 CF, → → → 则DB+BF=DF, → → → → 而DB=AB-AD=a-BC=a-b, → → → → ∴a-b+c=DB+BF=DF且|DF|=2. ∴|a-b+c|=2.

12.(创新拓展)已知|a|=8,|b|=15. (1)求|a-b|的取值范围. (2)若|a-b|=17,则表示 a,b 的有向线段所在的直线所成的角是多少? 解 (1)由向量三角不等式 ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b| 得 7≤|a-b|≤23, 当 a,b 同向时,不等式左边取等号 当 a,b 反向时,不等式右边取等号. (2)易知|a|2+|b|2=82+152=172=|a-b|2, → → 作OA=a,OB=b, → 则|BA|=|a-b|=17, ∴△OAB 是直角三角形, 其中∠AOB=90° . ∴表示 a,b 的有向线段所在的直线成 90° 角.


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