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直线与圆的位置关系修改版


高中数学第二册

2014年3月6日

直线与圆的位置关系

1.直线方程的一般式 Ax+By+C=0(A,B不同时为零) 为:____________________________
2+(y-b)2=r2 (x-a) 2.圆的标准方程为:______________

(a,b) 圆心为________

r 半径为______

3.圆的一般方程: __________________________________ x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0)
1 D E 2 2 D ? E ? 4F 圆心为 (? ,? ) 半径为 2 2 2

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直线与圆的位置关系

问题1:你知道直 线和圆的位置关系 有几种?

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直线与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零) 和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线 还有其他 | Aa ? Bb ? C | d ? 方法吗? 则 的距离为 2 2
A ?B

位置 d与 r
图形

相离
d>r
d

相切 d=r
d r

相交 d<r
d r

r

交点个数

0个

1个

2个

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例 1 如 图 4.2-2 , 已 知 直 线 L : 3x+y-6=0 和 圆 心 为 C 的 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线L与圆的位置关系; 如果相交,求它们交点的坐标。

分析:方法一,判
断直线 L 与圆的位置关 系,就是看由它们的方 程组成的方程有无实数 解 ; 方法二 , 可 以 依据圆心到直线的距离 与半径长的关系,判断 直线与圆的位置关系。

y

L
B

C ● 0

A x

图4.2-2

解法一:由直线L与圆的方程,得 ① 3x ? y ? 6 ? 0

{ x ? y ? 2y ? 4 ? 0
2 2



消去y ,得

因为
⊿=

x ? 3x ? 2 ? 0
2

(?3) ? 4 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0
2

所以,直线L与圆相交,有两个公共点。

2 2 2 2 解法二:圆 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 可化为 x ? ( y ? 1) ? 5 ,其 圆心C的坐标为(0,1),半径长为 5 ,点C(0,1)到 直线L的距离

| 3? 0 ?1? 6 | 3 ?1
2 2

5


d=

10

=

25 10

=

2 .5 <

5

所以,直线L与圆相交,有两个公共点. 由 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,解得

x1 =2

x 2 =1. ,

把 x1 =2代入方程①,得 y1 =0; 把 x 2=1代入方程①,得 y 2 =3. 所以,直线L圆相交,它们的坐标分别是A(2,0),B (1,3).

归纳小结:直线与圆的位置关系的判断方法有两种:
① :通过直线 方程与圆的方程所组成的 方程组成的方程组,根据 解的个数来研究,若有两 组不同的实数解,即⊿> 0,则相交;若有两组相 同的实数解,即⊿=0, 则相切;若无实数解,即 ⊿<0,则相离.

代数法

② :由圆心 到直线的距离d与半径r 的大小来判断:当d<r时, 直线与圆相交;当d=r时, 直线与圆相切;当d>r时, 直线与圆相离.

几何法

巩固练习: 2 x ? ①判断直线4x-3y=50与圆 系.如果相交,求出交点坐标.

y 2 ? 100 的位置关

解:因为圆心O(0,0)到直线4x-3y=50

| 0 ? 0 ? 50 | 的距离d= = 10 5

而圆的半径长是10,所以直线与圆相切。 圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0

?4 x ? 3 y ? 50 ?x ? 8 解方程组 ? , 得? ?3 x ? 4 y ? 0 ? y ? ?6
切点坐标是(8,-6)

②判断直线3x+4y+2=0与圆 x 2 ? y 2-2 x ? 0 的位置关 系. 2 2 2 2 ( x ? 1 ) ? y ?1 解:方程 x ? y -2 x ? 0 经过配方,得 圆心坐标是(1,0),半径长r=`1. 圆心到直线3x+4y+2=0的距离是 d ? | 3 ? 0 ? 2 | ? 1

5

因为d=r,所以直线3x+4y+2=0与圆相切. ③已知直线L:y=x+6,圆C:x 2 ? y 2-2 y ? 4 ? 0 试判断直线L与圆 C有无公共点,有几个公共点. 解:圆C的圆心坐标是(0,1),半径长r= 5 ,圆心 5 2 到直线y=x+6的距离

2 所以直线L与圆C无公共点.

d ?

?

5

④试解本节引言中的问题.

解:以台风中心为原点,东西方向为x 轴,建立如图所示 的直角坐标系,其中,取10km为单位长度,这样,受 台风影响的圆形区域所对应的圆O方程为 x 2 ? y 2 ? 9 轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0 问题归结为圆O与直线L有无公共点。 点O到直线L的距离 | 0 ? 0 ? 28 | 28
d?

圆O的半径长r=3 因为3 . 5>3,所以,这艘轮船不必改变航线,不会受 到台风的影响. y B

65

?

65

? 3.5

0

A

x

2.过一点的圆的切线问题
例2 自点A(2,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求l 的方程.
y=4 变式1: 自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求l的方 程.

y=4或3x+4y-13=0

直线与圆的位置关系

变式2:直线l过点(2,2)且与圆x2+y22x=0相切,求直线l的方程.

3 y ? 2 ? ( x ? 2)或x ? 2 4

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方法总结:
求过一点的直线方程时,首先检查一下此点在 圆上还是在圆外,防止漏解。若此点在圆上, 切线只有一条;若此点在圆外,则切线一定有 两条,特别是斜率不存在的情况容易忽略。
练习:

求过点P(3,2)的圆x2+y2=9的切线方程. x=3或5x+12y+9=0

3.弦长问题:
例3 已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所 截得的弦长为 4 5 ,求直线l的方程.
解:将圆的方程写成标 准式,得:
2 x2 ? (y ? 2) ? 25, 所以圆心坐标是

y

(0, - 2),半径长是 r ? 5.
如图,因为直线 l被圆所截得的 弦长是4 5,所以弦心距为 4 5 2 5 ( ) ? 5,即圆心到所求 2
2

x M

直线l的距离为 5.

因为直线 l过 点M ( ?3, ? 3), 所 以 可 设 所 求 直 线 l 的方程为 即 y ? 3 ? k ( x ? 3), k x ? y ? 3k ? 3 ? 0. d? | 2 ? 3k ? 3 | k ?1
2

根据点到直线的距离公 式,得到圆心到直线 l 的距离 因此 | 2 ? 3k ? 3 | k ?1
2

.

?

5 ,

平方化简整理得 解得

2k 2 ? 3k ? 2 ? 0, k?? 1 , 或 k ? 2. 2

所以,所求直线 l有 两 条 , 它 们 的 方 程 分 别是 y?3? ? 1 ( x ? 3), 或y ? 3 ? 2( x ? 3). 2

即:x+2y+9=0或2x-y+3=0

方法总结:
求弦长的两种方法: 1,几何法:
| BC |2 ? r 2 ? d 2 . | AB |? 2 | BC |? 2 r 2 ? d 2

r B

O d C D

2 2 2 2.代数法:解方程组 ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? r 消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程, 利用韦达定理求得

?

ax ? by ? c ? 0

x1 ? x2 , x1 ? x (或 y1 ? y2 , y1 ? y2 ), 然后代入弦长公式: 2
2 2

1 | AB |? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? 2 )[( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] k
特别的:当直线方程较特殊如x=a或y=b,一般先求交点坐标再用两点 间距离公式求弦长。

x ? y ? 25 直线l经过点P(5,5),且和圆O: 相交于A,B两点,截得的弦长为 4 5 ,求l的方程.
2 2

练习:

思路点拨: 首先讨论直线斜率不存 在的情况,可知不合题 意 ,则可直接设出直线的 点斜式方程,再根据弦 长 | AB |? 4 5求解,可以利用弦长公 式,也可以利用 几何法(半径,半弦长 ,弦心距之间的关系) 。
H B AP ● y

O

x

法1: 若直线l的斜率不存在,则 l:x ? 5,与圆相切,不合题意 所以直线 l的斜率存在 . 设直线l的方程为: y ? 5 ? k ( x ? 5), 且与圆相交于 A( x1,y1),B( x2 , y2 ), y ?5? k ( x ?5 ) 消去y得: 2 2 x ? y ? 25,
? ? [10 k (1 ? k )]2 ? 4(k 2 ? 1) ? 25 k ( k ? 2) ? 0. k?0

{

( k 2 ? 1) x 2 ? 10 k (1 ? k ) x ? 25 k (k ? 2) ? 0.

?

解得

10 k (1 ? k ) 25 k (k ? 2) 又 ? x 1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 2 2 k ?1 k ?1 由斜率公式,得

y1 ? y2 ? k(x1 - x 2) . ?| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2
2 2 2

100 k 2 (1 ? k ) 2 25 k ( k ? 2) ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? k )[ ? 4? ]?4 5 2 2 2 ( k ? 1) k ?1

两边平方整理得: 1 2k ? 5k ? 2 ? 0 解得 k ? 或k ? 2均符合题意 2 故直线l的方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0或 2 x - y - 5 ? 0
2

法 2:由题意知直线 l的斜率存在,设其方程 为y ? 5 ? k ( x _ 5), 即k x ? y ? 5(1 ? k ) ? 0如图所示, | OH | 是圆心到直线 l的距离, | OA | 是圆的半径, | AH | 是弦长| AB | 的一半, 1 1 在Rt?AHO中, | OA |? 5. | AH |? | AB |? ? 4 5 ? 2 5 , 2 2 | 5(1 ? k ) |
H B y AP ●

?| OH |? | OA |2 ? | AH |2 ? 5
O

1 ? ? 5,解得k ? 或k ? 2 2 k2 ?1 ? 直线l的方程为 x - 2y ? 5 ? 0或 2 x ? y ? 5 ? 0

x

课堂小结:
1.判断直线与圆的位置关系的两种方法: 代数法:△>0, △=0, △<0 几何法:点到直线的距离d和半径r的关系。 d>r,d=r,d<r. 2.求过一点的圆的切线问题: 点在圆上,在圆外;切线斜率存在,不存在。 3.求直线与圆相交时弦长问题: 代数法:弦长公式 几何法:构造关于弦心距,半弦,半径的直角三角 形 注意:直线的斜率是否存在

练习:
作业:习题4.2 A 1 2 3 5 6 B 3 4

已知直线l过点M(-3,-3),圆N:x2+y2+4y-21=0,l被圆N所截得的弦长为4 (Ⅰ)求点N到直线l的距离; (Ⅱ)求直线l的方程。 解:(1)设直线l与圆N交于A,B两点, 作ND⊥AB交直线l于点D,显然D为AB的中点, 由 , 故圆心N(0,-2),r=5, 又 , 故 , 所以点N到直线l的距离为 ; (2)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-3, N到l的距离为3, 又圆N的半径为5, 易知 ,不符合题意,故直线l的斜率存在; 于是设直线l的方程为:y+3=k(x+3),即:kx-y+3k-3=0, 所以圆心N(0,-2)到直线l的距离 由(1)知, , ② 由①②可以得到 , 故直线l的方程为2x-y+3=0,或x+2y+9=0。 , ①




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