当前位置:首页 >> 数学 >>

研究平面解析几何问题的一般方法

研究平面解析几何问题的一般方法 在教学中, 教师要能够引导学生通过对平面解析几何问题的解决提炼出研究问题的一 般方法出来,这个方法不是要把解题的途径模式化、套路化,而是要能够在思维的层面上概 括出研究问题的一般思路. 问题 1. 过定点 M (4,2) 任作互相垂直的两条直线 l1 和 l 2 , 分别与 x 轴、 y 轴交于 A , B 两点,求线段 AB 中点 P 的轨迹 方程. 分析:如图 3-13,如何来认识本题中几何对象的几何特 征呢?如果仅仅从 “过定点 M (4,2) 任作互相垂直的两条直线 l1
图3 ? 13

和 l 2 ”这一条件入手进行代数化,可以有很多种求解的方法,但都不是太简单.如最常见的 做法是:由于直线 l1 和 l 2 过定点 M (4,2) 且互相垂直,则在存在斜率的前提下,设直线 l1 的 方称为 y ? 2=k (x ? 4) ,从而直线 l 2 的方程为 y ? 2= ? (x ? 4) ,并由此求出点 A,B 的坐标, 再根据点 P 为线段 AB 的中点求出 P 点坐标,当然,这是带着参数 k 的坐标,通过消去参数
k ,最终得到点 P 的轨迹方程.

1 k

或者设点 P(x,y ) ,则 A(2 x,0) , B(0,2 y) ,又 M (4,2) ,根据直线 l1 和 l 2 互相垂直,得

???? ???? MA ? MB=0 或利用直角三角形 ABM 的斜边中线 MP 等于线段 AB 的一半求出 x, y 满足的
方程. 以上做法都没有注意到 ?AOB 是直角这一非常重要的几何特征,直角三角形 AOB 和 直角三角形 AMB 具有共同的斜边, 因此, 这两个直角三角形的斜边上的中线 PO,PM 相等, 即 PO = PM ,因而点 P 的轨迹是线段 OM 的中垂线.也就是过点(2,1) ,斜率为 ?2 的直 线方程.当然,也可以由 ?AOB=?AMB=90? ,易知四边形 AOBM 四点共圆,点 P 为圆心从 而 PO = PM . 对比以上的几种方法不难看出, 对几何对象的几何特征分析的越深入, 代数化的方法越 简单. 问题 1 也可以改为研究 PO 的最小值问题.如图 3-14.此时从思维的 角度看就是要分析 PO 的最小值产生的原因,是谁引起了 PO 的 变化?如果认为是动点 P 的运动引起的,那么就要研究动点 P 的 运动规律,也就是点 P 的几何特征.如上分析,点 P 是在线段 OM
图3 ? 14

的中垂线上.因此当 OP ? OM 的时候, PO 最小.此时 PO ?

1 OM ? 5 . 2

从上述分析可以看出: 对几何对象的几何特征的分析可以结合它们的图形, 对几何图形 研究的深度决定了代数化过程中运算量的大小. 分析几何对象的几何特征的第二个方面就是要引导学生如何学会从曲线方程、 从几何量、 坐标等代数数据中得到有关几何对象的几何特征.在这一点上,是许多学生学习解析几何时 研究问题中比较薄弱的地方,表现在学生缺乏从代数形式中去分析几何性质的意识和能力. 如对于直线 ax ? by ? b ? a ? 0 是什么样的直线的理解, 很多学生对方程中的参数没有做过含 义的分析,看到的是一个方程学生就会认为这个方程表示的就是一条直线.在教学中,我们 就要设计问题让学生思考方程中为什么有不确定的参数?其含义是什么?在学生明确这不 是一条确定的直线之后, 进一步地追问: 为什么这么多条的直线可以用一个方程来表示?在 这个问题上,很多教师介绍了许多证明直线过定点的方法.其实这些方法的确很重要,但更 为重要的是要让学生能够意识到这些直线之所以能够用同一个代数的形式表达出来, 一定是 有共同的几何特征.也就是要教给学生提出问题、 思考问题的方法.如果没有从方程中分析曲 线几何特征的意识,学生面对问题如“判断直线 ax ? by ? b ? a ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? x ? 2 = 0 的 位置关系”的时候,往往是采取通过计算圆心 ( ? ,0) 到直线 ax ? by ? b ? a ? 0 的距离与 圆的半径

1 2

3 的比较去做出判断, 或者是将直线方程与圆的方程联立, 希望能够通过判别式的 2

符号做出判断,而这又是行不通的.学生可能会纳闷这些方法不都是老师教给的一般方法吗? 实际上,在没有理解问题的前提下随意地套用“方法”往往不是好的学习方法.就象前面我 们所分析的那样正是由于直线 ax ? by ? b ? a ? 0 不是一条确定的直线,因此,上述一般方法 并不适用.如果在审题的过程中能够分析得出直线 ax ? by ? b ? a ? 0 是过定点 (1, ? 1) 的所有 直线的话,那么也就只需要判断点 (1, ? 1) 与圆 x2 ? y 2 ? x ? 2 ? 0 的位置关系了. 问题 2.点 P 在双曲线
x2 y2 ? ? 1 上,双曲线的左右焦点分别为 F1 , F2 , 若 PF1 ? 9, 则 16 20

PF2 的值为多少?
分析:如图 3-15,这个问题的思维切入点还是要明确几何对象 的几何特征.从这个问题看,双曲线是确定的,但并没有告诉点 P 在双曲线的哪一支上.因此,研究点 P 的位置就是首先要解决的问 题.如图设双曲线的左右顶点分别是 A1 ,A2 ,则分析双曲线的方程
图3 ? 15

x2 y2 ? ? 1 我们知道: a ? 4, c ? 6, F1 A1 ? c ? a ? 2, F1 A2 ? c ? a ? 10 , 说明双曲线的左支离 16 20

F1 最近的距离是 2,双曲线的右支离 F1 最近的距离是 10.由条件 PF1 ? 9, 就可以知道点 P
不可能在双曲线
x2 y2 ? ? 1 右支上,故: PF2 - PF1 ? 2a ? 8 ,得 PF2 = 17. 16 20 x2 y2 ? ? 1 所提供的几何特征,就可能这样做: 根据双曲线 16 20

如果没有注意分析方程

的定义: PF1 ? PF2 ? ?2a ,故 PF2 ? 9 ? 8 ,从而得出一个错误的答案 1 或 17. 可以看 出,能够从“点 P 在曲线
x2 y2 ? ? 1 上,若 PF1 ? 9, ”读出点 P 的几何特征是研究问题的 16 20

主要内容,只有在确定了点 P 位置的基础上的代数化才是有意义的. 问题 3.已知椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 P,F1 , F2 是一个直角 16 9

三角形的三个顶点,求点 P 到 x 轴的距离. 这个问题首先要确定谁是直角 △ PF1 F2 的直角顶点 . 不能想当然地认为是点 P ,并据此

PF1 ? PF2 ,得点 P 是以原点为圆心, c ? 7 为半径的圆.联立 x2 ? y 2 ? 7 与

x2 y2 ? ? 1 得: 16 9

y??

9 7 9 7 .这是在一个错误的逻辑下得到的结论,显然是 ,从而点 P 到 x 轴的距离为 7 7 9 7 2 2 代入到圆的方程 x ? y ? 7 ,方程无解. 7
x2 y2 ? ? 1 ”蕴含着点 P 的几何特征,可以从两个 16 9

有问题的.如果我们将 y ? ?

实际上,问题所提供的代数条件“椭圆

方面去解读:假设∠ P 是直角,则点 P 在以坐标原点 O 为圆心, 7 为半径的圆上也就是在
2 2 圆 x ? y ? 7 上,但是这个圆与椭圆的位置关系是需要判定的.由于 b ? 3 ? 7 ,因此可以 2 2 断定圆 x ? y ? 7 内含于椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,从而∠ P 是直角的假设不成立.对于∠ P 是不是 16 9
c b 7 3

直角的判断也可以通过分析 ?F1 PF2 取最大时,即点 P 在椭圆短轴端点处时, ?
? 而得出 ?F1 PF2 ? 90 来得出.由上述分析可知:直角顶点在椭圆

?1 从

x2 y2 ? ? 1 的焦点上, 如 F1 点, 如图 3-16 所示, 故设直线 PF1 的 16 9

图3 ? 16

? x2 y 2 ?1 9 9 ? ? 方程为: x ? ? 7 , ? 16 9 得 y ? ? ,则点 P 到 x 轴的距离为 . 4 4 ?x?? 7 ?
从上述问题的思考和分析及研究, 我们可以概括出研究平面解析几何的一般方法.也就 是: 首先要分析几何对象的几何特征: 几何对象如直线、圆、椭圆、抛物线、双 曲线等一般都有其代数形式的曲线方程, 我们要能够从它们的方程中分析得到其 几何的性质,同时也要能够得出不同几何对象之间的位置关系.这些几何对象的几何特征也 可以结合图形或相关的表示数量关系的数值中分析得到; 在此基础上, 再对几何对象的几何 特征进行代数化得到相对应的代数性质; 之后进行代数运算, 从代数运算的结论中分析出几 何的特征,得出几何的结论.


相关文章:
平面解析几何的教学特点
平面解析几何的教学特点 - 平面解析几何的教学特点 平面解析几何的特点是, 用代数方法研究几何图形的几何性质,体现着数形 结合的重要数学思想。 在数形结合的紧密...
解决平面解析几何问题的思维策略研究
解决平面解析几何问题的思维策略研究 - 本研究把解决平面解析几何问题的思维过程划分为理解问题、转化问题、解答问题、反思问题四个阶段,运用“专家”与“新手”对比...
《平面解析几何初步》教材分析
平面解析几何初步 直线与方程 圆与方程 空间直角坐标 系 1 三、解析几何的基本思想方法解析几何是几何学的一个分支,是通过坐标法运用代数工具研究几何问题的一门...
平面解析几何初步教材分析剖析
平面解析几何初步永乐店中学 一、本章地位和作用本章的学习把数学的两个基本...用代数的方法研究几何问题一门学科. 用解析法研究几何图形的性质,须先将几何...
空间解析几何》对中学数学的指导作用
空间解析几何》对中学数学的指导作用 - 摘 要 空间解析几何基本思想和主要任务是用代数方法研究几何问题,它 是高师院校数学专业的一门基础课程,也是中学数学平面...
平面解析几何高考研究及应考策略
平面解析几何高考研究及应考策略 考纲分析: 1.直线与方程(文、理相同) ①在...③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 ④初步了解用代数方法处理几何问题的...
人教版高中数学必修2《平面解析几何初步》教材分析...
平面解析几何初步》教材分析 一、 《课程标准》关于平面解析几何初步的表述 解析几何是 17 世纪数学发展的重大成果之一, 其本质是用代数方法研究图形的几何性 质...
平面解析几何
? 《“平面解析几何”复习教学的目标与设计》的学习心得体会 本人学习了《“...? 笛卡儿长期思考用代数方法研究几何问题.1619 年 11 月 10 日傍晚, 他在...
例析平面几何性质在解析几何中的运用_图文
问题的一门学科,它开创了形、数结合研究方法.解析几何的形成改变了代数与几何相...于相关量的研究,摒弃了最基本、最直接的解题思路,不重视平面几何知识, 丢掉了...
平面解析几何中的对称问题
平面解析几何中的对称问题 - 平面解析几何中的对称问题 李新林 汕头市第一中学 515031 对称性是数学美的重要表现形式之一,在数学学科中对称问题无处不在。在代数...
更多相关标签: